2025届重庆市乌江新高考协作体高三上学期9月考-数学试卷（含答案）.docx

重庆市乌江新高考协作体 2025 届高考质量调研（一）
数学试题
（
分数：150 分，时间：120 分钟）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
2
=
1
2
．已知复数 z 满足 z =1-i ，则
z
（
）
1
A．
B．1
C．2
D．4
4
．下列命题中的真命题是（
）
A．互余的两个角不相等
B．相等的两个角是同位角
C．若 a2 = b2 ，则| a |=| b |
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
r
(r
)
3
4
．若向量 a = (x,1),b = (1,-1)，且 a / / a + 2b ，则 a = （
）
A．
B．2
C． 2
D．1
5
．以下关于统计分析的描述，哪一个是正确的？（
）
A．样本均值越接近总体均值，样本的代表性越好．
B．样本标准差越大，数据的离散程度越小．
C．相关系数的绝对值越接近 1，表示两个变量的线性关系越弱．
D．决定系数 R²越接近 1，模型的解释能力越强．
x
2
2
y
2
2
5
．已知双曲线C :
-
= 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为 F，F ，过点 F 且与渐近线垂直的直线与双曲
1
2
1
a
b
5
线C 左右两支分别交于 A，B 两点，若 tanÐF BF = ，则双曲线的离心率为（
）
1
2
1
2
6
5
1
3 5
5
5
A．
B．
C．
D． 2
2
π
æ a ö
．已知函数 f (x) = asin 2wx + cos 2wx(w > 0)图象的对称轴方程为 x = kπ + ，(k ÎZ)．则 f ç π÷ =
è 4 ø
6
4
（
）
数学试卷
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2
2
A．
B． -
C． 2
D． - 2
2
2
7
8
．三棱锥 S - ABC 的侧棱 SA是它的外接球的直径，且 SA = 8, AB = 1,BC = 3, AC = 13 ，则三棱锥
S - ABC 的体积为（
）
3
3
5
35
2
3
3
A．
B．
C．
D．
2
3
ì
ln(x +1), x ³ 0
．已知在函数 f (x) = í
的图象上存在四个点 A, B,C, D 构成一个以原点为对称中心的平行四
ax(x + b), x < 0
î
边形，则一定有：（
）
1
A． ab >1
B． f (-2) > 0
C． f (x) > -
D．b < 2 e
2
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求的。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 2分。
9
．设 nÎ N* ，曲线 y = xn+1 在点(1,1)处切线的斜率为 k ，与 x 轴的交点为(x ,0)，与 y 轴的交点为(0, y )
n
n
n
，
则（
）
A． k + y = -1
n
n
B． y = -k x
n
n
n
1
x x Lx =
C．
1
2
n
kn
D． k1k2 Lkn-1 = (-1) y1 y2 L yn
n-1
1
0．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C1 :(x -1)2 + y2 = 2的动弦 AB ，圆C2 :(x - a)2 + (y - 2)2 = 8 ，则下
列选项正确的是（ ）
A．当圆C 和圆C 存在公共点时，则实数 的取值范围为
a
[-3, 5]
1
2
B．VABC1 的面积最大值为 1
C．若原点O 始终在动弦 AB 上，则OA×OB 不是定值
D．若动点 P 满足四边形OAPB 为矩形，则点 P 的轨迹长度为 2 3π
x
2
+1
1
1．已知函数 f (x) =
和 g (x) = x2
+ bx + c ，则下列说法正确的有（
）
x -1
A．若 g (x) = 0 有两个相同的实数根，则函数
y = cx + b2
(
- 4c +1)经过一二四象限
数学试卷
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B． f (x)的图象和一个以(1, 0)为圆心，1 为半径的圆没有交点
C． f (x)可以在 -12 £ x £ 0 时取到最小值 2 2 - 2
D．若 g (x)有两个不同零点，设这两个零点分别为x 、 x （x 在 x 的左边）在 x >1时，若 f (x)的最
1
2
1
2
小值等于 ，则b = c 是不可能成立的
x
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
S4n
S2n
S3n
Sn
2．设 S 是各项均为正数的等比数列{a }的前 n 项和，若
= 10
，则
=
．
1
n
n
æ
è
π ö
3．若a Îç0, ÷ ， b Îç-
2 ø
æ
è
π π ö
÷，且(1+ cos2a )(1+ sinb )= sin2acosb ，则 2 tana - tan b 的最小值
2 2 ø
1
,
为
.
(
)- ( ) ( )
P MN P M P N
1
4．对于两个事件 M，N，若0 < P(M )<1，0 < P(M )<1，称 P(M , N ) =
为事
(
) ( ) ( ) ( )
P M P M P N P N
件 M，N 的相关系数.近日重庆酷暑难耐，小张、小李、小王、小刘四人计划周末去避暑，现有四个可出
游的景点：南天湖、金佛山、仙女山和黑山谷，若事件 M：金佛山景点至少有一人：事件 N：仙女山和黑
山谷两个景点恰有一个景点无人，则事件 M，N 的相关系数为
.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
5．VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 acos B -bcos A = b + c .
(1)求角 A；
6
(2)若 a = 3， 2sinC + sin B =
，求VABC 的面积.
2
6．设数列{푎 }的前 项和为 ，且满足 S + a = 3
n
S
.
1
푛
n
n
n
(1)求{푎푛}的通项公式；
an+1
3
(2)设b = -a log
，数列{푏 }的前 项和为 ，若对任意的 nÎN*,Tn < 2l -1恒成立，求l 的取值范围.
n
T
n
푛
n
n
2
1
7．已知函数 f (x)= ax - lnx - a(aÎR)，且 f (x)³ 0 恒成立．
(1)求实数 a 的取值集合；
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(2)证明：ex
³ x2 + e -3 x + 2 + lnx
(
)
．
1
8．近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家
的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活
动中组织了“搜索魔法师”游戏，由 1 名“侦探”、6 名“麻瓜”、4 名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”
是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻
瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止.
(1)若恰在第 5 次搜索才测试到第 1 个“魔法师”，第 10 次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方
法数是多少？
(2)若恰在第 5 次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？
(3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确
认人员.三人围成一圈，第 1 次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任
何一人.试问，5 次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？
1
9．已知Ω 是棱长为 2 的正四面体 ABCD ，设Ω 的四个顶点到平面a 的距离所构成的集合为 M ，若 M
中元素的个数为 k ，则称a 为Ω 的 k 阶等距平面， M 为Ω 的 k 阶等距集.
(1)若a 为Ω 的 1 阶等距平面且 1 阶等距集为{a}，求 a 的所有可能值以及相应的a 的个数；
(2)已知 b 为Ω 的 4 阶等距平面，且点 A 与点 B,C, D 分别位于 b 的两侧.若Ω 的 4 阶等距集为{b,2b,3b,4b}
，
其中点 A 到 b 的距离为b ，求平面 BCD 与 b 夹角的余弦值.
数学试卷
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重庆乌江新高考协作体 2025 届高考质量调研（一）
数学答案
（
分数：150 分，时间：120 分钟）
1
6
-4．CCCD
5-8．ACBC
æ
è
π
ö
ø
．由函数的对称轴可得T = 2π 即可求得w ，利用函数的对称性可得 f ç2kπ + - x÷ = f (x)，则
2
æ
è
π ö
f 0
ç
÷ = ( )，即可求得 的值，得到函数解析式，代入即可求解．
2 ø
f 2kπ
+
a
7
．根据 SA是三棱锥 S - ABC 外接球的直径，先找到垂直条件，求出SC ， SB ，再作出三棱锥 S - ABC 的
高 SO ，在VABC 中，用余弦定理求得Ð ABC ，再结合垂直关系求得ÐOBC ，设 SO = h ，表示出
BO,CO
，
在△OBC 中，用余弦定理列等式求得 h ，再套入三棱锥体积公式求解即可.
8
9
1
．通过对称性将问题转化为函数零点的问题即可．
．BC
10．ABD
11．BC
2．13
13．
3
4．1
9 65
/
19
1
65
8
19 819
1
1
4. 先求事件 M ， N ， MN 的概率，再按定义求事件 M ， N 的的相关系数.
5．（1） acos B -bcos A = b + c ，由正弦定理得sin Acos B -sin Bcos A = sin B + sinC ，
(
sin Acos B -sin Bcos A = sin B + sin A+ B)，
即
\
sin Acos B -sin Bcos A = sin B + sin Acos B + cos Asin B ，\-2sin Bcos A = sin B ，
1
Q
sin B ¹ 0 ，\cos A = -
，
2
2
Q
0 < A < π ，\ A = π ．
3
æ 1
ö
æ
è
2π ö
3 ø
3
6
sinC + sin B = 2sinç B +
÷ + sin B = 2ç- sin B +
cos B÷ + sin B =
（
2）
2
3 cos B
=
，
ç
÷
è 2
2
ø
2
2
π
2π
π
π
\
cos B =
，Q0 < B < π ，\ B = ，C = π - A- B = π -
-
=
，
4
3
4
12
2
数学答案
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b
a
2
=
= 2 3 ，得b = 2 3 sin B = 2 3´
= 6 ，
由
sin B sin A
2
π
π
π
π
π
π
π
3
2
1
2
2
6 - 2
Q
sin = sin( - ) = sin cos - cos sin
=
´
´
-
´
=
，
1
2
3
4
3
4
3
4
2
2
2
4
1
2
1
π
1
2
6 - 2 9 -3 3
\
S△ABC
=
absinC = ´3´ 6 ´sin
=
´3´
=
6
.
2
12
4
4
1
6．（1）因为 S + a = 3，
n
n
3
2
当 n =1时，由
a + a = 3
，解得
a =
1
；当
n ³ 2
S + a = 3,S + an-1 = 3，
时，则
n-1
1
1
n
n
an
an-1
1
2
3
1
=
{a }
两方程相减得 2an - an-1 = 0 ，即
；可知数列
是首项为 ，公比为 的等比数列，
n
2
2
ön-1
3
æ
1
3
2n
所以 an = ç ÷
=
.
2
è 2 ø
an+1
3
3n + 3
6
2
9
12
3n + 3
（
2）由（1）可知：b = -a log
=
，则Tn =
+
+
+L+
，
n
n
2
2n
22
23
2n
1
6
9
12
3n + 3
2Tn =
+
+
+L+
，
2
2
2
3
2
4
2n+
1
é
æ ön-1 ù
3
1
ê
1-ç ÷
ú
1
2
æ
è
3
3
3
2n
ö
ø
3n + 3
4 êë è 2 ø úû
3n + 3
两式相减得
，
Tn = 3+ ç
+
+L
+
-
= 3+
-
÷
2
2
2
3
2n+
1
1
2n+
1
1
-
2
1
9
3n + 9
3n + 9
2n
可得 T =
-
，即Tn = 9 -
.
n
2n+
1
2
2
æ
è
3n +12 ö æ
2n+1
3n + 9 ö 3n + 6
因为T
-T = ç9 -
÷ -ç9 -
ø è
÷ =
> 0
，
n+1
n
2n+1
2n
ø
3
n + 9
3n + 9
可知{ }是单调递增数列，且
> 0，可得T = 9 -
< 9，
T
n
2n
n
2n
因为对任意的 nÎN*,Tn < 2l -1恒成立，可得9 £ 2l -1，解得 ³ 5 ，
所以l 的取值范围为[5,+¥).
1
1
7．（1） f ¢(x)= a - (x > 0)．
x
(x) <
①
当 a £ 0 时，
f
¢
( )
0, f x
在(0, + ∞)上单调递减，
当 x >1时， f (x)< f (1)= 0，这与
f (x)³ 0
矛盾，不合题意.
a > 0
时，
②当
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1
1
由푓'(푥) < 0得0 < x < ；由푓'(푥) > 0得 x >
，
a
a
æ
è
1 ö
a ø
æ 1
è a
ö
ø
0,
上单调递减，在ç ,+¥ ÷
则푓(푥)在
ç
÷
上单调递增，
1
\
\
（
x = 时，函数 f (x)取得唯一极小值即最小值．又Q f x ³ 0 且푓(1) = 0
( )
a
1
=1，解得 = ，故实数 a 的取值集合是{1}．
a
1
a
2）由（1）可知： a =1时， f (x)³ 0
，即lnx £ x -1对任意
x > 0
恒成立．
\
要证明：ex ³ 2 + x2 + (e -3)x + lnx ，则只需要证明ex ³1+ x2 + (e - 2)x ，
即e -1- x2 - e - 2 x ³ 0
x
(
)
．
h x = ex -1- x2 - e - 2 x, x > 0 h¢(x)= ex - 2x -(e - 2)
令 ( )
(
)
,
，
u x = ex - 2x - e - 2 ,u¢ x = ex - 2 ，令u¢(x)= e
令 ( )
(
)
( )
x
- 2 = 0 ，解得 x = ln2
．
xÎ 0, ln2
(
)时，u¢(x)< 0
，u (x)
单调递减，
当
当
xÎ ln2,+¥
(
)时，u¢(x)> 0 ，u (x)
单调递增．
即函数 h¢(x)在
(0, ln2)内单调递减，在(ln2,+¥ )
上单调递增．
h¢ 0 =1- e - 2 = 3- e > 0,h¢ ln2 < h¢(1)= 0.
而 ( )
(
)
(
)
x Î 0,ln2)，使得 h¢(x0 )= 0
(
所以存在
，
0
h¢(x)> 0,h(x)单调递增；
(0,푥 )
当푥 ∈
时，
0
xÎ x ,1)时， h¢(x)< 0,h(x)
(
当
单调递减．
0
当푥 ∈ (1, + ∞)时， h¢(x)> 0,h(x)单调递增．
h 0 =1-1= 0,h 1 = e -1-1- e - 2 = 0
又 ( )
( )
(
)
，
对"
x > 0,h x ³ 0
( ) 恒成立，即e -1- x2 -(e - 2)x ³ 0
x
．
综上可得ex ³ x2 + e -3 x + 2 + lnx.
(
)
1
8．（1）先排前 4 次搜索，只能取“麻瓜”，有 A6
4
种不同的搜索方法，
再从 4 个“魔法师”中选 2 个排在第 5 次和第 10 次的位置上搜索，有 种搜索方法，
A
2
4
数学答案
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再排余下 4 个的搜索位置，有 种搜索方法.
A
4
4
所以共有
A
4
6
A
2
4
A
4
4
=103680种不同的搜索方法.
（
2）第 5 次搜索恰为最后一个“魔法师”，
则另 3 个在前 4 次搜索中出现，从而前 4 次有一个“麻瓜”出现，
所以共有C
1
4
C
1
A
6
4
4
= 576
种不同的搜索方法.
（
3）由于甲是第 1 次传花的人，因此第 2 次传花时，甲不能再次拿到花.
这意味着在第 2 次传花时，花必须传给乙或丙.
同样，第 3 次传花时，花不能回到前一次传花的人手中.
因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况.
a
为经过 n 次传花后花在甲手上的线路数，其中
a = 0
.
设
则
n
1
a
n+1
为经过 n +1次传花后花在甲手上的线路数，即经过 n 次传花后花不在甲手上的线路数，
a + a
为经过 n 次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针），
所以
n
n+1
a + a
=
2n ，
nÎN*
则
.
n
n+1
所以 a2 = 2 ，
a = 2 a = 6 a = 10
，
，
，
3
4
5
综上，5 次传花后花在甲手上的可能线路有 10 种.
1
9．（1）①情形一：分别取 AB, AC, AD 的中点 M , E, F ，
2
由中位线性质可知 DE = EF =
，
2
此时平面 DEF 为Ω 的一个 1 阶等距平面，
1
6
3
b 为正四面体高的一半，等于 ´
´ 2 =
.
2
3
3
由于正四面体有 4 个面，这样的 1 阶等距平面a 平行于其中一个面，有 4 种情况；
数学答案
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共 6 页

AB, AC,CD,DB P,Q, R,S
的中点
②情形二：分别取
将此正四面体放置到棱长为 1 的正方体中，
1
则 a 为正方体棱长的一半，等于
.
2
由于正四面体的六条棱中有 3 组对棱互为异面直线，
这样的 1 阶等距平面a 平行于其中一组异面直线，有 3 种情况.
1
3
综上，当 a 的值为
时，a 有 4 个；当 a 的值为 时，a 有 3 个.
3
2
（
2）在线段
AB, AC, AD
上分别取一点
M , E, F
，
AM : MB =1: 2, AE : EC =1: 3, AF : FD =1: 4
，则平面 b 即为平面
使得
MEF
.
如图，取 BD 中点O ，连接OC, ，以O 为坐标原点，OC,OD 所在直线分别为
x, y
轴，过点O 且与平面
BCD垂直的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，
æ
2 3 ö
6
Aç
,0,
÷
ç
÷，设
6
3 ø
è
u
uur uuur uuuur 1 uuur 1 uuur 1 æ 6
2 3 ö 1 æ
÷ - ç-
2 3 ö æ 5 6
3 ö
6
2
2
ME = AE - AM = AC - AB =
ç
,0,-
,-
,-
÷ = ç
,
,
÷
ç
÷
ç
÷
ç
4
3
4 è 3
3 ø 3è
6
2
3 ø è 36
6
u
uur uuur uuuur 1 uuur 1 uuur 1 æ
2 3 ö 1 æ
÷ - ç-
2 3 ö æ 6 4 2 4 3 ö
÷ = ç ÷
6
2
6
2
MF = AF - AM = AD - AB = ç-
,
,-
,-
,-
,
,
ç
÷
ç
÷
ç
÷ ，
5
3
5 è
6
2
3 ø 3è
6
2
3 ø è 45 15 45 ø
设平面 MEF 法向量为푚 = (푥,푦,푧)
数学答案
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r
ì
ìï +
4 3y + 2 2z
=
x
0
，即 í
，
ïîm×ME = 0
ïî5x + 2 3y + 2z = 0
r
m
=
(0,1,- 6)
所以
，
n = 0, 0,1
(
)，
又平面 BCD的法向量为
设平面 BCD与 b 夹角为q
m×n
r =
m × n
6
42
7
所以cosq = r
=
，
1+ 6
4
7
2
所以平面 BCD与 b 夹角余弦值为
.
数学答案
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