正弦级数与余弦级数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,周期为,2,的函数,的,傅立叶系数,:,函数,的,傅立叶级数,:,的傅立叶级数,何时收敛？收敛于什么？,预备知识：,1,第八节 正弦级数和余弦级数,一、奇函数和偶函数的傅立叶级数,定理,在一个周期上可积,则,它的傅立叶系数为,设,是周期为,的周期函数。,当,是奇函数时,，,它的傅立叶系数为,当,是偶函数时,证,当,是奇函数时，,2,是偶函数时，,当,这个定理说明了,:,只含有正弦项的,正弦级数：,弦项的,余弦级数：,那么它的傅立叶级数是,为奇函数，,如果,为偶函数,如果,那么它的傅立叶级数是只含有常数项和余,3,解,处不连续，,例1,它在,设,是周期为,的周期函数。,上的表达式为,将,展开成傅立叶级数。,所给函数满足收敛定理的条件，,它在点,因此，,的傅立叶级数在点,处收敛于,在连续点,处收敛于,和函数的图像,:,4,按前面公式有,则,的傅立叶级数展开式为,的奇函数。,若不计,则,是周期为,5,例,2,将周期函数,展开成傅立叶级数,其中,E,是正的常数,.,解,所给函数满足收敛定理的条件，,它在整个数轴上连续，,因此,的傅立叶级数处处收敛于,因为,是周期为,2,的偶函数，,按公式有,6,则,的傅立叶级数展开式为,7,二,.,函数展开成正弦级数和余弦级数,解,例,3,将函数,分别展开成正弦级数和余弦级数。,先求,正弦级数,。,对函数进行,奇延拓,：,奇,（偶）,延拓,:,如果,只在,上有定义，且满足收敛定理,的条件，在开区间,内补充函数,的定义，得到定义,上,的函数,使它在,成为,奇函数,（偶函数）,按这种方式拓广函数定义域的过程称为,奇延拓,（偶延拓）,。,在,8,代入得,的正弦级数展开式，得,再求,余弦级数,。,对函数进行,偶延拓,：,在端点,及,处，,级数的和为零，,它不代表原函数的值。,而是该级数收敛于,0.,?,注：,9,代入得,的余弦级数展开式，得,10,第九节 周期为,的周期函数的傅里叶级数,设周期为,的周期函数,满足收敛定理的条件,叶级数展式为,:,其中,（,1,）,定理,则其傅里,（,2,）,若,为,奇函数,：,（,3,）,若,为,偶函数,：,11,（,1,）,（,2,）,（,3,）式都是在,连续点处成立,若,为间断点,则等式右边级数收敛于,说明,证:,则当,则,是周期为,的周期函数,并且满足收敛定理的条件,将,展成傅里叶级数,:,所以,类似可证（,2,）,（,3,）。,令,令,回代,12,解,设,例1.,是周期为,6,的周期函数,它在一个周期内的定义为,:,将,展开成傅里叶级数。,函数满足收敛定理的条件,则在间断点,处,的傅里叶级数收敛于,13,在,的连续点处,14,例,2,将如下图所示的函数,展开成正弦级数。,M,l,O,x,解,延拓后的函数的傅立叶系数,:,必须对,是定义在,0,l,上的函数，,要将它展开成正弦级数，,进行奇延拓。,对上式右端 的第二项,令,t=l,-,x,则,15,当,时,当,时,的正弦级数展开式为：,16,例,3.,将函数,展成傅里叶级数,.,解,令,则,设,将,进行周期延拓,延拓后的函数满足收敛定理的条件,17,回代,得,18,一、奇函数和偶函数的傅立叶级数,小结：,二,.,函数展开成正弦级数和余弦级数,19,