资源描述
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2025 届新高三学情摸底考（新课标卷）
数学·全解全析及评分标准
阅卷注意事项：
1
2
3
4
5
6
.阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准。
.请老师改卷前务必先做一遍试题，了解自己所改试题的答案、评分细则、答题角度后，再开始改卷。
.请老师认真批阅，不可出现漏改、错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以点击回评按钮重评。
.成绩发布后，如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评。
.解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明、证明过程或演算步骤，合理即可给分。
.解答题不要只看结果，结果正确，但中间的文字说明、证明过程或演算步骤无法建立有效衔接的，不
能给满分；同样，结果错误，但正确写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤应给分，因第(1)问中
结果算错，使后面最终结果出错(过程列式正确)，不宜重复扣分。
7
.阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决，请将问题反馈给学校负责技术的老师(或
考试负责人），由其统一在技术QQ 群里反馈问题并协助解决。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
B
D
D
B
C
A
ACD
AC
BCD
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
ì
a + 2 = 4,
．C 【解析】因为M ={1,3,a + 2}, N ={1,a2} ，M I N ={1, 4}，所以í
解得a = 2 .故选C.
1
a
2
= 4,
î
ì
3a = 3,
2．A 【解析】设z = a + bi,a,b Î R ，则z = a
- bi，所以a + bi + 2(a - bi) = 3 + i ，即3a - bi = 3 + i ，所以í
-b =1,
î
ì
a =1,
3 + i 3 + i (3 + i)(1+ i) 2 + 4i
=
=
=
=1+ 2i ．故选A．
解得í
所以z =1- i ，所以
b = -1,
z
1- i (1- i)(1+ i)
2
î
．B 【解析】由题意，知 a - 2b = (3 - 2m,-2) ， a + b = (3 + m,7) ．由向量 a - 2b 与 a + b 共线，得
3
4
9
7
(3- 2m) + 2(3 + m) = 0 ，即12m = 27 ，解得m =
．故选B．
4
．D 【解析】因为 f (x) = (x + a) cos x 为奇函数，所以 f (0) = 0 ，即a = 0 ，所以 f (x) = xcos x ．求导，得
f ¢(x) = cos x - xsin x ,
f ¢(π) = -1.又 f (π) = -π
y = f (x) 在点(π , f (π)) 处的切线方程为
，所以曲线
所以
y + p = -(x - π) ，即x + y = 0
．故选D．
π
2
π
．D【解析】由 2 sina = sin(a - ) ，得 2 sina =
(sina - cosa) ，所以sina = -cosa ，所以sin(a + ) = 0 ，
5
4
2
4
数学 全解全析及评分标准 第 1 页（共 13 页）
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#{QQABYYAAggCgQIBAABgCQwkKCAOQkAAACagOhBAIMAAAgRFABAA=}#}
p
1
所以a = - 4
+ kp,k ÎZ ，所以sin2 a - 2cos2 a = -cos2 a = - ．故选D．
2
．B 【解析】可将x2 + y2 - 2x = 0 转化为(x -1)2 + y2 =1，所以圆心为C(1, 0) ，设直线l : y = mx + 2m(m > 0) ，
6
7
P 为直线l 上一动点.由题意，得|
3m |
PC |
的最小值为 2 ，即当PC 与直线 垂直时，| PC |取得最小值 2 ，
l
|
14
=
2
.因为m > 0 ，解得m
=
．故选B．
则
m
2
+1
7
．C 【解析】取棱AC 的中点M ，连接BM ，DM ．因为 △ABC 是边长为2 的等边三角形，所以BM ^ AC
且BM = 3 ．又因为 △ACD 为等腰直角三角形且直线BD 为该筝形的对称轴，所以AD = CD = 2 ，
DM ^ AC 且DM = AM = CM =1．又因为BD = 2 ，所以 △BMD 为直角三角形，且BM ^ DM ．过 △ABC
的外接圆圆心O 作直线l ^ 平面ABC ，过点M 作直线l ^ 平面ACD ，直线l 与直线l 相交于点O ，则
1
2
1
2
点O 为四面体ABCD 外接球的球心，计算，得四面体ABCD 外接球的半径R = 2
3
，所以四面体ABCD
3
1
6π
3
外接球的表面积S = 4πR2
=
．故选C．
．A 【解析】设M (x, y)(x > 0, y > 0) ，则N(-x, y) ，
8
y
y
-
tanÐNAO - tanÐMAO
2xy
- x2 + y2
2xy
-x +
a
y
x
+
y
a =
tana
=
tan(ÐNAO
- ÐMAO)
=
=
=
=
1
+ tanÐNAO tanÐMAO
a
2
a
2
1
+
×
(1- )y2
-
x + a x + a
b
2
2
x
y
2b2
b
2
b
2
又tan b = ，所以tana tan b =
= 3 ，即
= 3 ，所以e2 =1+
= 4，即e = 2 ，
.
a
2
x
b2
-
a2
a2
a2
(1- )y
b
2
所以双曲线C 的离心率为2.故选A．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9
．ACD 【解析】对于A，由题意，知事件A 表示摸出的两个球的编号为1,2 或1,3，事件A 表示摸出的两
1
2
个球的编号为3,4，所以事件A 与事件A 是互斥事件，故A 正确；
1
2
对于B，事件A 表示摸出的两个球的编号为1,3 或2,3 或3,4，因为A I A ¹ Æ ，所以事件A 与事件A 不
3
1
3
1
3
是对立事件，故B 错误；
1
1
1
对于C，因为P(A ) = ，P(A ) = ，P(A A ) = ，所以P(A A ) = P(A )P(A ) ，所以事件A 与事件A 是
1
3
3
2
1
3
6
1
3
1
3
1
3
相互独立事件，故C 正确；
对于D，因为事件A I A 表示摸出的两个球的编号为3,4，事件A I A 表示摸出的两个球的编号为1,3，
2
3
1
3
数学 全解全析及评分标准 第 2 页（共 13 页）
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所以事件A I A 与事件A I A 是互斥事件，故D 正确．
2
3
1
3
故选ACD．
p
p
1
0．AC 【解析】由题意，知点M ( 3 cos x, 3 sin x) .
2
2
对于A，j(x) = ( 3 cos π
x - )2 + ( 3 sin x - 3)2 = 4 - 2 3 cos( x - ) ，故A 正确；
1
π
π
π
2
2
2
2
2
3
2
0
π
20
3
π
对于B，当x = 时，j(x) = 4 - 2 3 cos( ´
- ) = 4 - 2 3 cos 3π = 4 + 2 3 ，为最大值，故B 错误；
3
2
3
p
p
p
5
5
x -
=
+ kp,k ÎZ ，解得x = + 2k,k ÎZ ，所以点( ,4) 是曲线y = j(x) 的一个对称中
对于C，令2
3
2
3
3
心，故C 正确；
π
π
2
8
对于D，令2kπ £ x - £ 2kπ + π，k ÎZ ，解得4k + £ x £ 4k + ，k ÎZ .又
xÎ[0, 4) ，所以k = 0 ，
2
3
3
3
2
3
8
2 8
[ , ]
£
x £
3 ，所以j(x)
的单调递增区间为
，故D 错误.
3 3
故选AC．
1
1．BCD 【解析】对于A，令x = y = 0 ，得 f (0) = 0 ，令y = -x ，得
f (-x) + f (x) = 0 ，所以 f (x) 为奇函数，
故A 错误；
对于B，令x = y =1，得
f (2) = 2 f (1) + 2 ，令x =1, y = 2 ，得 f (3) = f (1) + f (2) + 6 ，又 f (3) =12 ，所以
4
3
4
3
3
f (1) + 8 =12 ，所以
f (1) =
f (-1) = - f (1) = -
，故B 正确；
，
(x + y)3
x
3
y
3
对于C，由 f (x + y) = f (x) + f (y) + xy2 + x2 y ，得 f (x + y) -
= f (x) - + f (y) - ，
3
3
3
x
3
记g(x) = f (x) - ，则
g(x + y) = g(x) + g(y) ，且g(x) 也为奇函数.
3
又当x > 0 时，3g(x) = 3 f (x) - x3 > 0 ，即g(x) > 0 .下面证明g(x) 在(0,+¥) 上单调递增，
设x > x > 0 ，则g(x ) - g(x ) = g(x ) + g(-x ) = g(x - x ) > 0 ，
2
1
2
1
2
1
2
1
即当x > x > 0 时，g(x ) > g(x ) ，所以
g(x) 在(0,+¥)
上单调递增.
2
1
2
1
又g(x) 为奇函数，当x > 0 时，g(x) > 0 ，所以g(x) 在R 上单调递增，
x
3
所以 f (x) = g(x) + 在R 上单调递增，故C 正确；
3
对于D，令y =1，得 f (x +1) = f (x) + f (1) + x2 + x ，所以 f ¢(x +1) = f ¢(x) + 2x +1.
又
f (x) 为奇函数，所以 f ¢(x) 为偶函数.
π
π
π
π
p
因为 f ¢(sin( ´1)) = f ¢(1), f ¢(sin( ´ 2)) = f ¢(0), f ¢(sin( ´3)) = f ¢(-1), f ¢(sin( ´ 4)) = f ¢(0) ，及 f ¢(sin x)
2
2
2
2
2
的周期为4，
2
024
π
å
f ¢(sin i) = 506[ f ¢(1) + f ¢(0) + f ¢(-1) + f ¢(0)] =1012[ f ¢(1) + f ¢(0)] .
所以
2
i=1
数学 全解全析及评分标准 第 3 页（共 13 页）
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f ¢(3) = f ¢(2) + 5 = f ¢(1) + 8 = f ¢(0) + 9 =10 ,
解得 f ¢(1) = 2 , f ¢(0) =1，
由
2
024
π
å
f ¢(sin i) =1012[ f ¢(1) + f ¢(0)] = 3036 ，故D 正确．
所以
2
i=1
故选BCD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
2．-23 【解析】因为(x - 3)8 的展开式中xk 的系数为C88-k (-3)8-k ，k = 0,1,L,8 ，所以所求的x9 的系数为
C1 (-3)1 + C0 (-3)0 = -24 +1 = -23 ．故填-23 .
8
8
1
2
1
3
3
π
3
1
3． 3 或 7 【解析】由S△ABC
=
absinC = ´ 2´1´sinC = ，得sinC =
.因为0 < C < p ,所以C =
2
2
2
2
π
p
或C = p .当C = 时，由余弦定理，得
c
2
= a2 + b2 - 2abcosC = 22 +12 - 2´ 2´1´ cos ，解得 = ；
c
3
3
2
3
3
2
当C = p 时，由余弦定理，得c
2
= a2 + b2 - 2abcosC = 22 +12 - 2´ 2´1´ cos p ，解得 = ．故填
c
7
3
3
3
或 7 ．
ì
y = x(x ³ 0)
ï
4．(3 ,+¥) 【解析】由题意，知射线OP : y = x(x ³ 0) ，| OR |= b ，| OT |= a ，联立í x2
2
1
y
2
=1 ，得
+
4
ï
î
a
2
b
2
OR |×| OT |
a
2
+ b2
a
2
b
2
a
2
b
2
|
=
x = y =
，| OS |= 2 ×
，所以
.又圆C 与圆C 围成的图形的面积大
|
OS |2
2ab
1
2
a
2
+ b2
a
2
+ b2
a
2
+
1
a
b
| OR |×| OT |
a
2
+ b2
于圆C1 的面积，所以πa2 - πb2 > πb2 ，即a2 > 2b2 ，所以
>
2 ，所以
=
= b2
=
| OS |2
2ab
a
b
2
×
1
2
a
1
a
b
a
1
| OR |×| OT | 3 2
3 2
4
( + ) ，令t = ，又y = t + 在( 2,+¥) 上单调递增，所以
>
,+¥) ．
.故填(
b
b
t
| OS |2
4
说明：
1．第12 题不用数字作答不给分；
2．第13 题只写 3 或只写 7 均不给分；
．第14 题写| OR |×| OT | 3 2
也给5 分.
>
3
|
OS |2
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5．（13 分）
解析】（1）设事件M = “至少选到2 箱A 级苹果”.
1
【
数学 全解全析及评分标准 第 4 页（共 13 页）
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3
由题意，知选到1 箱A 级苹果的概率为 ，（1 分）
5
所以选到1 箱非A 级苹果的概率为1- 3
2
= ，（2 分）
5
5
3
2
5
3
81
所以P(M ) = C3
2
( )2
´
+ C33 ( )3
=
，
5
5
125
8
1
即至少选到2 箱A 级苹果的概率为1 .（4 分）
25
（2）由题意，知选出的10 箱苹果中，A 级苹果有6 箱，B,C 级苹果共有4 箱．（5 分）
X 的所有可能取值为0,1,2,3，（6 分）
C
3
4
3
1
C
2
4
C
C
1
6
3
C
1
4
C
C
2
6
1
2
C
3
6
3
1
6
且P(X = 0) =
=
, P(X =1) =
=
, P(X = 2) =
=
, P(X = 3) =
=
，（10 分）
C
30
3
10
10
3
10
C
1
0
10
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
1
3
1
2
1
6
P
3
0
10
（11 分）
1
3
1
1
E(X ) = 0´ +1´ + 2´ + 3´ （12 分）
10
3
0
2
6
9
5
=
．（13 分）
说明：
第一问：
1
2
3
.1 分段设至少选到2 箱A 级苹果为事件M ,正确求出选到1 箱A 级苹果的概率，不设出事件M 不扣分；
.2 分段求出选到1 箱非A 级苹果的概率；
.4 分段求出至少选到2 箱A 级苹果的概率，分开写选到2 箱A 级苹果和3 箱A 级苹果的概率，有一
个正确给1 分，答案写成0.648 也给分.
第二问：
1
2
3
4
5
6
.5 分段写出用分层随机抽样的方法，得到A 级苹果有6 箱，B,C 级苹果共有4 箱；
.6 分段写出X 的所有可能取值，有错不给分；
.10 分段写出X 取每一个值的概率，对一个给1 分，所有结果都正确但是结果不是最简的扣1 分；
.11 分段写出X 的分布列，不化简不重复扣分；
.12 分段列出E(X ) 的式子；
.13 分段算出E(X ) 的值.
数学 全解全析及评分标准 第 5 页（共 13 页）
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1
6．（15 分）
解析】（1）设等比数列{an}的公比为q(q > 0) ，由
1
1
4
a3 = 4 ，得a1q2
=
【
.（1 分）
1
1
由a a = ，得
a2q = ，（2 分）
1
2
2
1
2
1
解得a =1,q = ，（4 分）
1
2
1
1
2n-1
所以an =
，即{a }的通项公式为a =
．（5 分）
n-1
n
n
2
2）由（1），知bn = n +1，（6 分）
（
由S = a b + a b +L+ a b + a b ，即S = a b + a b +L+ a b + a b ，
n
n
1
n-1
2
2
n-1
1
n
n
1
n
2
n-1
n-1
2
n
1
n +1
n
n -1
3
2n-2
2
2n-1
得Sn =
+
+
+L+
+
，（8 分）
2
0
2
2
2
1
n +1
n
n -1
3
2n-1
2
Sn =
+
+
+L+
+ ，（10 分）
2
2
2
2
2
3
2
n
两式相减，得1
1
1
1
1
2n-1
2
S = (n +1) - ( +
+
+L+
) - （12 分）
2
n
2
2
2
2
3
2
n
1
1
2n-1
1
(1-
)
2
=
=
(n +1)
- 2
-
（13 分）
2
n
1
-
2
1
2
(n +1) -1+
-
= n
（14 分）
，
2
n-1
2
n
所以Sn = 2n．（15 分）
说明：
第一问：
1
1
2
3
4
.1 分段将a = 用a，q 表示；
3
4
1
1
.2 分段将a a = 用a，q 表示；
1
2
2
1
.4 分段计算出a1，q ,对1 个给1 分；
.5 分段写出{an}的通项公式.
第二问：
1
2
.6 分段算出bn = n +1；
.8 分段将Sn 倒序后写出；
数学 全解全析及评分标准 第 6 页（共 13 页）
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1
3
.10 分段将等式两边同时乘以 ；
2
4
5
6
.12 分段两式相减；
.13 分段利用等比数列求和公式求和；
.14 分段化简得出结果；
7
8
.15 分段得出Sn .
2
2n-1
3
2n-2
4
2n-3
n +1
.8 分段S 不倒序，直接利用S =
+
+
+L+
求和，按以下步骤给分：
n
n
20
2
2n-
3
2n-
4
2n-
n +1
Sn =
+
+
+L+
，（8 分）
1
2
3
2
0
2
2n-
3
2n-
4
2n-
n
2
Sn =
+
+
+L+ + 2(n+1) ，（10 分）
2
3
4
2
0
两式相减，得
2
2n-
1
2n-
1
2n-
1
-
=
=
Sn =
+ (
+
+L+
) - 2(n+1) （12 分）
1
2
3
2
0
1
1
´[1- ( )n-1]
2
2
1
+
-
2
(n +1) （13 分）
2
2
n-1
1
-
2
2
n-1
1
+ 2 - 2×( )n-1 - 2(n +1) = -2n ，
（14 分）
2
所以Sn = 2n．（15 分）
7．（15 分）
解析】（1）因为PD ^ 平面ABCD ，BC Ì 平面ABCD ，所以PD ^ BC .（1 分）
1
【
又底面ABCD 为矩形，所以BC ^ CD .（2 分）
又PD I CD = D ，PD，CD Ì 平面PCD ，所以BC ^ 平面PCD .（3 分）
又BC Ì 平面PBC ，所以平面PCD ^ 平面PBC ．（4 分）
y
（
2）因为DA,DC, DP 两两垂直，所以以D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在的直线分别为 轴、 轴、
x
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，（5 分）
则A (2, 0, 0)，B (2,3,0)，C (0, 3, 0) ,
由题意，知在Rt△PDM 中，ÐPDM = 90°,PM = 2,DM =1，所以PD = 3 ，所以P (0, 0, 3)，（6 分）
AC = (-2, 3, 0), AB = (0, 3, 0), AP = (-2, 0, 3) .（7 分）
过点Q 作QE∥AB 交PA 于点E ，连接EM ，
因为CQ∥平面PAM ，所以CQ∥EM .
数学 全解全析及评分标准 第 7 页（共 13 页）
{
#{QQABYYAAggCgQIBAABgCQwkKCAOQkAAACagOhBAIMAAAgRFABAA=}#}
又AB∥CD ，所以QE∥CD ，所以四边形QEMC 是平行四边形，所以EQ = MC ，（8 分）
uuur
PQ EQ
= ，所以Q( ,2, ) ，AQ = (- ,2, 3).（9 分）
2
4
3
2
=
所以
PB AB
3
3
3
3
3
ì
× AB = 3y = 0,
ï
m
设平面PAB 的法向量为m = (x , y ,z ), 则
uuur
1
（10 分）
í
1
1
1
ï
×
= -2x1
+
3z1 = 0,
令z = 2 ，则x = 3, y = 0 ，得m = ( 3, 0, 2) 是平面PAB 的一个法向量．（11 分）
1
1
1
ì
× AC = -2x + 3y = 0,
n
ï
2
2
设平面ACQ 的法向量为n = (x , y ,z )，则í uuur
（12 分）
2
3
3
2
2
2
ï
n AQ
×
= -
x2 + 2y2
+
z2 = 0,
î
3
令x = 3，则y = 2 ，z = -2 3 ，得n = (3,2,- 2 3) 是平面
ACQ 的一个法向量．（13 分）
2
2
2
设平面PAB 与平面ACQ 的夹角为θ，
|
m × n |
3
21 ，
则cosq =| cos m,n |=
=
=
|
m || n |
3 + 4 ´ 9 + 4 +12
35
2
1 ．（15 分）
所以平面PAB 与平面ACQ 夹角的余弦值为
3
5
说明：
第一问：
1
2
3
4
.1 分段证PD ^ BC ；
.2 分段证BC ^ CD ；
.3 分段证BC ^ 平面PCD ，条件PD I CD = D ，PD，CD Ì 平面PCD 不写不扣分；
.4 分段得出平面PCD ^ 平面PBC ，条件BC Ì 平面PBC 不写不扣分.
第二问：
.5 分段建立空间直角坐标系，不说明DA,DC, DP 两两垂直不扣分，详细说明坐标系的建立过程，但没
有在图中画出不扣分；
1
2
3
.6 分段求出各点坐标；
.7 分段写出各向量的坐标；
数学 全解全析及评分标准 第 8 页（共 13 页）
{
#{QQABYYAAggCgQIBAABgCQwkKCAOQkAAACagOhBAIMAAAgRFABAA=}#}
4
5
.8 分段确定Q 点位置，得出EQ = MC ,只要说明Q 为PB 上靠近B 的三等分点就给分；
.9 分段得出Q 点坐标和AQ ；
6
7
8
9
.10 分段写出平面PAB 的法向量满足的关系；
.11 分段求出平面PAB 的一个法向量；
.12 分段写出平面ACQ 的法向量满足的关系；
.13 分段求出平面ACQ 的一个法向量；
3
1
0.15 分段得出平面PAB 与平面ACQ 夹角的余弦值，结果写成
不扣分.
5
7
1
8．（17 分）
x - 4
【
解析】（1）由题意，知动圆的圆心为(
,0) ，（1 分）
2
所以(x - 4)2 + y2 = (
x - 4
+ 4)2 ，（2 分）
2
2
化简，得y2 = 4x ，即点(x, y)
的轨迹C 的方程为y = 4x ．（4 分）
2
2）如图，由题意，知A(4,4) ，（5 分）
（
设B( y
2
0
4
, y )(y ¹ 4) ，
0
0
由A，B，E 三点共线，得4 - 0 y0 - 0
，（6 分）
=
4
+1
y
2
0
+1
4
1
解得y =1或y = 4 （舍去），所以B( ,1) ，（7 分）
0
0
4
1
所以点B 关于x 轴的对称点为B¢( ，-1) .
4
4
AQ
k
k
,且k > k
=
由题意，知直线 的斜率 存在，记直线AB' 的斜率为
，
AB'
AB¢
3
4
设直线AQ ：
y - 4 = k(x - 4)(k > ) Q(x ,y ) M(x ,y )
，
，
，
Q
Q
M
M
3
Q
C
因为点 在抛物线 上，
ì
y - 4 = k(x - 4)
4
16
16
由í
，得y2
-
y + -16 = 0 ，所以y y = -16，（8 分）
y
2
= 4x
k
k
A
Q
k
î
4
y
2
Q
1
所以yQ = - 4 ，所以xQ =
= 4( -1)2 .（9 分）
k
4
k
1
1
又因为BM ^ AQ ，所以直线BM 的方程为
y -1= - (x - )
．（10 分）
k
4
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{
#{QQABYYAAggCgQIBAABgCQwkKCAOQkAAACagOhBAIMAAAgRFABAA=}#}
1
4
ì
y - 4 = k(x - 4)
4
k
2
-
3k
+
ï
联立í
1
1 ，解得xM
=
.（11 分）
y -1= - (x - )
2
+1
k
ï
î
k
4
因为| AM |×| AQ |= AM × AQ = (x - 4, y - 4)×(x - 4, y - 4) = (x - 4)(x - 4) + (y - 4)(y - 4)
M
M
Q
Q
M
Q
M
Q
=
(x - 4)(x - 4) + k
2
(x - 4)(x - 4) = (k +1)(x - 4)(x - 4)
（
2
12 分）
M
Q
M
Q
M
Q
1
4
k
2
- 3k +
1
4 -
=
=
(k
2
+1)(
4)[4( -1)2 4]（13 分）
-
k
2
+1
k
2
4k
2
+18k -15
1
1
1
3
= -15( )2 +18( ) + 24(0 < < )
，（14 分）
k
2
k
k
k
4
1
18
2´ (-15)
3
所以当 = -
= ，（15 分）
k
5
5
147
5
即当k = 时，
|
AM |×| AQ | 取得最大值
．（17 分）
3
说明：
第一问：
1
2
3
.1 分段写出圆心坐标；
.2 分段利用半径建立等量关系；
.4 分段化简轨迹C 的方程.
另解：由题意，设A (-4, 0) ，B (x,0) ，C (0, y) ，
1
1
1
所以AC = (4, y) ，B C = (-x,y) ，（1 分）
1
1
1
1
由题意，知AC × B C = 0 ，（2 分）
1
1
1
1
所以-4x + y2 = 0 ，（3 分）
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{
#{QQABYYAAggCgQIBAABgCQwkKCAOQkAAACagOhBAIMAAAgRFABAA=}#}
所以y2 = 4x ，即点(x, y)
的轨迹C 的方程为y = 4x ．（4 分）
2
1
2
.1 分段写出AC ，B C 的坐标；
1
1
1
1
.2 分段得出AC × B C = 0 ；
1
1
1
1
3
4
.3 分段由数量积运算得出-4x + y2 = 0 ；
.4 分段得出轨迹C 的方程.
第二问：
1
2
3
4
5
6
7
.5 分段求出A 点的坐标；
.6 分段由三点共线得出B 点坐标满足的关系；
.7 分段求出B 点的坐标；
.8 分段设出直线AQ 的方程，并与抛物线方程组成方程组写出根与系数的关系；
.9 分段求出Q 点的坐标；
.10 分段写出直线BM 的方程；
.11 分段解出M 点的横坐标；
.12 分段将| AM | ×| AQ | 用
x , x
表示；
8
M
Q
x , x
代入转化为用k 表示；
9
1
.13 分段将
M
Q
0.14 分段化简为关于k 的二次函数；
11.15 分段求出二次函数在对称轴处取得最大值；
1
1
2.17 分段得出| AM | ×| AQ | 的最大值；
5
3.求解过程中没有估计出k 的取值范围，最后不检验k = 是否取到扣1 分.
3
或者第二问也可以将求| AM |×| AQ | 的最大值转化成求AB × AQ 的最大值.
1
9．（17 分）
【
由
解析】（1）由
f (x) = x(x -1)(x - 2)(x - 4) ，得 f (0) = f (1) = f (2) = f (4) = 0 ，（1 分）
f (0) = f (1) ，根据罗尔定理，知存在x1 Î(0,1)，使得 f ¢(x1) = 0 ，（2 分）
f (1) = f (2) ，根据罗尔定理，知存在x2 Î(1, 2) ，使得 f ¢(x2 ) = 0 ，（3 分）
f (2) = f (4) ，根据罗尔定理，知存在x3 Î(2, 4) ，使得 f ¢(x3 ) = 0，
由
由
f ¢(x) = 0
所以方程
至少有三个根 （ 分）
.
4
数学 全解全析及评分标准 第 11 页（共 13 页）
{
#{QQABYYAAggCgQIBAABgCQwkKCAOQkAAACagOhBAIMAAAgRFABAA=}#}
-
又
f ¢(x) 为三次函数，所以方程 f ¢(x) = 0 至多有三个根，所以方程 f ¢(x) = 0 有三个根，且x1 Î(0,1)，
x Î(1, 2) ，x Î(2, 4) ．（5 分）
2
3
f (b) - f (a)
2）令F(x) = f (x) -
（
x ，则F(a) = F(b).（6 分）
b - a
因为
f (x) 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导，所以函数F(x) 在闭区间[a,b]上连续，在开区
间(a,b) 内可导，且F(a) = F(b)，由罗尔定理，知在开区间(a,b)
内至少存在一点c ，使得
F¢(c) = 0 .
（8 分）
f (b) - f (a)
f (b) - f (a)
由F(x) = f (x) -
x ，得F¢(x) = f ¢(x) -
，（9 分）
b - a
b - a
f (b) - f (a)
所以F¢(c) = f ¢(c) -
= 0 ，
b - a
f (b) - f (a)
即在开区间(a,b) 内至少存在一点c ，使得
f ¢(c) =
，即
f (b) - f (a) = f ¢(c)(b - a) ．（10 分）
b - a
a + b
3）由0 < a < b，得0 < a <
（
< b ，
2
a+b
(a + b)
a+b
(a + b)
a+b
要证(a + b)e
< aea + beb ，即证
e
- aea < beb
-
e
.（11 分）
2
2
2
2
2
令g(x) = xex ，由（2），得
a + b
a + b
a+b
g(
) - g(a)
e
2
- aea
a + b
a + b
2
a + b
2
对于区间(a,
) ，存在c1 Î(a,
) ，使得g'(c1)
=
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