初二数学人教版因式分解讲义.doc

八年级数学因式分解辅导学案

因式分解的常用方法
　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
　(2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；
例.已知是的三边，且，则的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形
解：
选C
练习
(1) (2) (3)（x－1）（x＋4）－36

(4)（m2＋n2）2－4m2n2 (5)－2a3＋12a2－18a； (6)9a2(x－y)＋4b2(y－x)；

(7) (x＋y)2＋2(x＋y)＋1.

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
= 每组之间还有公因式！
=

例2、分解因式：
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式= 原式=
= =
= =

练习：分解因式1、 2、

（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=

例4、分解因式：
解：原式=
=
=

练习：分解因式3、 4、

四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：= 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

练习5、分解因式(1) (2)

3)

（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例7、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
练习7、分解因式：（1） （2）

（三）其他类型
例8、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：=
=

练习8、分解因式(1) (2)

例9、 例10、
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=
练习9、分解因式：（1） （2）

（3） （4）

练习
一、填空题
1．分解因式： m3-4m= .
2.分解因式： x2-4y2= __ _____.
3.分解因式：=___________ ______。
4.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为 .
5、若，则=_________，=__________。
二、选择题
6.下列多项式能分解因式的是（ ）
(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4
7．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ）
A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）

8.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（ ）
A.2 B.4 C.2y2 D.4y2
三、把下列各式分解因式： 9.

10、 11、

12、 13、；

因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
通常采用一“提”、二“公”、三“分”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
中考点拨
例.在中，三边a,b,c满足
求证：
证明：

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
练习 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。

：因式分解练习题精选
一、分解因式：

二．求代数式求值
1、 已知，，求 的值。

2、 若x、y互为相反数，且，求x、y的值

3、 已知，求的值

三、计算：
（1） 0.75 　（3）

（3）

四、试说明：对于任意自然数n，都能被动24整除

五、若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b2的值．

六、用简便方法计算：
⑴20042-2005×2003 ⑵
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