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例谈二阶导数在高考题中的应用

福州高级中学 高岚龙

随着高等数学的知识在初等数学中的下放，在全国各地历年的高考题中，出现了越来越多具有高等数学背景的考题。尽管高考题的解法主要是基于高中所学的内容，但是，微积分中所蕴涵的数学思想和经典的数学处理方法，有助于我们对高考命题的认识和把握。作为一名中学数学老师，应该强化用微积分的观点去认识高中数学的意识，才能对高考命题有深刻、全面的理解。本文以几个例子说明二阶导数在高考题中的应用。

一．二阶导数与凸性
定义1. 设在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点与，
恒有 ，那么称在 I 上的图形是凹的；
如果恒有 ，那么称在 I 上的图形是凸的；
定理1 设 在上连续，在内可导，那么：
（1）若在内单调增加，，则在上的图形是凹的；
　　（2）若在内单调减少，，则在上的图形是凸的；
定理 2设 在上连续，在内二阶可导，那么：
　　（1）若在内，则在上的图形是凹的；
　　（2）若在内，则在上的图形是凸的．
凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。
例1（2008年全国一，2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ A ）
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．

分析：我们知道，把汽车的行驶路程看作时间的函数，则其一阶导数是速度，而二阶导数则是加速度。加速行驶时，加速度大于零，则二阶导数大于零，此时，函数是凹的。减速行驶时，加速度小于零，则二阶导数小于零，此时，函数是凸的。故选A.
例2.（2008年福建理科，12） 已知函数的导函数的图象如下图，那么图象可能是
分析：由导函数的图像知， 单调减少，则的图形是凸的；单调增加，则的图形是凹的。排除了与。与在点导数相同，则在点的切线斜率也应当相等。排除了，故选.
凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合的关系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。
例3（2006年四川理科高考题）已知函数，的导函数是。对任意两个不相等的正数，
证明：（I）当时，.
分析：本题实际上是要证明所考查的函数当时是一个凹函数.一个函数是凹函数的充分条件之一是该函数的二阶导数大于0.
证明：，.当时，对，有，由定理2可知在是凹函数，再由定义知对任意两个不相等的正数，.

二．二阶导数与极值
　在高中，判断函数是否在取得极值，经常是利用函数导数在两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断是否为函数的极值点。有如下的判定定理：
定理3　 设函数在点处具有二阶导数且，，那么
　　（1）  当时，函数在处取得极大值；
　　（2）  当时，函数在处取得极小值．
例4（2008年湖北文史类高考题，17）已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.
（Ⅰ）求m的值；
解：，由得，或.
，则。由定理3知在取得极大值，在取得极小值。则，则。
利用二阶导数的符号判断函数的极值点，可以避免列表的麻烦，在证明题中特别适用。