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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,寄 语,You cannot eat your cake,Do not work hard,and have it.,work smart!,1/28,第22章,第一节、第一型曲面积分(或：对面积曲面积分),第三节、高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式,曲面积分,第22章,本章内容：,第二节、第二型曲面积分(或：对坐标曲面积分),第四节、场论初步,2/28,第3节 高斯,(Gauss),公式 与斯托克,(Stokes),公式,一、高斯(Gauss)公式,二、斯托克(Stokes)公式,第22章,本节内容：,3/28,一、高斯(,Gauss,)公式,定理21.3,设空间闭区域,V,由分片光滑闭曲,V,上,有连续一阶偏导数,下面先证:,函数,P,Q,R,在,面S 所围成,S,方向取,外侧,则有,(Gauss,公式),4/28,Green,公式,Gauss,公式,推广,高斯,(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列伟大数学家,他数学成就遍布各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面都有一系列开创,性贡献,他还十分重视数学应用,地测量学和磁学研究中创造和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分慎重,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这么,“,问题在思想上没有弄通之前决不动笔,”.,标准:,返回,5/28,证实:(1),设,为XY型区域,则,6/28,所以,(2)若,V,不是 XY型区域,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立.,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加,即得所证 Gauss 公式：,7/28,例1.,用Gauss,公式计算,其中,S,为柱面,闭域,V,整个边界曲面外侧.,解:,这里,利用Gauss 公式,得,原式=,(用柱坐标),及平面,z=,0,z=,3,所围空间,思索:,若,S改为内侧,结果有何改变?,若 S,为圆柱侧面(取外侧),怎样计算?,8/28,例2.,利用Gauss 公式计算积分,其中,S,为锥面,解:,作辅助面,取上侧,介于,z=,0 及,z=h,之间部分下侧.,所围区域为,V,则,9/28,利用重心公式,注意,10/28,例3.,设,S,为曲面,取上侧,求,解:,作取下侧辅助面,用柱坐标,用极坐标,11/28,在闭区域,上含有一阶和,二阶连续偏导数,证实格林(Green)第一公式,例4.,设函数,其中,S,是整个,V,边界面外侧.,分析:,高斯公式,12/28,证,:,令,由Gauss公式得,移项即得所证公式.,13/28,斯托克斯,(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派主要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解主要数学物理问题,有效且普通新方法,在1845年他导,出了著名粘性流体运动方程(后称之,为纳维 斯托克斯方程),1847年先于,柯西提出了一致收敛概念.,他提出斯托克斯公式,是向量分析基本公式.,他一生工作先后分 五卷,出版.,14/28,二,、斯托克斯(Stokes)公式,定理22.4,设光滑曲面,S,边界,L,是分段光滑曲线,(,Stokes公式,),个空间域内含有连续一阶偏导数,S,侧与,L,正向符合,右手法则,在包含,S,在内一,证:,情形1,S,与平行 z 轴直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见,不妨设,S,取上侧(如图).,则有,15/28,则,(利用格林公式),16/28,所以,同理可证,三式相加,即得斯托克斯公式;,17/28,情形2,曲面,S 与平行 z 轴直线交点多于一个,则可,经过作辅助线面把,S,分成与z 轴只交于一点几部分,在每一部分上应用 Stokes 公式,然后相加,因为沿辅助,曲线方向相反两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,注意:,假如,S,是,xoy,面上一块平面区域,则 Stokes,公式就是Green公式,故Green公式是Stokes公式特例.,证毕,18/28,为便于记忆,Stokes公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,19/28,例5.,利用斯托克斯公式计算积分,其中,L,为平面,x+y+z,=1,被三坐标面所截三角形整个,解:,记三角形域为,S,取上侧,则,边界,方向如图所表示.,利用对称性,20/28,例6.,L,为柱面,与平面,y=z,交线,从,z,轴正向看为顺时针,计算,解:,设,S为平面,z=y,上被,所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,21/28,三、空间曲线积分与路径无关条件,定理22.5,设,G,是空间一维单连通域,含有连续一阶偏导数,则以下四个条件相互等价:,(1)对,G,内任一分段光滑闭曲线 L,有,(2)对,G,内任一分段光滑曲线,L,与路径无关,(3)在,G,内存在某一函数,u,使,(4)在,G,内处处有,22/28,证:,由斯托克斯公式可知结论成立;,(自证),设函数,则,23/28,同理可证,故有,若(3)成立,则必有,因,P,Q,R,一阶偏导数连续,故有,同理,证毕,24/28,与路径无关,并求函数,解,:,令,积分与路径无关,所以,例7.,验证曲线积分,25/28,思索与练习,所围立体,判断以下演算是否正确?,(1),(2),为S,26/28,作业,P295 1,(1)，(3),(5),3,(1),;4,(1),;7;9,27/28,备用题,设,S 是一光滑闭曲面,所围立体,体,是 S 外法线向量与点(,x,y,z,)向径,试证,证:,设,S,单位外法向量为,则,夹角,积为,V,28/28,
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