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数学第一讲 集合的含义表示与基本关系
一、 知识清单：
1、 集合的概念
一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合
（1） 集合是一个整体
（2） 构成集合的对象必须是确定的且不同的
例1， 给出下列各组对象：
（1） 大于1且小于10的偶数
（2） 接近于0的数的全体
（3） 比较小的正整数的全体
（4） 平面直角坐标系内到点O的距离为1的点的集合
（5） 正三角形的全体
其中能构成集合的是_______________

2、 集合中元素的特征
（1） 确定性
（2） 互异性
（3） 无序性
例2、参考书P2

3、 元素与集合的关系及特定集合的表示
（1） 属于与不属于的关系
（2） 特定集合表示
（3） 集合的表示方法
（1） 列举法
（2） 描述法
（3） 图示法
4、 子集，真子集与空集
（1） 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。记作
（2） 如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作

5、 集合的相等
如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们说集合A等于集合B。记作
① ② ③

二、 方法技巧：
1、 充分利用集合三性三法解题
资料P3
① ② ③

2、空集的作用
资料P8
2、 数形结合思想与分类讨论的思想的运用
资料P8

三、 易错点与思维误区：
1、 忽视集合的互异性
资料P4
2、 不能区分集合的数集和点集
资料P4

3、 忽视空集
资料P9

四、 练习与作业
1、 练习题
；6 ； （-2,4）

2、 作业

数学第二讲 集合的基本运算

一、 知识清单：
1、交集与并集
1)实例： A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}
图
c d a b e f

c d a b e f

公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
2)定义： 交集： A∩B ={x|xÎA且xÎB} 符号、读法
并集： A∪B ={x|xÎA或xÎB}
见课本P10--11 定义 （略）
3)、例题：课本P11例一至例五
练习P12
补充： 例一、设A={2,-1,x2-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩B=C求x,y。
解：由A∩B=C知 7ÎA ∴必然 x2-x+1=7 得
x1=-2, x2=3
由x=-2 得 x+4=2ÏC ∴x¹-2
∴x=3 x+4=7ÎC 此时 2y=-1 ∴y=-
∴x=3 , y=-
例二、已知A={x|2x2=sx-r}, B={x|6x2+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}求A∪B。
解：
∵ÎA且 ÎB ∴

解之得 s= -2 r= -
∴A={-} B={-}
∴A∪B={-,-}

2、全集与补集
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示，或者说，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。

U
CUA

A
图示法：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合统称为集合A相对于集合U的补集，简称集合A的补集。

符号语言：

6、 集合运算的性质
资料P13
交集的常用性质
A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,

并集的常用性质
A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.

补集的常用性质
U
A
B

(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)
(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)
二、方法技巧：
1、 等价转换思想在集合中的灵活运用
资料P15
2、 巧用补集
资料P15
三、易错点与思维误区：
1、忽视补集的前提
补集具有相对性，在不同的全集下其补集是不同的，因此，补集问题应注意首先是全集的子集这一前提。
例题：
资料P16
四、练习与作业
1、 课本习题1.1A组6,7,8,9,10，B组2,3,4题做练习本上。
2、设集合A = {x | -4≤x≤2}, B = {x | -1≤x≤3}, C = {x |x≤0或x≥ },
求A∩B∩C, A∪B∪C。

数学第一讲·集合
从习题归纳总结知识点！
一、夯实基础

1________N， 　　0________N， 　　　－3________N，

1________Z， 　　　0________Z， 　　　－3________Z，

1________Q， 　　0________Q， 　　　－3________Q，

1________R， 　　　0________R， 　　　－3________R，

例2.、已知集合M=，求M。

例3、已知集合M满足，写出这样的集合M，有多少个这样的集合M？

例4、已知集合A=，B=，且，求由实数m所构成的集合M，并写出集合M的所有子集。

例5、设U=R，已知集合A=，B={x|0≤x＜7},求（1）A∩B；（2）AUB；（3）、（4） ∩
二、思维拓展
例6 下列四个集合中，表示空集的是
[ ]
A．{0}
B．{(x，y)|y2＝－x2，x∈R，y∈R}

D．{x|2x2＋3x－2＝0，x∈N}

例7、已知A={x|2x2=sx-r}, B={x|6x2+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}，求A∪B。

例8设集合A=｛1，3，a｝，B=｛1，a2－a＋1｝，若BA，求a的值。

例9、已知关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，
若A∩B={－}，求A∪B.

例10、已知集合M={x|-3<x<1}、N={x|x≤-3},则M∪N=

数学第四讲·函数的概念

教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
教学过程：
一、 引入课题
1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
二、 新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
2． 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（由学生完成，师生共同分析讲评）
（二）典型例题
1．求函数定义域
课本P20例1
说明：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；
如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
巩固练习：课本P22第1题
2．判断两个函数是否为同一函数
课本P21例2
说明：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
巩固练习：
课本P22第2题
判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1
（2）f ( x ) = x； g ( x ) =
（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2
（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
（三）课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
三、 归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
四、 作业布置
课本P28 习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题

数学第五、六、七讲·映射、函数的概念、表示法、解析式、定义域、值域、图像

知识点：映射

知识点：函数概念及复合函数
目的：要求理解函数的概念，明确决定函数的三个要素。
一、函数概念：

二、函数的三要素： 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例一：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
1． 解：不是同一函数，定义域不同
2。 解：不是同一函数，定义域不同
3。 解：不是同一函数，值域不同
4． 解：是同一函数
三、关于复合函数
　　设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 则称 f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。
f[g(x)]=2(x2+2)-3=2x2+1
g[f(x)]=(2x-3)2+2=4x2-12x+11
例、已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1)
解：f()=()2-+3
f(x+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x2+x+3

知识点： 函数的表示法，分段函数，区间。
目的： 要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念和区间的概念。
一、常用的函数表示法有三种：解析法、列表法、图象法。
1、解析法： 2、列表法： 3、图象法 《自己看书》
二、分段函数
我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即：
=
这一种函数我们把它称为分段函数。
三、区间 《自己看书》

知识点： 函数的解析式
目的： 要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。
一、已知复合函数如何求本函数
1．若,求f(x)。
解法一（换元法）：令t=则x=t2-1, t≥1代入原式有
∴ （x≥1）
解法二（定义法）： ∴
≥1 ∴f(x)=x2-1 (x≥1)
2、已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x-1, 求f(x)的解析式。
解：（待定系数法）设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x-1
则 或
∴或
3、 (x¹0) 求
知识点：定义域
目的：要求掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。
一、定义：给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。
例、求下列函数的定义域：
1． 2．
解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须：

即：
∴函数的定义域为： ∴函数的定义域为：
{x |} { x|}

4、设的定义域是[-3，]，求函数的定义域。

知识点：函数的值域
目的：要求掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。
一、求值域的方法：
1．直接法（观察法）：
例一、求下列函数的值域：1°
解：1° ∵ ∴
即函数的值域是 { y| yÎR且y¹1}
（此法亦称部分分式法）

2．二次函数法：
例二、1°若为实数，求 y=x2+2x+3的值域
2°求函数 的值域
解：由 4x-x2≥0 得 0≤x≤4
在此区间内 (4x-x2)max=4 (4x-x2)min=0
∴函数的值域是{ y| 0≤y≤2}
3．判别式法（△法）
例三、求函数的值域
解一：去分母得 (y-1)x2+(y+5)x-6y-6=0 (*)
当 y¹1时 ∵xÎR ∴△=(y+5)2+4(y-1)×6(y+1)≥0
由此得 (5y+1)2≥0
检验 时 （代入(*)求根）
∵2Ï定义域 { x| x¹2且 x¹3} ∴
再检验 y=1 代入(*)求得 x=2 ∴y¹1
综上所述，函数的值域为 { y| y¹1且 y¹}
4．换元法
例四、求函数的值域
解：设 则 t≥0 x=1-t2
代入得 y=f (t )=2×(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4
∵t≥0 ∴y≤4
二、小结：
1．直接法：应注意基本初等函数的值域
2．二次函数法：应特别当心“定义域”
3．△法：须检验
4．换元法：注意“新元”的取值范围

知识点： 函数图象；
目的： 要求根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。
二、例一、画出下列函数的图象。
1。 2。

三、例二、根据所给定义域，画出函数的图象。
1。 2。 3。且xÎZ

四、关于分段函数的图象
例三、已知 画出它的图象，并求f(1),f(-2)。

五、关于函数图象的变换
1．平移变换 研究函数y=f(x)与y=f(x+a)+b的图象之间的关系

例四、函数-2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的。

解： 1）将的图象沿 x轴向左平移1个单位再沿y轴向下平移2个单位得-2的图象；
-2
2）将的图象沿x轴向右平移个 单位再沿y轴向上平移1个单位得函数的图象。

小结：1。 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0向左,k<0向右）得y=f(x+k)图象；
2．将函数y=f(x)的图象向上（或向下）平移|k|个单位（k>0向上,k<0向下）得y=f(x) +k图象。
2、对称变换 函数y=f(x)与y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴、y轴、原点对称
例五、设 (x>0)作出y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象。

3、翻折变换 由函数y=f(x)的图象作出y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象
例、作出函数y=|x2-2x-1|及y=|x|2-2|x|-1的图象。

小结： 将y=f(x)的图象，x轴上方部分不变，下方部分以x轴为对称轴向上翻折即得y=|f(x)|的图象；
将y=f(x)的图象，y轴右方部分不变，以y轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y=f(|x|)的图象

数学第八讲·函数图像

教材： 函数图象；
目的： 要求学生根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。
过程：
二、例一、画出下列函数的图象。
o
x
y
1
2
3
-1
1
1。 2。
解： 解：
o
x
y
1
2
3
-1
1
注意：由于定义域从而导致
函数图象只是若干个孤立点。
-1 -0.5
1

0.5
y

o x
3。 注意：先写成分段函数再作图。
解：定义域为 且x¹

强调：定义域十分重要。
三、例二、根据所给定义域，画出函数的图象。
-2 -1 O 1 2 3 4
y

x
1
2
3
4
-2 -1 O 1 2 3 4
y

x
1
2
3
4
-2 -1 O 1 2 3 4
y

x
1
2
3
4
5
5
1。 2。 3。且xÎZ

四、关于分段函数的图象
-1
-2
p
y
例三、已知 画出它的图象，并求f(1),f(-2)。
解：f(1)=3×12-2=1
f(-2)=-1

五、关于函数图象的变换
1．平移变换 研究函数y=f(x)与y=f(x+a)+b的图象之间的关系

例四、函数-2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的。

解： 1）将的图象沿 x轴向左平移1个单位再沿y轴向下平移2个单位得-2的图象；
-2
2）将的图象沿x轴向右平移个 单位再沿y轴向上平移1个单位得函数的图象。

小结：1。 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0向左,k<0向右）得y=f(x+k)图象；
2．将函数y=f(x)的图象向上（或向下）平移|k|个单位（k>0向上,k<0向下）得y=f(x) +k图象。
2、对称变换 函数y=f(x)与y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴、y轴、原点对称
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y=-f(x)
y=f(-x)
y=-f(-x)
例五、设 (x>0)作出y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象。

横坐标不变，纵坐标 纵坐标不变，横坐标 横坐标与纵坐标都取
取相反数 取相反数 原来相反数
图象关于轴对称 图象关于轴对称 图象关于原点对称
3、翻折变换 由函数y=f(x)的图象作出y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象
例六、作出函数y=|x2-2x-1|及y=|x|2-2|x|-1的图象。
解：分析1： 当x2-2x-1≥0时，y=x2-2x-1
当x2-2x-1<0时，y=-(x2-2x-1)

步骤：1.作出函数y=x2-2x-1的图象

2．将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|x2-2x-1|的图象。
y
x
-1 O 1 2 3

2

1

-1
-2

分析2：当x≥0时 y=x2-2x-1
当x<0时 y=x2+2x-1 即 y=(-x)2-2(-x)-1
y
x
-3 -2 -1 O 1 2 3
3
2
1

-1
-2
-3

步骤：1）作出y=x2-2x-1的图象；
2）y轴右方部分不变，再将右方部分以y轴为对称轴向左翻折，即得y=|x|2-2|x|-1的图象 。

小结： 将y=f(x)的图象，x轴上方部分不变，下方部分以x轴为对称轴向上翻折即得y=|f(x)|的图象；
将y=f(x)的图象，y轴右方部分不变，以y轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y=f(|x|)的图象。
六、作业：

教材： 续函数图象
目的： 完成第六教时可能没有完成的教学任务，然后进行综合练习。
过程：
例一、 讨论函数的图象与的图象的关系。
例二、 解：
可由的图象向左平移两个单位得的图象，再向上平移三个单位得 的图象。
例三、 如图为y=f(x)的图象，求作y= -f(x)，y=f(-x)， y=|f(x)|，y=f(|x|)的图象。

y
x
O
x
O
x
O
x
O

作业：作出下列函数的图象：
1. 2.
3. 4.

数学第九讲·函数的单调性与最值

归纳基本初等函数的单调性及最值
1. 正比例函数：f(x)=kx(k0)，当k0时,f(x)在定义域R上为增函数；当k0时,f(x)在定义域R上为减函数，在定义域R上不存在最值，在闭区间［a,b］上存在最值，当k0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k0时, ,最大值为f(a)=ka，函数f(x)的最小值为f(b)=kb。
2. 反比例函数：f(x)=(k0)，在定义域（-，0）（0,+）上无单调性，也不存在最值。当k0时，在（-，0），（0,+）为减函数；当k0时，在（-，0），（0,+）为增函数。在闭区间［a,b］上，存在最值，当k0时函数f(x)的最小值为f(b)= ,最大值为f(a)=, 当k0时, 函数f(x)的最小值为f(a)= ，最大值为f(b)= 。
3. 一次函数：f(x)=kx+b(k0),在定义域R上不存在最值，当k0时，f(x)为R上的增，当k0时，f(x)为R上的减函数，在闭区间［m,n］上，存在最值，当k0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k0时, 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b，最大值为f(m)=km+b。
4. 二次函数：f(x)=ax+bx+c,
当a0时，f(x)在（-,-）为减函数，在（-，+）为增函数，在定义域R上有最小值f()=,无最大值。
当a0时，f(x)在（-,-）为增函数，在（-，+）为减函数，在定义域R上有最大值f()=,无最小值。
二次函数是闭区间上的最值问题是高考考查重点和热点内容之一,必须高度重视！

证明函数单调性作差中常用方法
例1 证明函数f(x)=x+x在R上是单调增函数。配方法

例2 证明函数f（x）= -在定义域上是减函数。分子有理化

例3 讨论函数f(x)＝在x(-1,1)上的单调性，其中a为非零常数。含字母参数时，要讨论参数范围

常用结论
例4 讨论函数f(x)=的单调性。
总结：1.函数y=-f(x)与函数y=f(-x)的单调性相反。
2. .函数y=f(x)+c与函数y=f(x)的单调性相同。
3.当c0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同，当c0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反。
4.若f(x)0,则函数f(x)与具有相反的单调性。
5.若f(x)0，则函数f(x)与具有相同的单调性。
6.对于函数f(x)与g(x)可以总结为：
增+增＝增，增—减＝增，减+减＝减，减—增＝减
7.当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y=f［g(x)］是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相反时，复合函数y=f［g(x)］是减函数。
简称为口诀“同增异减”。
练习： 1．已知y=f(x)与y=g(x)均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的单调性。
（1） y=-2f(x) （2） y=f(x)+2g(x)
2. 求函数y=+的最小值。

抽象函数的单调性
没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常用定义法；还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。
例1 已知函数f(x)对任意x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时，f(x)0,f(1)=--,.
(1) 求证f(x)在R上是减函数。
(2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值。

例2 已知y=f(x)在定义域（-1,1）上是减函数，且f(1-a)f(a-1),求a的取值范围。

练习：
1. 定义域在（0,+）上的函数f(x)满足:（1）f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当xy时，有f(x)f(y),若f(x)+f(x-3)2,求x的取值范围。

2. 已知函数f(x)的定义域为R，且f()=2,对任意m ,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x时，f(x).
(1).求f(-)的值。
（2）求证f(x)在定义域R上是增函数。

函数单调性的应用
1.利用函数的单调性比较函数值的大小
例1 如果函数f(x)=x+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。
例2 已知函数y=f(x)在［0,+）上是减函数，试比较f()与f(a-a+1)的大小。
2.利用函数的单调性解不等式
例3 已知f(x)是定义在R上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)
（1）解方程 f(x)=f(1-x)
(2) 解不等式 f(2x)f(1+x)
(3) 求适合f(x)2或f(x)0的x的取值范围。

3．利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。
例3 已知f(x)=x-2(1-a)x+2在（-，4）上是减函数，求实数a的取值范围。

例4 已知A＝［1,b］(b),对于函数f(x)=(x-1)+1,若f(x)的定义域和值域都为A，求b的值。

求函数值域的一般方法
1.二次函数求最值，要注意数形结合
与二次函数有关的函数，可以用配方法求值域，但要注意函数的定义域。
例1：求函数y=的最大值和最小值。

例2：求f(x)=x-2ax+x2,x［-1,1］,求f(x)的最小值g(a).
g(a)=
2.形如y=ax+b的形式，可用换元法，即设t＝，转化成二次函数再求值域，（注意新元t的范围t0）
例3：求函数y=x+的值域。

3.形如y=(a)型的函数可借助反比例函数求其值域，这种方法也常被称为分离常数法。这种函数的值域为{y|y}
例4：求函数y=的值域。

4.利用单调性求值域：当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。
例5：求函数f(x)=在区间［2,5］上的最大值与最小值。

5. 分段函数的最值问题
分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。
例6：已知函数f(x)= 求f(x)的最大最小值。

数学第十讲·集合与函数习题课（1）

1、已知集合，试用列举法表示集合A.
解：是4的约数，，故A=
2．已知集合，集合．若BA，则实数＝ .
解：由得
3、已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.
解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.
当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.
若2ax2-ax-a=0.
因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有.
经检验，此时A=B成立. 综上所述
4．设集合，则满足的集合的个数是（ C ）.
　　A. 1 B. 3 C. 4 D. 8
5、已知集合，.若，求实数m的取值范围.
解：若B为空集，则得；若，则得，所以.
6、集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1A且x+1A，则称x为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集.
解：将S的4元子集A按从小到大的次序排列A={a,b,c,d}.A没有孤立元素，那么如果a=0或者d=5,必须b=1或者c=4，否则0或5就是孤立元素。a=0,b=1时，如果没有孤立元素，c,d必须是相连的数字。有3种方法取c,d。同样如果c=4,d=5，也有3种方法去a,b。考虑到重复计算的一种，所以有5种办法去取a,b,c,d使a=0或者d=6,而且没有孤立元素。如果a0,d4.，则只有。因此总共无孤立元素的4元子集有6个。它们是：{0，1，2，3}，{0，1，3，4}{0，1，4，5}{1，2，4，5}{2，3，4，5}{1，2，3，4}
7、（1）给定集合A、B，定义A※B={x|x=m-n，m∈A，n∈B}．若A={4，5，6}，B={1，2，3}，则集合A※B中的所有元素之和为 （ A ）
A．15 B．14 C．29 D．-14
解：A※B=
（2）设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A、B的运算：A*B={x|x∈A，或x∈B,且xA∩B}，则(A*B)*A等于（ B ）
A．A B．B C． D．
（3）已知集合A={|且，N，N*，≤100}，试求出集合A的元素之和.
解：，，所以
8、已知函数. 求：（1）的值； （2）的表达式
解：（1）由，解得，所以.
（2）设，解得，所以，即.
9、已知函数的定义域为，则的定义域为（ C ）.
A． B． C． D．
解：得
10、已知函数，同时满足：；，，，求的值.
解：令则那么，若，令，得则，这是不可能的，故，从而.令，则
所以
11、已知f(x)= ，求f[f(0)]的值
解：∵ ， ∴ f(0)=.
又 ∵ >1，
∴ f()=()3+()-3=2+=，即f[f(0)]=.
12、（1）设集合，. 试问：从A到B的映射共有几个？

（2）集合A有元素m个，集合B有元素n个，试问：从A到B的映射共有几个？

13、二次函数在区间(∞，4)上是减函数，你能确定的是（ C ）.
A. B. C. D.
14．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为（ B ）.
　　A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
15．已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， .
解： 因为是定义在上的偶函数，所以=
16．已知函数，求在区间上的最大值.
解：f(x)的对称轴x=4.
当t+14即t3时，，当t4 t+1即3t4时，，
当t4时，

17、已知函数在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值
解：令，函数的对称轴为，当即时，=解得
当即时，=，无解
当即时，=解得

18．已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件：对于任意的x、y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y).
（1）求证：f(0)=0；
（2）求证f(x)是奇函数，并举出两个这样的函数；
（3）若当x≥0时，f(x)＜0. （i）试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明之；
（ii）判断方程│f(x)│=a所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围.
解：（3）（i）设，则.那么即，所以为减函数。
（ii）的图像过原点且关于y轴对称，
当时，y=与y=a无交点，│f(x)│=a无