全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编38规律探索.doc

规律探索
一、选择题
1.（5分）（2014•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是 ．
考点：
规律型：数字的变化类
专题：
规律型．
分析：
观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．
解答：
解：根据题意得：这一组数的第n个数是．
故答案为：．
点评：
此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

2.（2014•武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…
按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）

A．
31
B．
46
C．
51
D．
66

考点：
规律型：图形的变化类
分析：
由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．
解答：
解：第1个图中共有1+1×3=4个点，
第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，
第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，
…
第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．
所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．
故选：B．
点评：
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题．
3. （2014•株洲，第8题，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（　　）

A．
（66，34）
B．
（67，33）
C．
（100，33）
D．
（99，34）

考点：
坐标确定位置；规律型：点的坐标．
分析：
根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用100除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．
解答：
解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，
∵100÷3=33余1，
∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，
所处位置的横坐标为33×3+1=100，
纵坐标为33×1=33，
∴棋子所处位置的坐标是（100，33）．
故选C．
点评：
本题考查了坐标确定位置，点的坐标的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．
二.填空题
1. （2014•湘潭，16题，3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是　16　，第　672　行最后一个数是2014．

考点：
规律型：数字的变化类．
分析：
每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此求得第6行最后一个数字，建立方程求得最后一个数是2014在哪一行．
解答：
解：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，
第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，
∴第6行最后一个数字是3×6﹣2=16；
3n﹣2=2014
解得n=672．
因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．
故答案为：16，672．
点评：
此题考查数字的排列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．

2. （2014•扬州，第18题，3分）设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是　165　．
考点：
规律型：数字的变化类．
分析：
首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2得到a12+a22+…+a20142+2152，然后设有x个1，y个﹣1，z个0，得到方程组，解方程组即可确定正确的答案．
解答：
解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014
=a12+a22+…+a20142+2×69+2014
=a12+a22+…+a20142+2152，
设有x个1，y个﹣1，z个0
∴，
化简得x﹣y=69，x+y=1849
解得x=959，y=890，z=165
∴有959个1，890个﹣1，165个0，
故答案为：165．
点评：
本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．

二.填空题
1. （ 2014•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为　8　．

考点：
等腰直角三角形
专题：
规律型．
分析：
利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
解答：
解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，
∴AA1=OA=1，OA1=OA=；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．
故答案为：8．
点评：
此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．

2．(2014年四川资阳，第16题3分)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是　（，）　．

考点： 规律型：点的坐标；等边三角形的性质．
分析： 根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．
解答： 解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，
故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，
P6的纵坐标为，
故答案为：（，）．
点评： 本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．

3．（2014年云南省，第14题3分）观察规律并填空
（1﹣）=•=；
（1﹣）（1﹣）=•••==
（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；
…
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=　　．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．
解答： 解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
=••••••…
=．
故答案为：．
点评： 此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．

4.（2014•邵阳，第18题3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41．

考点：
规律型：图形的变化类；数轴
专题：
规律型．
分析：
根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式，就可解决问题．
解答：
解：由题意可得：
移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；
移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；
移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；
移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；
移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；
移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；
…
∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；
移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．
①当3n﹣2≥41时，
解得：n≥
∵n是正整数，
∴n最小值为15，此时移动了29次．
②当3n﹣1≥41时，
解得：n≥14．
∵n是正整数，
∴n最小值为14，此时移动了28次．
纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．
故答案为：28．
点评：
本题考查了用正负数可以表示具有相反意义的量，考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．

5.（2014•孝感，第18题3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是　（63，32）　．

考点：
一次函数图象上点的坐标特征
专题：
规律型．
分析：
首先利用直线的解析式，分别求得A1，A2，A3，A4…的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点An的坐标，即可得出点B6的坐标．
解答：
解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，
∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1，
∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，
∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，
∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，
即点A4的坐标为（7，8）．
据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．
即点An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．
∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．
故答案为：（63，32）．
点评：
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
6.（2014•滨州，第18题4分）计算下列各式的值：
；；；．
观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 102014 ．

考点：
算术平方根；完全平方公式．
专题：
规律型．
分析：
先计算得到=10=101，=100=102，=1000=103，=1000=104，计算的结果都是10的整数次幂，且这个指
数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同，所以=102014．
解答：
解：∵=10=101，
=100=102，
=1000=103，
=1000=104，
∴=102014．
故答案为102014．
点评：
本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为A．

7．（2014•德州，第17题4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2014的坐标为（　4027　，　4027　）．

考点：
二次函数图象与几何变换．
专题：
规律型．
分析：
根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x﹣an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案．
解答：
解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，
抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，
得x2=（x﹣a1）2+a1，
即2a1x=a12+a1，
x=（a1+1）．
∵x为整数点
∴a1=1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y=x2与y2相交于A2，
x2=x2﹣2a2x+a22+a2，
∴2a2x=a22+a2，
x=（a2+1）．
∵x为整数点，
∴a2=3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y=x2与y3相交于A3，
x2=x2﹣2a3x+a32+a3，
∴2a3x=a32+a3，
x=（a3+1）．
∵x为整数点
∴a3=5，
M3（5，5），
所以M2014，2014×2﹣1=4027
（4027，4027），
故答案为：（4027，4027）
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，定点沿直线y=x平移是解题关键．
8.（2014•菏泽，第14题3分）下面是一个某种规律排列的数阵：

根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是 （用含n的代数式表示）
考点：
算术平方根．
专题：
规律型．
分析：
观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n﹣1行的数据的个数，再加上n﹣2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
解答：
解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．
故答案为：．
点评：
本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n﹣1）行的数据的个数是解题的关键．
9．（2014年山东泰安，第24题4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为　　．

分析： 首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．
解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，
∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．
点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．

三.解答题
1. （ 2014•安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4×　4　2=　17　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
考点： 规律型：数字的变化类；完全平方公式．
分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．
解答： 解：（1）32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
所以第四个等式：92﹣4×42=17；

（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，
左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，
右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．
左边=右边
∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．
点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．