高中数学 辗转相除法和更相减损术课件 新人教A版必修3 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,辗转相除法与更相减损术,算 法 案 例,第一课时,思考：,小学学过的求两个数的最大公约数的方法？,先用两个数公有的质因数连续去除这两个数，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来,.,例：求下面两个正整数的最大公约数：,（,1,）求,25,和,35,的最大公约数,（,2,）求,49,和,63,的最大公约数,25,（,1,）,5,5,35,7,49,（,2,）,7,7,63,9,所以，,25,和,35,的最大公约数为,5,所以，,49,和,63,的最大公约数为,7,思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？,例：如何算出,8251,和,6105,的最大公约数？,新课讲解：,一、辗转相除法（欧几里得算法）,1,、定义：,所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,2,、步骤：,（以求,8251,和,6105,的最大公约数的过程为例）,第一步,用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数,8251=61051+2146,结论：,8251,和,6105,的公约数就是,6105,和,2146,的公约数，求,8251,和,6105,的最大公约数，只要求出,6105,和,2146,的公约数就可以了。,第二步,对,6105,和,2146,重复第一步的做法,6105=21462+1813,同理,6105,和,2146,的最大公约数也是,2146,和,1813,的最大公约数。,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例：,用辗转相除法求,225,和,135,的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然,37,是,148,和,37,的最大公约数，也就是,8251,和,6105,的最大公约数,显然,45,是,90,和,45,的最大公约数，也就是,225,和,135,的最大公约数,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于,0,才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,m=n q,r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m=n,n=r,r=0?,是,否,思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,思考：,你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？,(1),、算法步骤：,第一步：输入两个正整数,m,n(mn).,第二步：计算,m,除以,n,所得的余数,r.,第三步：,m=n,n=r.,第四步：若,r,0,则,m,n,的最大公约数等于,m,；,否则转到第二步,.,第五步：输出最大公约数,m.,(2),、程序框图：,开始,输入,m,n,r=m MOD n,m=n,r=0?,是,否,n=r,输出,m,结束,(3),、程序：,INPUT “m,n=“;m,n,DO,r=m MOD n,m=n,n=r,LOOP UNTIL r=0,PRINT m,END,二、更相减损术,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：,任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用,2,约简；若不是则执行第二步。,第二步：,以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,（,1,）、,九章算术,中的更相减损术：,1,、背景介绍：,（,2,）、现代数学中的更相减损术：,2,、定义：,所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,例,:,用更相减损术求,98,与,63,的最大公约数,.,解：由于,63,不是偶数，把,98,和,63,以大数减小数，并辗转相减,98,63,3563,35,2835,28,728,7,21,21,7,21,14,7,7,所以，,98,和,63,的最大公约数等于,7,3,、方法：,1,、用更相减损术求两个正数,84,与,72,的最大公约数,练习：,思路分析：先约简，再求,21,与,18,的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数,4,。,2,、求,324,、,243,、,135,这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,(1),、算法步骤,第一步：输入两个正整数,a,b;,第二步：若,a,不等于,b,则执行第三步；否则转到第五步；,第三步：把,a-b,的差赋予,r;,第四步：如果,br,那么把,b,赋给,a,把,r,赋给,b;,否则把,r,赋给,a,；返回第二步；,第五步：输出最大公约数,b.,*思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？,(2),、程序框图,开始,输入,a,b,a,b,?,是,否,输出,b,结束,b=r,a=b,r=a-b,rr THEN,a=b,b=r,ELSE,a=r,END IF,WEND,PRINT b,END,比较辗转相除法与更相减损术的区别,（,1,）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。,（,2,）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为,0,则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。,小结,