中考数学专题14：数学思想方法之化归探讨.doc

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【2017年中考攻略】专题14：数学思想方法之化归探讨
化归是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。“化归”是转化和归结的简称。数学问题的解决过程就是一系列化归的过程，中学数学处处都体现出化归的思想，在数学问题的解决过程中，常用的很多数学方法实质就是化归的方法。化归思想是指在解决问题的过程中，有意识地对所研究的问题从一种对象在一定条件下转化为另一对象的思维方式。通常有从未知——已知；复杂——简单；抽象——具体；一般——特殊；综合——单一；高维——低维；多元——一元；困难——容易，以及数学表现形式之间的转化、将实际问题转化为数学问题等。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。体现上述化归思想的有换元法、消元法、配方法、降次法、待定系数法、几何三大变换法、几何问题代数化法、代数问题函数化法、数形结合法等等。
例如，当时，求的值。该题可以采用直接代入法，但是更简易的方法应为先化简再求值，此时原式。这就是由复杂——简单的化归。
又如，解一元二次方程。我们可以将左边分解因式，应用降次化为两个一元一次方程求解，这就是由高维——低维的化归；也可以将方程配方成为一个整式的平方等于一个数的形式，应用平方根的性质求解，这就是由未知——已知的化归。
再如，如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，求PE+PB的最小值。

连接DE，交BD于点P，连接BD。因为点B与点D关于AC对称，所以DE的长即为PE+PB的最小值。从而将求PE+PB的最小值变为求DE的长。这就是应用轴对称的性质的从困难——容易的化归。
化归的基本思想是：将待解决的问题A，在一定条件下转化为问题B，再把问题B转化为已经解决或较易解决的问题C，而通过对C的解决，达到原问题的解决，可用框图表示如下：

化归应遵循的原则：（1）化归目标的简单化原则，即化归的方面是由复杂到简单，对复杂总是采用分
解或变更的方法，使目标简单化。（2）化归的熟悉化原则，即化归的方向是由不熟悉到熟悉，把要解决的（不熟悉）问题转化为自己熟悉会解的问题，使所要解决的问题熟悉化。（3）化归的具体化原则，即化归的方向一般是由抽象到具体。在分析问题时，尽力将问题具体化。（4）化归的和谐化原则，即化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（5）化归的正难则反原则，即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
结合2016年全国各地中考的实例，我们从下面四方面探讨化归思想的应用：（1）代数问题之间的化归；（2）代数问题与函数问题之间的化归；（3）几何问题之间的化归；（4）代数问题与几何问题之间的化归。
一、代数问题之间的化归：
典型例题：
例1. （2016江苏宿迁8分）求代数式的值，其中a = 1，b =.
【答案】解：原式=，
当a = 1，b =时，原式=2。
【考点】代数式求值，完全平方公式和平方差公式。
【分析】应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，最后代入求值。
【点评】先化简后求值体现了由复杂——简单的化归。
例2. （2016四川凉山4分）已知，则的值是【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】比例的性质。
【分析】∵，∴设出b=5k，得出a=13k，把a，b的值代入，得，
。故选D。
【点评】应用待定系数法求值体现了由复杂——简单的化归。
例3. （2016广西柳州3分）你认为方程x2＋2x－3=0的解应该是【 】
A．1 　　　　　　B．-3 　　　　　　C．3 　　　　　　D．1或-3
【答案】D。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】利用因式分解法，原方程可变为（x+3）（x-1）=0，即可得x+3=0或x-1=0，解得：x1=-3，x2=1。
故选D。
【点评】应用因式分解法解一元二次方程体现了由高维——低维的化归。
例4. （2016福建宁德4分）二元一次方程组的解是【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】解二元一次方程组。
【分析】。故选D。
【点评】应用加减消元法（代入消元法）解二元一次方程组体现了由多元——一元的化归。
例5. （2016湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【答案】D。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。
【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。
故选D。　
【点评】应用一元二次方程定义和根的判别式，二次根式的概念将求k的取值范围的问题转化为求不等式组的解体现了由抽象——具体的化归。
例6. （2016湖北荆州3分）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为【 】
A． 3 B． 9 C． 12 D． 27
【答案】D。
【考点】相反数，非负数的性质，算术平方根的性质，绝对值的性质。
【分析】∵与|x﹣y﹣3|互为相反数，∴+|x﹣y﹣3|=0，
∴，解得。∴x+y=12+15=27。故选D。
【点评】应用二次根式和绝对值的非负数性质将求x+y的问题转化为求不等式组的解体现了由抽象——具体的化归。
练习题：
1. （2016河北省3分）已知y=x－1，则（x－y）2＋（y－x）＋1的值为 ▲ 。
2. （2016北京市5分）已知，求代数式的值。
3. （2016贵州铜仁4分）一元二次方程的解是 ▲ ．
4. （2016福建漳州4分）二元一次方程组的解是【 】
A． B． C． D．
5. （2016湖南常德3分）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A. B. C. D.
6. （2016四川攀枝花3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是【 】
　 A． 20或16 B． 20 C．16 D．以上答案均不对
7. （2016广西河池6分）解分式方程　.
二、代数问题与函数问题之间的化归：
典型例题：
例1. （2016浙江衢州3分）函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】D。
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
。故在数轴上表示为：。故选D。
【点评】根据二次根式有意义的条件，把函数自变量的取值范围问题转化为不等式求解体现了由抽象——具体的化归。
例2. （2016山西省2分）如图，一次函数y=（m﹣1）x﹣3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A．B，则m的取值范围是【 】

　 A． m＞1 B． m＜1 C． m＜0 D． m＞0
【答案】B。
【考点】一次函数图象与系数的关系。
【分析】根据一次函数图象与系数的关系，∵函数图象经过二、三、四象限，∴m﹣1＜0，解得m＜1。故选B。
【点评】根据一次函数图象与系数的关系，把m的取值范围问题转化为不等式求解体现了由抽象——具体的化归。
例3. （2016陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数与图象交于点M，则点M的坐标为【 】
A．（－1，4） B．（－1，2） C．（2，－1） D．（2，1）
【答案】D。
【考点】两条直线的交点问题，解二元一次方程组
【分析】联立 ，解得 。∴点M的坐标为（2，1）。故选D。
【点评】根据直线上点的坐标与方程的关系，把求点M的坐标问题转化为二元一次方程组求解体现了由抽象——具体的化归。
例4. （2016浙江台州4分）点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是【 】
　 A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C． y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【答案】D。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，有理数的大小比较。
【分析】由点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，得y1=－6，y2=3，y3=2。根据有理数的大小关系，－6＜2＜3，从而y1＜y3＜y2。故选D。
【点评】根据曲线上点的坐标与方程的关系，把求坐标值的大小问题转化为有理数的大小比较求解体现了由未知——已知的化归。
例5. （2016湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】

　　A．（﹣3，0）　　B．（﹣2，0）　　C．x=﹣3　　D．x=﹣2
【答案】A。
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性。
【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），
∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，
∴=﹣1，解得b=﹣3。∴B（﹣3，0）。故选A。
【点评】根据曲线上点的坐标与方程的关系，把求抛物线与x轴的交点坐标问题转化为解方程问题求解体现了由抽象——具体的化归。
例6. （2016四川内江3分）函数的图像在【 】
A第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限
【答案】A。
【考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征。
【分析】∵函数的定义域为，∴，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A。
【点评】根据二次根式和分式有意义的条件，把函数图象所在象限问题转化求函数的定义域和值域问题求解体现了由抽象——具体的化归。
练习题：
1. （2016湖北荆门3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是【 】
A． B． C． D．
2. （2016江苏苏州3分）若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是【 】
A.2 B.-2 C.1 D. -1
3. （2016江西南昌3分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不经过【 】
　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4. （2016江苏南通3分）已知点A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是【 】
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－ D．m＜－
5. （2016江苏常州2分）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
6. （2016山东滨州3分）抛物线 与坐标轴的交点个数是【 】
　　A．3　　B．2　　C．1　　D．0
三、几何问题之间的化归：
典型例题：
例1. （2016北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM
等于【 】

A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。
【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。
由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。
∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选C。
【点评】经过等量代换，把未知角化为已知角的和求解体现了由未知——已知的化归。
例2. （2016山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】

　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1
【答案】D。
【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。
【分析】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。
∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。
∴DE=HE，DC=AH。
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=BH。
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。
【点评】作辅助线：连接DE并延长交AB于H，把EF变换成△DHB的中位线，使问题易于解决体现了由未知——已知、综合——单一的化归。
例3. （2016重庆市6分）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．

【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC。
在△EAD和△BAC中，∠B=∠E，AB=AE，∠BAC =∠EAD，
∴△ABC≌△AED（ASA）。∴BC=ED。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再由条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED。
【点评】经过等量代换，把∠1=∠2变换∠EAD=∠BAC，结合已知的∠B=∠E，AB=AE，构成两三角形全等，使问题得到解决体现了由困难——容易的化归。
例4. （2016湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】

A．2 B．3 C． D．
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。
【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，
∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECF。∴△EBD≌△EFC（SAS）。∴∠B=∠F。
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB。∴∠ACB=∠F。
∴AC∥EF。∴AE=CF=2。
∴BD=AE=CF=2。故选A。
【点评】作辅助线：延长BC至F点，使得CF=BD，构成全等三角形，使问题易于解决体现了由综合——单一的化归。
例5. （2016四川南充3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 ▲ cm.

【答案】4。
【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。
【分析】如图，将△ADC旋转至△ABE处，则△AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为24cm2，,这时三角形△AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF，则AF=EC=FC,
∴ S△AEC= AF·EC=AF2=24 。∴AF2=24。
∴AC2=2AF2=48 AC=4。
【点评】作旋转变换，构成等腰直角三角形，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
例6. （2016广西南宁3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是【 】

A．2cm＜OA＜5cm 　　B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm 　　D．3cm＜OA＜8cm
【答案】C。
【考点】平行四边形的性质，三角形三边关系。
【分析】∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，
∴OA=OC=AC（平行四边形对角线互相平分），
BC－AB＜AC＜BC＋AB（三角形三边关系），即2cm＜AC＜8cm。
∴1cm＜OA＜4cm。
故选C。
【点评】将已知条件转换到一个三角形内，应用三角形三边关系，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
例7. （2016江苏徐州2分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600。是以点A为圆心、AB长为半径的弧，是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影部分的面积为 ▲ cm2。

【答案】。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，连接BD。
∵菱形ABCD中∠A=600，
∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形。
∴BD与围成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积。
∴阴影部分的面积等于△BCD的面积。
由菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600得△BCD的高为2sin600=。
∴△BCD的面积等于（cm2），即阴影部分的面积等于cm2。
【点评】作辅助线：连接BD，进行等面积代换，将求阴影部分的面积变为求△BCD的面积，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
例8. （2016海南省3分）如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则的值是【 】

A．1 B． C． D．
【答案】A。
【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】如图，连接AO并延长交⊙O于点P1，连接AB，BP1。设网格的边长为a。
则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP1=900。
根据勾股定理，得AB=BP1=。
根据正切函数定义，得。
根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP=∠ABP。∴。故选A。
【点评】作辅助线：连接AO并延长交⊙O于点P1，连接AB，BP1，应用圆周角定理将转换为直角三角形内的角，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
例9. （2016四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
．
【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。

（2）8．
例10. （2016山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得
，解这个方程组，得。
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x。
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得
抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。
∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，，
因此OM+AM最小值为。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。
（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。
对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：
O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM，
即OM+AM为最小值。

【点评】作轴对称变换，根据三角形两边之和大于第三边的性质，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
练习题：
1. （2016重庆市4分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD的度数为【 】

　　A．60°　　B．50°　　C．40°　　D．30°
2. （2016广东佛山6分）如图，已知AB=DC，DB=AC
（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？

3. （2016江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
求证：∠DBC=∠DCB。

4. （2016贵州铜仁4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【 】

　　A．6　　B．7　　C．8　　D．9
5. （2016四川绵阳4分）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 ▲ （结果保留两位有效数字，参考数据π≈3.14）。

6. （2016湖北鄂州3分）如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【 】

A.40° B.50° C.60° D.70°
7. （2016四川内江3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥A，∠CDB=300，CD=，则阴影部分图形的面积为【 】

A. B. C. D.
8. （2016山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为 ▲ cm．

9. （2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．

10. （2016广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，
过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是
　　▲　　。

四、代数问题与几何问题之间的化归：
典型例题：
例1. 例5. （2016广东广州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】A。
【考点】勾股定理，点到直线的距离，三角形的面积。
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示。
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：。
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
则由S△ABC=AC•BC=AB•CD，得。
∴点C到AB的距离是。故选A。
【点评】应用勾股定理和三角形面积公式，将几何问题转换为代数计算问题使问题易于解决体现了由综合——单一的化归。
例2. （2016北京市5分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

【答案】解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1。
又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=。
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，
∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ =3+。
∴ 。
【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积。
【点评】应用三角形面积公式，将几何问题转换为代数计算问题使问题易于解决体现了由综合——单一的化归。
例3. （2016浙江绍兴12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，
则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程 ，
解方程得x1= ，x2= ，
∴点B将向外移动 米。
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题。

例4. （2016四川广元3分） 若以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则
第四个顶点不可能在【 】
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C。
【考点】平行四边形的判定，坐标与图形性质。
【分析】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，
此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限。
则第四个顶点不可能落在第三象限。故选C。
【点评】作出图形，使问题易于解决体现了由抽象——具体的化归。
例5. （2016浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】

A． B． C．3 D．4
【答案】A。
【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。
∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2。
由勾股定理得：DE=。
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE。
∴，即，解得：。
∴BF+CM=。故选A。
【点评】作出辅助线，构成相似，将几何问题转换为代数问题使问题易于解决体现了由抽象——具体的化归。
练习题：
1. （2016贵州毕节3分）如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是【 】

A.2 B.2 C.4 D.4
2. （2016新疆区5分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2=2π，则S3是　 ▲ 　．

3. （2016浙江嘉兴、舟山4分）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于【 】
　 A． 40° B． 60° C． 80° D． 90°
4. （2016广东佛山3分）如图，边长为m＋4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ▲