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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第二讲,研究函数与极限,基本方法,第1页,1,函数,研究对象,极限,研究工具,连续,研究桥梁,微积分学基础,参考:,第一章(第一节,第二节),(英 1642-1727),(德1646-1716),(法1789-1857),第2页,2,1-1 函数和连续概念、性质和应用,一.方法指导,1.对函数了解和讨论,(1)定义,定义域,对应规律,值域,基本要素,定义域,使表示式及实际问题有意义自变量取值集合.,对应规律,表示方式:,图象法;,表格法.,解析法;,值域,第3页,3,(2)基本特征,有界性,单调性,奇偶性,周期性.,(3)基本结构,基本初等函数,复合运算,反演运算,初等函数,非初等函数,分段函数,级数表示函数,四则运算,有限次运算且用一个式子表示,第4页,4,(4)惯用等式与不等式,第5页,5,2.函数连续与间断,(1)连续性等价形式,在,连续,当,时,第6页,6,(2)闭区间上连续函数性质,(P4,5),有界定理;,最值定理;,介值定理;,零点定理,(3)函数间断点,第一类间断点,可去间断点:,跳跃间断点:,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,二.实例分析,第7页,7,例1.,设,其中,求,解:,令,则,代入原方程得,即,再令,则,代入上式得,即,将,两式与,原方程,联立,解得,第8页,8,例2.,设,其中,满足,判断,奇偶性.,解:,令,则,故,为奇函数.,又令,y,=0,得,故,而,故,为奇函数.,所以,为偶函数.,第9页,9,例3.,求常数,k,及函数,g,(,x,),使函数,为连续奇函数。,解:,连续奇函数有,f,(0)=0,即,而,所以,第10页,10,例4.,设,求,解:,当,时,;当,时,第11页,11,例5.,设,证实,但,证:,在(0,1)中取点列,在(0,1 上无界,则有,显然,在(0,1 上无界.,但,若取点列,则,而,故,(P8.例4),第12页,12,间断点,并,x,=1,为第一类,可去间断点,x,=1,为第二类,无穷间断点,x,=0,为第一类,跳跃间断点,例6.,求函数,判别间断点类型.,解:,所以,f,(,x,)有间断点,第13页,13,例7.,设函数,(考研),解:,只有两个间断点,则,有（）；,1个可去间断点，1个跳跃间断点；,1个可去间断点，1个无穷间断点；,2个跳跃间断点；,2个无穷间断点。,为可去间断点；,为跳跃间断点。,第14页,14,例8.,讨论下述函数连续与间断问题,(P8.例5(1),解:,显然,在区域,上连续.,因,故,x,=1,为第二类无穷间断点.,第15页,15,1-2 求极限方法,(P13 第二节),一.方法指导,1.求极限基本方法,(P16-P19),(1)已知极限值利用极限定义验证,(用“,-,N,”或“,-,”语言),(2)未知极限值,先判别极限存在后再求极限,依据法则演算,判定与计算同时进行.,第16页,16,求极限基本方法,1）用验证极限定义。,8)用极限运算法则与函数连续性求极限,。,2）用消去不定型法求极限。,3）用有界函数与无穷小乘积仍为无穷小结论求极限。,5）用等价无穷小替换定理求极限。,6）用变量代换求极限。,4）用两个主要极限公式求极限。,7）用左、右极限存在且相等方法求极限。,9）用函数极限和数列极限关系求极限。,10）利用极限存在准则求极限。,第17页,17,12）用导数定义或定积分定义求极限。,13）利用微分中值定理求极限。,14）利用泰勒公式求极限。,16）用无穷级数相关知识求极限。,11）用洛必达法则求极限。,15）用积分中值定理求极限。,17）其它。,第18页,18,2.求未定式极限方法,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,3.求极限基本技巧,(1)定式部分应尽早求出;各种方法注意综合使用.,(2)注意利用已知极限结果.,比如,当 时,时,速度一个比一个快.,第19页,19,(3)善于利用等价无穷小替换,利用麦克劳林公式找等价无穷小,当,时,替换定理,（整个分子、整个分母或分子分母,乘积,因子）,第20页,20,当,x,0,时,有以下,惯用等价无穷小:,(P16),普通形式，如：,第21页,21,设对同一改变过程,为无穷小,说明:,无穷小性质,(1)和差取大规则:,由等价,可得简化一些极限运算下述规则.,若,=o(,),比如,证实,练习,、求,第22页,22,比如,(2)和差代替规则:,第23页,23,(3)因式代替规则:,界,则,比如,例4.,求,解:,原式,第24页,24,如,利用导数定义,微分中值定理,泰勒公式等,求极限.,3.判断极限不存在主要方法,(P22,6),(1)对分段函数,在界点处讨论左右极限;,(2)利用数列极限与函数极限关系;,(3)利用反证法,设极限存在推出矛盾.,(4)注意用求极限特殊方法,第25页,25,例1.,求,解:,原式,二.实例分析,第26页,26,例2.,求,型,解:,令,有,例3.,求,型,解:,不能直接用洛必达法则!,令,则,原式,说明:,有许多极限问题可经过变量代换使其简化.,再如,P27 例7,第27页,27,例4.,求,（洛必达法则或泰勒公式）,考研,第28页,28,例5.,设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,第29页,29,例6.,求,解:,原式=1.,第30页,30,例7.,求函数,解:,当,时等价无穷小.,时,与,小,，求,C,.,解,是等价无穷,则,例8,第31页,31,练习,已知,，(1)求,值，(2)当,时，,是,求常数,解,由题意(1),；,同阶无穷小,值。,考研,第32页,32,(2)因为,，则,可知当,时，,所以,与,x,是同阶无穷小，,第33页,33,例9.,求,型,证:,原式,对指数用洛必达法则,第34页,34,例10、,求,解,令,则,第35页,35,例11,求极限,考研,第36页,36,解,考研,第37页,37,当,考研,设,时，,一样可得,时，,当,原式,第38页,38,3、,所以,因为,考研,第39页,39,解,:,例12,1、求,普通，若,则,第40页,40,2、计算,考研,第41页,41,例13.,求,(P43 题21(3),解:,原式=,利用,第42页,42,例14.,解:,因为,当,或,所以,第43页,43,例15.,设,在,x,=0 某邻域内二阶可导,且,求,及,值.,解:,代入,得,第44页,44,例16.,求,型,直接用洛必达法则,繁!,处理方法,巧用泰勒公式,解:,见 P70,见 P70,原式,第45页,45,说明,利用泰勒公式求极限,(P31例12),利用导数定义求极限,(P29例9(1);P30 例10),利用微分中值定理求极限,(P31例11),求极限特殊方法:,利用定积分定义求极限,(P29例9(2),第46页,46,例17,第47页,47,例18.,解:,原式,第48页,48,例19.,解法1:,原式,故,于是,而,试确定常数,a,b,使,(P34 例14),第49页,49,例19.,解法2:,因,试确定常数,a,b,使,(P34 例14),利用,时,得,第50页,50,例20.,解:,设,由夹逼准则得,求,第51页,51,例21.,设,证实:,严格单调增加，且有界，则,证实,存在。,时，有,连续存在，,严格单调增加，且有界，,所以,存在，则,存在。,或者,存在。,第52页,52,例22,设数列,满足,（1）证实,存在，并求之，（2）计算,解,（1）因为,则当,时，,单调降低。又,有下界，依据准则，,存在，,（2）,递推公式两边取极限得,考研,第53页,53,例23.,设,证实:,设,得,则,单调降低，且有下界，,存在。,即,第54页,54,例24,分解,第55页,55,例25,第56页,56,例26,第57页,57,例27,求,间断点，,所以,是第一类间断点，,时，使,所以,为第一类间断点，且可去间断点。,并说明其类型.,解,可能间断点：,分段点,当,第58页,58,不存在，,为第二类间断点，,为第二类间断点，,时，,无定义，,不存在，为第二类间断点.,当,当,例27,求,间断点，,并说明其类型.,第59页,59,例28.,小球从,1,米,高处自由落下,每次跳起高度,降低二分之一,问小球是否会停顿运动?若会停顿,何时停顿?,解:,已知自由落体运动规律,设小球第,k,次落下时间为,则小球停顿运动时间为,(秒),第60页,60,阅读与练习,P13 第二节,(除 P27 例8(3);P29 例9(2);,P39 例20;P40 例21 ),第61页,61,
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