5直线 平面垂直的判定与性质课件 新人教A版 课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,数学,高考总复习人教,A,版,(,理,),第八模块 平面解析几何,考纲要求,1.,以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理,2,能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题,热点提示,1.,以选择、填空的形式，考查线面垂直的判定定理和性质定理,2,解答题中，考查线面垂直关系及逻辑推理能力,3,通过考查线面角及二面角，考查空间想象能力及计算能力，常以解答题的形式出现,.,1,直线与平面垂直,(1),判定直线和平面垂直的方法,定义法,利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条,直线都垂直，则该直线和此平面垂直,推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也,这个平面,相交,垂直,(2),直线和平面垂直的性质,直线垂直于平面，则垂直于平面内,直线,垂直于同一个平面的两条直线,垂直于同一直线的两平面,任意,平行,平行,2,斜线和平面所成的角,斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角,3,平面与平面垂直,(1),平面与平面垂直的判定方法,定义法,利用判定定理：一个平面过另一个平面的,，则这两个平面垂直,(2),平面与平面垂直的性质,两平面垂直，则一个平面内垂直于,的直线垂直于另一个平面,一条垂线,交线,4,二面角的平面角,从二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱,的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角,垂直,1,给出下列四个命题：,若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；,若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；,若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；,若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线,A,1,个,B,2,个,C,3,个,D,4,个,解析：,与线面垂直的定义及判定定理相对照，,，,为真，,中两线可能不相交，,中两线不相交，故不正确，应选,B.,答案：,B,2,如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是,(,),A,相等,B,互补,C,相等或互补,D,大小不确定,解析：,如右图所示，,l,为直二面角，,a,为另一个二面角，且,，,，,.,把,平面固定不动，使,平面绕,a,转动时，满足条件，但,a,的度数不能确定，,应选,D.,答案：,D,3,已知直线,m,、,n,和平面,、,满足,m,n,，,m,，,，则,(,),A,n,B,n,，或,n,C,n,D,n,，或,n,解析：,n,与,的位置关系各种可能性都有，,A,、,B,都不对当,n,时，作,n,n,，且,n,m,O,，则,n,与,m,确定平面,，设,l,，则有,m,l,，又,m,n,，所以,l,n,，,l,n,，,n,；当,n,时，显然成立故,C,不对，,D,正确,答案：,D,4,已知,a,、,b,是两条不重合的直线，,、,、,是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：,若,a,，,a,，则,；,若,，,，则,；,，,a,，,b,，则,a,b,；,若,，,a,，,b,，,则,a,b,.,其中正确命题的序号是,(,),A,B,C,D,解析：,根据线面、面面平行与垂直的判定与性质可知,正确,答案：,D,证明：,(1),由题意知，,C,O,平面,ABD,.,C,O,平面,ABC,，,平面,ABC,平面,ABD,.,又,AD,AB,，平面,ABC,平面,ABD,AB,，,AD,平面,ABC,，,AD,BC,.,(2),BC,C,D,，,BC,AD,，,BC,平面,ADC,.,又,BC,平面,DBC,.,平面,DBC,平面,ADC,.,【,例,1,】,直角三角形,ABC,所在平面外一点,S,，且,SA,SB,SC,，,D,为斜边,AC,中点,(1),求证：,SD,面,ABC,；,(2),若,AB,BC,，求证：,BD,面,SAC,.,证明：,(1),如右图，取,AB,中点,E,，连结,SE,，,DE,，,在,Rt,ABC,中，,D,、,E,分别为,AC,、,AB,的中点，故,DE,BC,，且,DE,AB,，,SA,SB,，,SAB,为等腰三角形，,SE,AB,.,SE,AB,，,DE,AB,，,SE,DE,E,，,AB,面,SDE,.,而,SD,面,SDE,，,AB,SD,.,在,SAC,中，,SA,SC,，,D,为,AC,中点，,SD,AC,.,SD,AC,，,SD,AB,，,AC,AB,A,，,SD,面,ABC,.,(2),若,AB,BC,，则,BD,AC,，,由,(1),可知，,SD,面,ABC,，而,BD,面,ABC,，,SD,BD,，,SD,BD,，,BD,AC,，,SD,AC,D,，,BD,面,SAC,.,线面垂直的定义，拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，就完成了空间问题与平面问题的转化,.,变式迁移,1,如右图所示，,P,为,ABC,所在平面外一点，,PA,平面,ABC,，,ABC,90,，,AE,PB,于,E,，,AF,PC,于,F,.,求证：,(1),BC,平面,PAB,；,(2),AE,平面,PBC,；,(3),PC,EF,.,证明：,(1),PA,平面,ABC,，,BC,平面,ABC,，,PA,BC,.,AB,BC,，,AB,PA,A,，,BC,平面,PAB,.,(2),BC,平面,PAB,，,AE,平面,PAB,，,BC,AE,.,PB,AE,，,BC,PB,B,，,AE,平面,PBC,.,(3),AE,平面,PBC,，,PC,平面,PBC,，,AE,PC,.,AF,PC,，,AE,AF,A,，,PC,平面,AEF,.,而,EF,面,AEF,，,PC,EF,.,思路分析：,(1),因为两平面垂直与,M,点位置无关，所以在平面,MBD,内一定有一定直线垂直于平面,PAD,，考虑证明,BD,平面,PAD,.,(2),四棱锥底面为一梯形，高为,P,到面,ABCD,的距离,解：,(1),在,ABD,中，,AD,4,，,BD,8,，,AB,AD,2,BD,2,AB,2,.,AD,BD,.,又,面,PAD,面,ABCD,，面,PAD,面,ABCD,AD,，,BD,面,ABCD,，,BD,面,PAD,.,又,BD,面,BDM,，,面,MBD,面,PAD,.,(2),过,P,作,PO,AD,，,面,PAD,面,ABCD,，,PO,面,ABCD,，,即,PO,为四棱锥,P,ABCD,的高,又,PAD,是边长为,4,的等边三角形，,PO,.,在底面四边形,ABCD,中，,AB,DC,，,AB,2,DC,，,四边形,ABCD,为梯形，,当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等,.,变式迁移,2,(2009,浙江高考,),如下图，在长方形,ABCD,中，,AB,2,，,BC,1,，,E,为,DC,的中点，,F,为线段,EC,(,端点除外,),上一动点现将,AFD,沿,AF,折起，使平面,ABD,平面,ABC,.,在平面,ABD,内过点,D,作,DK,AB,，,K,为垂足设,AK,t,，则,t,的取值范围是,_,【,例,3,】,三棱锥,P,ABC,中，,PC,、,AC,、,BC,两两垂直，,BC,PC,1,，,AC,2,，,E,、,F,、,G,分别是,AB,、,AC,、,AP,的中点,(1),证明：平面,GFE,平面,PCB,；,(2),求二面角,B,AP,C,的正切值；,(3),求直线,PF,与平面,PAB,所成角的正弦值,思路分析：,(1),利用三角形的中位线性质；,(2),利用定义作出二面角,B,AP,C,的平面角；,(3),利用线面垂直构造直线与平面所成角,解：,(1),因为,E,、,F,、,G,分别是,AB,、,AC,、,AP,的中点，,所以,EF,BC,，,GF,CP,.,因为,EF,，,GF,平面,PCB,，而,BC,，,CP,平面,PCB,.,所以,EF,平面,PCB,，,GF,平面,PCB,.,又,EF,GF,F,，,所以平面,GFE,平面,PCB,.,(2),过点,C,在平面,PAC,内作,CH,PA,，垂足为,H,.,连接,HB,.,因为,BC,PC,，,BC,AC,，,且,PC,AC,C,，,所以,BC,平面,PAC,，所以,HB,PA,.,所以,BHC,是二面角,B,AP,C,的平面角,(3),如右图，设,PB,的中点为,K,，,连接,KC,，,AK,，,因为,PCB,为等腰直角三角形，所以,KC,PB,.,又,AC,PC,，,AC,BC,，,且,PC,BC,C,，,所以,AC,平面,PCB,，所以,AK,PB,，,又因为,AK,KC,K,，所以,PB,平面,AKC,.,又,PB,平面,PAB,，所以平面,AKC,平面,PAB,.,变式迁移,3,如右图，四面体,ABCS,中，,SA,、,SB,、,SC,两两垂直，,SBA,45,，,SBC,60,，,M,为,AB,的中点求：,(1),BC,与平面,SAB,所成的角；,(2),SC,与平面,ABC,所成的角的正切值,解：,(1),SC,SB,，,SC,SA,，,SB,SA,S,，,SC,平面,SAB,，,BC,在平面,SAB,上的射影为,SB,.,SBC,为,BC,与平面,SAB,所成的角,又,SBC,60,，故,BC,与平面,SAB,所成的角为,60.,(2),连接,MC,，在,Rt,ASB,中，,SBA,45,，,ASB,为等腰直角三角形，,SM,AB,，又,AB,SC,，,AB,平面,SMC,，,平面,SMC,平面,ABC,.,过点,S,作,SO,MC,于点,O,，,SO,平面,ABC,.,SCM,为,SC,与平面,ABC,所成的角,由,(1),知,SC,平面,SAB,，,【,例,4,】,如右图，四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是,DAB,60,的菱形，侧面,PAD,为正三角形，其所在平面垂直于底面,ABCD,.,(1),求证：,AD,PB,；,(2),若,E,为,BC,边的中点，能否在棱,PC,上找到一点,F,，使平面,DEF,平面,ABCD,，并证明你的结论,解：,如右图,(1),取,AD,的中点,G,，连结,PG,，,BG,，,BD,.,PAD,为等边三角形，,PG,AD,，,又,平面,PAD,平面,ABCD,，,PG,平面,ABCD,.,在,ABD,中，,DAB,60,，,AD,AB,，,ABD,为等边三角形，,BG,AD,，,AD,平面,PBG,，,AD,PB,.,(2),连结,CG,，,DE,，且,CG,与,DE,相交于,H,点，,在,PGC,中作,HF,PG,，交,PC,于,F,点，连结,DF,，,FH,平面,ABCD,，,平面,DHF,平面,ABCD,.,H,是,CG,的中点，,F,是,PC,的中点，,在,PC,上存在一点,F,，即为,PC,的中点，使得平面,DEF,平面,ABCD,.,近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向,.,变式迁移,4,如下图，在正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，侧棱是底面边长的,2,倍，,P,是侧棱,CC,1,上的一点,(1),求证：不论,P,在侧棱,CC,1,上的任何位置，总有,BD,AP,；,(2),当,P,点在侧棱,CC,1,上何处时，,AP,在平面,B,1,AC,上的射影是,B,1,AC,的平分线？,解：,(1),依题意，不论,P,在侧棱,CC,1,上的什么位置，,AP,在底面,ABCD,内的射影都是,AC,，因为,BD,AC,，,BD,CC,1,，又,AC,CC,1,C,，所以,BD,平面,ACC,1,，又,AP,平面,ACC,1,，所以,BD,AP,.,1,垂直关系的转化,在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，使之转化为线线垂直故熟练掌握,“,线线垂直,”,、,“,面面垂直,”,间的转化条件是解决这类问题的关键,3,证明线线垂直的方法,(1),定义：两条直线所成的角为,90,(2),平面几何中证明线线垂直的方法；,(3),线面垂直的性质：,a,，,b,a,b,；,(4),三垂线定理及其逆定理；,(5),线面垂直的性质：,a,，,b,a,b,.,4,证明面面垂直的方法,(1),利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；,(2),判定定理：,a,，,a,.,