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高考重难点专题突破之——不等式

一、 综述（内容、地位、作用）：
在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章《不等式》。另外，在实际教学过程中，在学到必修5《不等式》之前的某些章节（如集合、函数的值域等），无论文理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修4-5中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修5第三章《不等式》以及选修系列4-5《不等式选讲》。综合来看，不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分，它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。
不等式是中学数学的主干内容之一， 它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中，不等式虽很少单独命题（理科附加卷除外），但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看，有关不等式的试题分布范围极广（甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值），试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。
在高考命题趋势上，不等式的考查极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚点主要有：一，不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；二，不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；四，不等式的应用，以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。
二、 考试要求与教学建议：
（一） 必修5部分
新课标在对“必修5”《不等式》一章的说明中指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容……掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。”由此，我们大致可以看出教材对于本部分的基本要求以及高考的考查要点。
本部分的课标建议课时为大约16课时。相应的说明与建议主要有：
1、 一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。
2、 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。
3、 线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。
（二） 不等式选讲部分
此部分文理科考生的对待方式见的异同我们已在“综述”部分有所讲解，次不赘述。
本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。从文理科学习之间的异同的角度，我们可以将本专题内容分为两部分：前半部分，文理科同等要求，且均在必修过程中已基本讲解到位；后半部分，只对理科生做简单要求，即高考时所考题目难度不大，基本上可直接套用公式，或只需经简单并行即可套用公式，同时，也不是必做题。
下面，我们把新课标中的内容与要求重点性的摘录于此，以供诸位师生探讨，同时也作为本部分内容的一个基本总结，后文将不再详细展开。
1、 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明三角不等式等。
2、 认识柯西不等式的几种不同形式。
3、 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。
4、 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。
5、 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 
三、 考点归纳与题型讲解之“不等式的求解”
（一）、不等式的性质
1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
2、两个实数的大小：
；；
3、不等式的基本性质：
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．
如果，那么.
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果，那么（或）.
（3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果,,那么（或）
由上面三条可以衍生出如下的性质：
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（加法单调性）
（4）（同向不等式相加）
（5）（异向不等式相减）
（6）
（7）（乘法单调性）
（8）（同向不等式相乘）
（异向不等式相除）
（倒数关系）
（11）（平方法则）
（12）（开方法则）
4．例题：
（1）已知，，则的取值范围是______
（答：）；
（2）已知，且则的取值范围是______
（答：）
（二）解一元一次不等式（组）
1．一元一次不等式
1.1定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．
注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，a，b为已知数)．
1.2解一元一次不等式的一般步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．
2.一元一次不等式组
2.1定义：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．
2. 2一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．
2. 3. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）
不等式组
图示
解集

（同大取大）

（同小取小）

（大小交叉取中间）

无解
（大小分离解为空）
2．4.解一元一次不等式组的步骤
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
3．例题讲解
【例1】 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.
解:解不等式①得，解不等式②得，不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
∴原不等式组的解集是.
（三）解一元二次不等式（组）
1：一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
比如：.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.
2：一般的一元二次不等式的解法：
一元二次不等式的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集.
　　设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

(a>0)的图象

有两相异实根
有两相等实根
无实根

注：表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，可先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
3：规律方法指导
3.1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
3.2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3.3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
3.4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
3.5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数
（四）．解分式不等式
1. 形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为０）的不等式称为分式不等式。
通俗的说就是分母中含未知数的不等式称之为分式不等式。
2. 归纳分式不等式的解法：（不知道分母正负的时候）
化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式
将分式不等式进行形如以下四类的等价变形：
（1）
（2）
（3）
（4）
3.例题讲解：解不等式：.
解法1：化为两个不等式组来解：
∵x∈φ或，
∴原不等式的解集是.
解法2：化为二次不等式来解：
∵， ∴原不等式的解集是
点评：提倡用解法2，避免分类讨论，提高解题速率。
变式1：解不等式
解：
的解集是{x| -7<x3}
变式3：解不等式
解：
注：如果知道分母的正负，则可以去分母，化分式不等式为整式不等式。
（五）．解高次不等式（可分解的）
1.解高次不等式的步骤：
（1）因式分解
（2）未知数系数化正
（3）穿根（从右上角开始，奇穿偶回）
2.穿根法使用步骤：
①将不等式化为形式，并将各因式x的系数化“+”；
②求方程各根，并在数轴上表示出来（从小根到大根按从左至右方向表示）。
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
+
+
+

xn
xn-1
x3
x2
x1
-
-
-

说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；
3.例题讲解：
例1.解不等式：.
解：∵
+
+
，用穿根法（零点分段法）画图如下：
+

-
-
-1
1
2
3

∴原不等式的解集为{x| -1<x1或2x<3}.
例2 解不等式：.
解：①检查各因式中x的符号均正；
②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；
③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.
说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.
（六）解无理不等式
1.基本概念：根号下含有未知数的不等式。
2、无理不等式的类型（高考对这方面的要求不太高）

3.根式不等式的解法
3.1类型一：

例：解不等式
解：原不等式可化为，根据根式的意义及不等式的性质，得：

解得
所以，原不等式的解集为
3.2类型二：

注：第一个花括号内的f(x)大于等于0可以省略。
例2 解不等式
解：原不等式可化为
根据根式的意义及不等式的性质，得

解这个不等式组（1），得

解这个不等式组（2），得

所以，原不等式的解集为

3.3类型三：

例3 解不等式
解：原不等式可化为
根据根式的意义及不等式的性质，得

解这个不等式组，得
3.4 类型四：

例4 解不等式
解：由原不等式可得：

解得
解法小结：解无理不等式的主要思路是去根号。但去根号的时候要注意下根号里的数和根号外的数的正负！
（七）解绝对值不等式的常用方法
解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对值的不等式，常见的解法有以下几种：
1、利用绝对值的定义
例1：解不等式.
解：原不等式于：（Ⅰ）或（Ⅱ）
由（Ⅰ）得：或（Ⅱ）得
∴原不等式的解集为：.
例2 解不等式.
解：原不等式即：，由绝对值的意义可知，亦即，所以，即原不等式的解集为 .
评注：利用绝对值的意义求解有些不等式时可另辟蹊径，化繁为简.
例3 解不等式
分析：不等式左边可化掉无理式。
解：原不等式等价于
或
或
原不等式的解集为
2、利用绝对值的性质
例1：解不等式.
解：原不等式等价于即:
由①得 由②得
∴原不等式的解集为：.
3、利用平方法
例1：解不等式.
解：将原不等式两边平方为：
∴原不等式的解集为：.
例2、解不等式
解：原不等式变为：
等价于，即
∴原不等式的解集为
4、利用分段讨论法（即零点分段法）
例1：解不等式.
解：当时，不等式化为：∴
当时，不等式化为： ∴
当时， ∴
综上所述，不等式的解集为：.
例2. 解不等式
分析：如何去掉两个绝对值的符号？首先找出零点，第一个绝对值的式子的零点为5，第二个式子的零点为，两个零点把数轴分成三段，故可分为三段讨论。
解：原不等式变为：

即
∴原不等式的解集为
注：利用此法解题时要注意x的系数为正。
5、利用绝对值的几何意义
例1：解不等式.
解：不等式表示数轴距A（3）、B（-2）两点的距离之和大于5的点，方程表示在数轴上距A、B两点的距离之和等于5的点。
∴原不等式的解集为：.
6、利用不等式组法（即等价转化法）
例1：已知关于x的不等式有解，求a的取值范围。
解：令 则 ， 可将原不等式变为不等式组 ，因原不等式有解，如图，易得 。
例2：已知关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围。
解：令，由上知，故可将原不等式等价变为不等式组 ，如图 ，易得.
7、利用数形结合法
例1 解不等式
解 画出和的图像，如图所示，求出他们的交点的横坐标分别是和因为，所以原不等式的解是的交点的横坐标，由图像知：原不等式的解是或.
例2 若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
解析：在同一坐标系中分别画出函数与的图象（如下图），显然，要使不等式对一切恒成立，须，即的取值范围是.
例3 若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解析：在同一坐标系中分别画出函数及（如下图），由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数图象的下方，因此，函数的图象也必须经过点，所以.

评注：运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题，既直观形象，又简单易行.

8 利用利用定比分点法
例1 解不等式.
解：在数轴上取，其中，使P为
的内分点即可，这就顺利地去掉了绝对值符号， 由
即： 即：解不等式：.
等价于整式不等式：

又

故不等式的解集为：
9、利用绝对值不等式
注：主要指绝对值的三角不等式
例1 解不等式：.
解析：首先应有，所以原不等式等价于，由于在不等式中，成立的条件是，所以原不等式等价于，而，所以，因此得，故原不等式的解集为.
评注：要特别注意不等式中各部分等号及不等号成立的条件，利用这些条件可以解决一些绝对值不等式或方程问题.
例2 若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解析：令，则只须求出函数的最小值即可.由于（当时等号取到），即的最小值等于3，所以不等式恒成立时，的取值范围是.
评注：此处用绝对值不等式求最值，避免了对函数的分段讨论，显得非常简单.
（八）．用数学思想方法解不等式
注：再解不等式时，有时充分借用常见数学思想，如整体思想、等价变形思想、补集思想、方程与函数思想等等，进行求解，会起到事半功倍的效果。读者可自行对照相关题型研究、学习，此不详细列举。
四、 考点归纳与题型讲解之“不等式的证明”
（一）比较法证明不等式
例1 若，证明（ 且）．
分析1 用作差法来证明．需分为和两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．
解法1 （1）当时，因为 ，
所以 ．
（2）当时，因为 ，
所以 ．
综合（1）（2）知．
分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．
解法2 作差比较法．
因为
，
所以．
说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．
例2 设，求证：
分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．
证明：，∵，∴∴. ∴又∵，∴.
说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.

（二）综合法证明不等式
例1 对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）
分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
证明：∵ （当且仅当时取等号）
两边同加，
即： （1）
又：∵ （当且仅当时取等号）
两边同加
∴
∴ （2）
由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）．
说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．

例2 若a、b、c是不全相等的正数，求证：
【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。
【证法一】（综合法）：，，，
又∵a、b、c是不全相等的正数，∴有。
∴ 即
【证法二】 （分析法）要证
即证成立。只需证成立。
∵，，。∴ （*）
又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立。
∴原不等式成立。
（三）分析法证明不等式
例1 已知，求证：＞0.
分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.
证明一：(分析法书写过程)
为了证明＞0
只需要证明＞
∵
∴
∴＞0
∴＞成立
∴＞0成立
证明二：(综合法书写过程)
∵ ∴
∴＞ ＞0
∴＞成立
∴＞0成立
说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚.

例2、 若，且，求证：
分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．
证明：为要证
只需证，
即证，
也就是，
即证，
即证，
∵，
∴，故即有，
又 由可得成立，
∴ 所求不等式成立．
说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”，综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．

例3 设、为正数，求证．
分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法．
证明：要证，只需证，
即证，
化简得，．
∵，
∴．
∴．
∴原不等式成立．
说明：1．本题证明易出现以下错误证法：，，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且来讨论，结果无效．
2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以．
（四）反正法证明不等式
例1若，求证．
分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．
证法一：假设，则，
而，故．
∴．从而，
∴．
∴．
∴．
这与假设矛盾，故．
证法二：假设，则，
故，即，即，
这不可能．从而．
证法三：假设，则．
由，得，故．
又，
∴．
∴，即．
这不可能，故．
说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾．
一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法．
例2 已知，求证：中至少有一个不小于。
【分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。
【证明】（反证法）假设都小于，则
，
而
，相互矛盾
∴中至少有一个不小于。
[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。
（五）三角换元法证明不等式
例1 已知，求证．
分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明．
证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数．
∵，∴可设，，其中．
∴．
由，故．
而，，故．
说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为或或时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性．
（六）放缩法证明不等式
例1 设是正整数，求证．
分析：要求一个项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．
证明：由，得．
当时，；当时，，……
当时，．
∴．
说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．典型例题如证明．由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．
放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．
例2、 证明不等式：，
解 因为对于任意自然数，都有，所以，

从而不等式得证．
点评：放缩法是一种证明的技巧，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中考察．如本题中注意到所要求证的式子左右两端的差异，以及希望把左式化简的目标．
例3 已知，，，求证：三数不都大于．
分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明．假设命题不成立，则三数都大于，从这个结论出发，进一步去导出矛盾．
证明：假设三数都大于，
即，，．
又∵，，，
∴，，．
∴　　　①
又∵，，．
以上三式相加，即得：
　　②
显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证．
说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想．
例4 求证．
分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从下手考查即可．
证明：∵，
∴．
说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键．

（七）基本不等式法证明不等式
例1 如果，，，求证：．
分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同），由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明．
证明：∵

．
∴．
说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式而得到的．左右两边都是三项，实质上是公式的连续使用．
如果原题限定,,,则不等式可作如下变形：,进一步可得到：．
显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程．
例2 已知是不等于1的正数，是正整数，求证．
分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．
证明：∵是不等于1的正数，
∴，
∴．　　　　①
又．　　　　②
将式①，②两边分别相乘得
，
∴．
说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题．
例3 已知，，，，且，求证．
分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效．为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法．
证明：要证，只需证，
只需证．
∵，，，∴，，，
∴，∴成立．
∴．
说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果．在题中得到只需证后，思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法．通过此典型例题可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的．
例4、已知、、，，求证
分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．
证明：∵
∴

∵，同理：，。
∴
说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．

（八）化归法证明不等式
例1 在中，角、、的对边分别为，，，若，求证．
分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．
证明：∵，∴．
由余弦定理得
∴，
∴
　　　　 =

说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式．本题应用知识较为丰富，变形较多．这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养．

（九）判别式法法证明不等式
例1： 已知，求证：都属于。
【证明】由已知得：，代入中得：

∵，∴△≥0，即
解得，即y∈ 。同理可证x∈ ，z∈ 。
变式：设，且，求证：
因为，而
所以，所以a，b为方程 （1）的二实根
而，故方程（1）有均大于c的二不等实根。
记，则
解得。
[思维点拔] 在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。
例2 证明不等式
证法：令

　　关于a的二次三项式

　　∴f（a）≥0 ∴
（十）构造函数法证明不等式
例1 设0<x<1，0<y<1，0<z<1，证明。
分析 构造一次函数解答本题。
证明 构造函数整理，得f(x)=(1-y-z)+(y+z-yz) （0<x<1）
(1)当0<1―y―z<1时，f(x)在（0，1）上是增函数，于是
f(x)<f(1)=1―yz<1；
(2)当―1<1―y―z<0时，f(x)在（0，1）上是减函数，于是
f(x)<f(0)=y+z―yz=1―(1―y)(1―z)<1；
(3)1―y―z=0时，即y+z=1时，
f(x)=y+z―yz=1―yz<1，
综上，原不等式成立。
点评 由于―1<1―y―z<1，所以本题就“0<1―y―z<1，―1<1―y―z<0，1―y―z=0”三种情况进行了讨论，所用数学思想是分类讨论的思想。

（十一）等量代换法证明不等式
例1 已知a>b>c，求证：
分析 考虑到a―c=（a―b）+（b―c），由此可以令x=a－b>0，y=b－c>0，使问题转化为“若x、y>0，证明”。
证明 令x=a―b>0，y=b―c>0，a―c=x+y，下面只要证明即可。
∵x，y>0，
∴，
（当且仅当，即x=y，2b=a+c取等号）
∴，
即。
（十二）数学归纳法证明不等式
例1 证明不等式：，
讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明．
解1 ①时，不等式的左端=1，右端=2，显然1<2，
所以，时命题成立．
②假设时命题成立，即：．
则当时，
不等式的左端
不等式的右端．
由于=

．
所以，，即时命题也成立．
由①②可知：原不等式得证．

五、 考点归纳与题型讲解之“不等式的应用”（一元二次方程根的分布）
（一）基础讲解
一元二次方程，除了讨论其根的性质和符号外往往还要求我们讨论其根落在某个区间内或外的充要条件，这类问题，一般大都以二次函数的图象作为辅助工具。下面介绍借助二次函数图象讨论二次方程根的范围问题的一般方法。
对于方程，总可以化为与其同解的方程的形式。
1． 程的根与常数的关系
设的二根为、，且，那么它们与常数，在轴上的位置关系分别如下图：

（1）两根均小于，即的充要条件是
（2）一根小于而另一根大于，即的充要条件是
（3）二根均大于，即的充要条件是
例1 设二次方程的解满足下列条件：（1）两根都大于1；（2）一根大于1，而另一根小于1，分别求实数的范围。

2．方程的根与常数的关系
如果方程二根为、，且，那么它们与常数，在轴上的位置关系分别如下图：

（1） 程，两根分别在两侧的充要条件是
（2）方程在只有一根，即或的充要条件是或
（3）方程二根都在内，即的充要条件是
（4）方程二根、满足条件且的充要条件是
例2．若方程的二根满足条件，小根小于1，大根在（1, 3）内，求的范围。

（二）总结
一般说来，利用二次函数图象来研究与其相应的一元二次方程实根的分布问题，关键是根据题设条件作出抛物线的确切位置的草图，根据图列出满足条件的不等式。这要比直接利用判别式和根与系数的关系来解方便些。其优点是直观明显，公式与图形结合，有利于提高我们分析问题和解决问题的能力。
若二次方程的根分布在某闭区间上，这时区间端点的值要通过检验看是否满足题意。
若记一元二次方程的二根为，对应的二次函数为：，判别式：，则可以讲一元二次方程分的分布问题归纳如下表
根的分布

无实根

图
像

充要
条件

根的分布
一正根一负根
二根均为正
二根均为负

图
像

充要
条件

根的分布
二根大于1（a＞0）
二根小于-1（a＞0）
[-1,1]之外两根（a＞0）

图
像

充要
条件

根的分布
一根在-1与1之间一根大于1（a＞0）
一根在-1与1之间，一根小于-1（a＞0）
二根均在－1至1之间（a＞0）

图
像

充要
条件

根
的
分
布

图
像

充要
条件

根的分布

在（）内有且仅有一根

图
像

充要
条件

或,

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