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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,2,课时 排列、组合,基础知识梳理,排列与排列数,组合与组合数,定义,1.,排列：从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素，,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个排列,2.,排列数：从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素的,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数,.,1.,组合：从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个组合,2.,组合数：从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素的,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数,按照一,定的顺序排成一列,所有,不同排列的个数,合成一,组,所,有不同组合的个数,基础知识梳理,基础知识梳理,思考？,如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？,【,思考,提示,】,区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题,1,(2009,年高考湖北卷改编,),将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同分法的种数为,(,),A,18,B,24,C,30 D,36,答案,：,D,三基能力强化,2,从,1,2,3,4,5,6,六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有,(,),A,9,个,B,24,个,C,36,个,D,54,个,答案,：,D,三基能力强化,2,从,1,2,3,4,5,6,六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有,(,),A,9,个,B,24,个,C,36,个,D,54,个,答案,：,D,三基能力强化,4,在,10,件产品中有三件是次品，从中任取三件恰有一件次品的取法有,_,种,答案,：,63,三基能力强化,5,(,教材习题改编,),电视台连续播放,6,个广告，其中含,4,个不同的商业广告和,2,个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有,_,种不同的播放方式,(,结果用数值表示,),答案,：,48,三基能力强化,课堂互动讲练,考点一,排列数、组合数计算,课堂互动讲练,课堂互动讲练,例,1,【,思路点拨,】,本题主要考查排列数公式、阶乘的定义及运算能力,(1),是涉及含字母的排列数，但因,2,、,3,数字比较小，仍用公式,A,n,m,n,(,n,1)(,n,m,1),课堂互动讲练,【,解,】,(1),原方程可化为：,3,x,(,x,1)(,x,2),2(,x,1),x,6,x,(,x,1),x,3,，,3(,x,1)(,x,2),2(,x,1),6(,x,1),课堂互动讲练,课堂互动讲练,【,误区警示,】,在解有关排列数,(,或组合数,),的方程或不等式时，必须注意,A,n,m,中的,n,是正整数，,m,是非负整数，且,n,m,，求出方程或不等式的解后，要进行检验，把不符合的解舍去,课堂互动讲练,涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊位置上元素的选法，再考虑其他位置上的其他元素,(,这种方法称为特殊元素或特殊位置法,),；或者，先求出不加限制条件的排列数，再减去不符合条件的排列数,(,也叫做间接法或排除法,),，这是解排列题的基本策略所谓,“,捆绑法,”,与,“,插空法,”,，实际上都是特殊元素,(,位置,),特殊考虑的结果,课堂互动讲练,考点二,排列应用题,课堂互动讲练,例,2,有,3,名男生、,4,名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数,(1),选其中,5,人排成一排；,(2),排成前后两排，前排,3,人，后排,4,人；,(3),全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；,(4),全体排成一排，女生必须站在一起；,(5),全体排成一排，男生互不相邻,课堂互动讲练,【,思路点拨,】,本题是有限制条件的排列问题，它们分别属于相邻问题、不相邻问题、顺序一定问题、在与不在问题等模型，应采取相应的捆绑法、插空法、直接法、间接法、排除法等求解,【,解,】,(1),从,7,个人中选,5,个人来排列，是选排列有,A,7,5,765 43,2520(,种,),(2),分两步完成，先选,3,人排在前排，有,A,7,3,种方法，余下,4,人排在后排，有,A,4,4,种方法，故共有,A,7,3,A,4,4,5040(,种,),(3)(,优先法,),课堂互动讲练,法一,：甲为特殊元素先排甲，有,5,种方法；其余,6,人有,A,6,6,种方法，故共有,5A,6,6,3600(,种,),法二,：排头与排尾为特殊位置排头与排尾从非甲的,6,个人中选,2,个排列，有,A,6,2,种方法，中间,5,个位置由余下,4,人和甲进行全排列，有,A,5,5,种方法，共有,A,6,2,A,5,5,3600(,种,),课堂互动讲练,(4)(,捆绑法,),将女生看成一个整体，与,3,名男生在一起进行全排列，有,A,4,4,种方法，再将,4,名女生进行全排列，也有,A,4,4,种方法，故共有,A,4,4,A,4,4,576(,种,),(5)(,插空法,),男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有,A,4,4,种方法，再在女生之间及首尾空出的,5,个空位中任选,3,个空位排男生，有,A,5,3,种方法，故共有,A,4,4,A,5,3,1440(,种,),课堂互动讲练,【,思维总结,】,求排列应用题的主要方法有：,1,直接法：把符合条件的排列数直接列式计算,2,特殊元素,(,或位置,),优先安排的方法即先排特殊元素或特殊位置,3,排列、组合混合问题先选后排的方法,课堂互动讲练,4,相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列,5,不相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中,6,“,小集团,”,排列问题中先集体后局部的处理方法,课堂互动讲练,若将本例中的第,(3),问改为,“,甲不站排头，乙不站排尾,”,其他条件不变，应如何求解,解,：用间接法，,3,名男生，,4,名女生站成一排的方法共有,A,7,7,种,甲站在排头的方法有,A,6,6,种，乙站在排尾的方法有,A,6,6,种,甲站排头，乙站排尾的方法有,A,5,5,种,符合题意的方法数为：,A,7,7,A,6,6,A,6,6,A,5,5,3720(,种,),课堂互动讲练,互动探究,组合问题常有以下两类题型变化：,(1)“,含有,”,或,“,不含有,”,某些元素的组合题型：,“,含,”,，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；,“,不含,”,，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取,课堂互动讲练,考点三,组合应用题,(2)“,至少,”,或,“,最多,”,含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视,“,至少,”,与,“,最多,”,这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理,课堂互动讲练,课堂互动讲练,例,3,7,名男生,5,名女生中选取,5,人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？,(1),A,，,B,必须当选；,(2),A,，,B,不全当选；,(3),选取,3,名男生和,2,名女生分别担任班长、体育委员等,5,种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任,课堂互动讲练,【,思路点拨,】,(1),属于组合问题，可用直接法；,(2),属于组合问题可用间接法；,(3),属于先选后排问题应分步完成,【,解,】,(1),由于,A,，,B,必须当选，那么从剩下的,10,人中选取,3,人即可，有,C,10,3,120(,种,),(2),全部选法有,C,12,5,种，,A,，,B,全当选有,C,10,3,种，故,A,，,B,不全当选有,C,12,5,C,10,3,672(,种,),(3),分三步进行：,第一步，选,1,男,1,女分别担任两个职务有,C,7,1,C,5,1,种,第二步，选,2,男,1,女补足,5,人有,C,6,2,C,4,1,种,第三步，为这,3,人安排工作有,A,3,3,种,由分步乘法计数原理共有,C,7,1,C,5,1,C,6,2,C,4,1,A,3,3,12600(,种,),选法,课堂互动讲练,【,名师点评,】,对于第,(3),问也可以先选人，其方法为,C,7,3,C,5,2,，再分工,C,3,1,C,2,1,A,3,3,利用乘法原理,C,7,3,C,5,2,C,3,1,C,2,1,A,3,3,12600.,课堂互动讲练,题目条件不变，求符合下列条件的选法总数有多少？,(1),A,、,B,必不当选,(2),至少有,2,名女生当选,解,：,(1),从除去,A,，,B,两人的,10,人中选,5,人即可，,有,C,10,5,252(,种,),(2),注意到,“,至少有,2,名女生,”,的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行求解,有,C,12,5,C,5,1,C,7,4,C,7,5,596(,种,),选法,课堂互动讲练,互动探究,解排列、组合的综合应用问题，要按照,“,先选后排,”,的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出,(,组合,),，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法要根据实际问题探索分类分步的技巧，做到层次清楚，条理分明,课堂互动讲练,考点四,排列、组合应用题,课堂互动讲练,例,4,(,解题示范,)(,本题满分,12,分,),从,1,到,9,的,9,个数字中取,3,个偶数,4,个奇数，试问：,(1),能组成多少个没有重复数字的七位数？,(2),上述七位数中，,3,个偶数排在一起的有几个？,(3)(1),中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？,(4)(1),中任意,2,个偶数都不相邻的七位数有几个？,课堂互动讲练,【,思路点拨,】,本题属于有限制条件的排列、组合问题可优先考虑特殊元素或特殊位置，采用先选后排的顺序求解,【,解,】,(1),分步完成：第一步，在,4,个偶数中取,3,个，有,C,4,3,种情况；第二步，在,5,个奇数中取,4,个，有,C,5,4,种情况；第三步，,3,个偶数，,4,个奇数进行排列，有,A,7,7,种情况所以符合题意的七位数有,C,4,3,C,5,4,A,7,7,100800(,个,).,3,分,(2),上述七位数中，,3,个偶数排在一起的有,C,4,3,C,5,4,A,5,5,A,3,3,14400(,个,).6,分,(3),上述七位数中，,3,个偶数排在一起，,4,个奇数也排在一起的有,C,4,3,C,5,4,A,3,3,A,4,4,A,2,2,5760(,个,).9,分,(4),上述七位数中，偶数都不相邻，可先把,4,个奇数排好，再将,3,个偶数分别插入,5,个空档，,共有,C,4,3,C,5,4,A,5,3,A,4,4,28800(,个,).12,分,课堂互动讲练,【,规律小结,】,解排列、组合应用问题的常用思想方法：,(1),对于有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置；,(2),对于元素有顺序限制的排列，可以先将不受限制的元素进行排列，然后将受限制的元素按要求插入到空档里面，同时要注意：若空档的个数多于受限制元素的个数，则在插入时要考虑受限制元素的排列；,课堂互动讲练,(3),间接法：先不考虑题中的限制条件，求出一个中间结果，再想法剔除不满足限制条件的情况，得出最后结果,课堂互动讲练,(,本题满分,12,分,),用,0,、,1,、,2,、,3,、,4,、,5,这六个数字,(1),可以组成多少个无重复数字的五位数；,(2),可以组成多少个无重复数字的五位奇数；,(3),可以组成多少个无重复数字的能被,5,整除的五位数,课堂互动讲练,高考检阅,解,：,(1),法一：,(,直接法,),从,1,2,3,4,5,这五个数字中任取一个作首位，有,C,5,1,种；余下的,5,个数字可排在后四位中的任何一个位置，有,A,5,4,种，由分步计数原理，共有,C,5,1,A,5,4,600(,个,).4,分,法二：,(,间接法,),不考虑任何限制，共有,A,6,5,种，而,0,作首位时，有,A,5,4,种，故符合题意的数字个数为,A,6,5,A,5,4,600(,个,).4,分,课堂互动讲练,(2),一个数是否为奇数取决于个位数字，所以个位为特殊位置，又,0,不能排在首位，所以,0,为特殊数字，应优先考虑，有,C,3,1,C,4,1,A,4,3,288(,个,).8,分,(3),能被,5,整除的五位数，则个位数字是,0,或,5.,当个位数字是,0,时，共有,A,5,4,个；,当个位数字是,5,时，共有,C,4,1,A,4,3,个，,由分类计数原理，符合题意的数字共有,A,5,4,C,4,1,A,4,3,216(,个,).12,分,课堂互动讲练,1,对于有附加条件的排列组合应用题，通常从三个途径考虑：,(1),以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；,(2),以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；,(3),先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数,规律方法总结,2,关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：,(1),特殊元素优先安排；,(2),合理分类与准确分步；,(3),排列、组合混合问题先选后排；,(4),相邻问题捆绑处理；,(5),不相邻问题插空处理；,(6),定序问题排除法处理；,(7),分排问题直排处理；,(8)“,小集团,”,排列问题先整体后局部；,(9),构造模型；,(10),正难则反，等价转化,规律方法总结,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
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