化工过程分析与合成第四章化工过程系统的优化.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,化工过程分析与合成,Analysis and Synthesis of Chemical Process,第四章 化工过程系统的优化,Chapter 4 CPS Optimization,掌握线性规划问题的求解方法；,掌握拉格朗日乘子法及罚函数法；,了解过程系统优化的种类及优化的基本概念；,了解过程系统参数模拟优化方法；,了解变分法。,学习重点与难点,线性规划问题；,非线性规划问题,学习目的,4.1 概述,4.1.1 优化问题的产生,通过对化工过程系统的分析，可以建立过程系统的稳态和动态的数学模型。这些数学模型是对实际过程系统进行模拟的基础。所谓系统仿真（或系统模拟）实际上就是建立过程的数学模型,。,对于化工过程系统而言，建立数学模型,不,仅仅是为了对过程进行模拟，其最终目的是要对过程进行优化。,化工系统工程的基础是模拟,，,但其核心内容是过程系统的最优化。,4.1.2 优化问题,生产每吨产品的成本最小:,与目标大小相关的操作变量，如T，P，U等；,实际上，就是,求解当成本最小时的最佳操作条件。,优化目标,4.1.3 优化问题的类型,A 参数优化,（设计参数、操作参数）,一 过程系统优化问题,二 求解方法优化问题,B 结构优化,C 管理优化,过程系统合成问题，在第7/8章介绍,A 参数优化,（设计参数、操作参数）,一 过程系统优化问题,确定设计参数、操作参数，使系统某个技术指标最佳。,例如：,在设计化工设备或成套装置时，总会碰到设备投资费用和操作,费用之间的矛盾，即如何在设备投资费用与操作费用之间求得,平衡，使总的投资效益最好；,设计参数优化问题,如:精馏塔设计中适宜回流比的选择,又如：,对于运行着的化工装置，则需要我们通过定性的和定量的分析,来确定能使单元或系统的某个目标函数达到最大（小）值时的,生产操作条件.,操作参数最优化,在实际生产过程中,调节温度、压力，使原料转化率最大,仅当某些因素（变量）从正反两方面影响优化目标时，才会存在,最优化问题。,注意：,并非所有的系统均存在最优化问题。,这类问题中，决策变量（参数、生产条件）与目标间的函数关系必定存在一个以上的峰（谷），即参数最优化问题。,B 结构优化,达到一定的生产目的，应采用什么样的工艺路线、什么样的,流程结构最为合理，即,流程方案的优化。,即确定系统的构造（流程），使达到一定的生产目的，且,最佳,系统合成。,费用最小，同时还应保证该方案满足安全、环保、易于实现等要求。,在多种可行方案中找出费用最小的流程结构，保证该方案满足安全、环保、易操作等方面的要求,确定冷、热物流的匹配方式，以便充分利用系统内部热量，降低公用工程消耗,流程方案的优化,结构优化和参数优化的最终目的：,尤其是大型化工企业，由于其庞大的投资和漫长的建设周期，建成后是否具有竞争力至关重要，,生产效益,成为关注的焦点，故化工过程系统的优化也就变得十分重要。,以最小的投入和日常消耗，,获得最大的收益（利润）。,二 求解方法优化问题,一旦最优化问题提出，就还涉及到问题的求解，即求解方法的最优化问题。,1、如何将研究对象转化成最优化数学模型；,需要解决的问题,：,2、采用什么样的数学方法来求解最优化数学模型。,A,分析问题属于哪种类型：连续操作还是间歇操作；稳,态操作还是动态操作；单目标优化还是多目标优化等。,B,选择建立何种模型进行优化：确定性模型、统计模型还是,半经验模型。,4.2 化工过程系统优化问题基本概念,4.2.1 最优化问题的数学描述,问题的提出及数学模型：,A、,优化的目标是什么？,B、,哪些变量/参数与优化目标关系密切？,确定决策变量,；,C、,系统优化问题的数学描述如何进行？,D、,如何求解描述系统的优化数学模型？,原则：与目标关系大、灵敏；生产上可调；尽可能少,最优化：,在给定条件下获得最好的结果。,在数学上，求解最优化问题就是找到一组决策变量，使目标函数J达到最大或最小值。,由于目标函数J的最小值就是-J的最大值，即：,min J=max-J。,所以求解最小值的方法完全可以用于求解最大值问题。,求目标函数的最小值：min J=min F(y),服从约束条件：,不等式,等式,g(y)=0,e(y)=0,y=(y,1,y,2,y,n,),T,最优化问题的组成要素：,目标函数，优化变量，约束条件与可行域。,一、目标函数（性能函数、评价函数）,目标函数:最优化问题所要达到的目标.,不同的决策，其好坏优劣要以它们使目标函数达到多少为评判标准。,系统的产量最大、经济收益最大、能量消耗最小、原料利用率,最高、操作成本最低、投资成本最低、稳定操作周期最长等.,也可以是以上某些单个目标的组合，构成,复合目标,，即,多目标问题:,操作费用和设备投资折旧的综合目标；能耗与投资的综合目标；产品质量与产量的综合目标等,系统的最优化是建筑在单元最优化的基础上的：,系统最优化,单元最优化的简单组合,二、优化变量,min J=min F(y)中的y为n维优化变量向量。,对于过程系统参数优化问题，优化变量向量是,过程变量向量,。,过程变量向量,=,决策变量,+,状态变量,决策变量,等于系统的自由度，它们是系统变量中可以独立变化,以改变系统行为的变量；,状态变量,是决策变量的函数，它们是不能独立变化的变量，服,从于描述系统行为的模型方程。,过程系统模型方程:f(w,x)=0,m维状态变量,r维决策变量,又称,状态方程,，它表示的是系统状态变量与决策变量之间的关系,状态方程数目与状态变量x的维数相同。,若状态方程数目,=,过程变量数n，则可独立变化的决策变量,=,0，,即系统自由度,=,0。此时，无最优解可寻，只有状态方程构成的,非线性方程组的唯一解。,自由度为0的系统优化问题即系统模拟问题,状态方程的一般形式为：f(w,x,z)=0,S维单元内部变量向量,一般来说，在过程系统优化问题中，决策变量数仅占整个过程变量中很小的一部分，这一特性在缩小优化搜索时是有用的。,状态方程限制了状态变量与决策变量间的关系,故是一种约束条件。,对于设计参数优化问题，设计规定要求也是一种约束条件。,过程系统参数的优化问题显然都是有约束条件的。,三、约束条件和可行域,当过程变量向量y的各分量为一组确定的数值时，称为一个,方案,。,实际上，有的方案在技术上行不同或明显的不合理,，,因此，变量y的取值范围一般都要给以一定的限制，称为,约束条件,。,约束条件有等式约束和不等式约束之分。,过程系统参数优化的不等式约束条件,=,过程变量的不等式约束条件,+,不等式设计规定要求,等式约束条件,=,等式设计规定要求,+,尺寸成本关系式,h(w,x)=0与c(w,x,z)=0,+,状态方程式f(w,x,z)=0,l维等式设计约束方程,s维尺寸成本方程组,满足约束条件的方案集合，构成了最优化问题的,可行域,，记作R。,可行域中的方案称为,可行方案,。,每组方案y为n维向量，它确定了n维空间中的一个点。,过程系统最优化问题是在可行域内寻求使目标函数达到最小值的一个点。这样的点称为最优化问题的,最优解,。,过程系统优化问题可以表示成：,s.t.:f(w,x,z)=0;c(w,x,z)=0;h(w,x)=0;g(w,x)=0,min F(w,x),r维,m维,s维,+,+,+,m维,s维,l维,+,变量数,等式约束方程数,自由度为：d,=,变量数,-,方程数,=,(r+m+s)-(m+s+l),=,r,-,l,自由度为：d,=,变量数-方程数,=,r-l,即:,自由度d,=,决策变量数r,-,等式设计约束方程数l,若,l,=,0，自由度等于决策变量数,r；,若,r,=,l，自由度等于0，此时最优化问题的解是唯一的;,若,l,r，则最优化问题无解；,若,l,=0（不等式设计约束方程）,min F(w,x),s.t.:,适用于稳态过程系统设计参数优化和离线参数优化。,代数方程,四、动态优化模型,引入了时间变量，过程变量、目标函数和约束条件均可为时间,变量的函数。,集中参数动态优化模型,常微分-代数方程组,s.t.:,IC：x(t,0,)=x,0,状态函数向量,决策函数向量,微分形式,状态方程,不等式约束方程,不等式设计规定方程,等式状态方程及,等式设计规定方程,由于动态模型描述的时间连续系统，故从控制论的角度又称为,连续系统优化,。,动态优化模型的解不是一组简单的数值，而是时间的函数。,动态优化模型与稳态优化模型的主要区别在于：,适用于解决动态过程(间歇过程、开停工过程等)的优化设计及操作问题,A,找到w(t)的最优变量规律，使得在规定时间内到达x(t)的指定值的系统规模最小；,B,系统规模已定，找到w(t)，使一定时间内x(t,f,)值为最大；,C,系统规模已定，找到w(t)，使内达到x(t)值的时间最短。,稳态模型与动态模型的比较,稳态优化模型,通常适用于稳态过程系统,设计参数优化,和,离线操作参数优化,。从控制论的角度，称稳态系统优化为,离散系统优化,。,由于动态模型描述的是时间连续系统，故从控制论的角度称其为,连续系统优化,。动态优化模型与稳态优化模型的主要区别在于前者的解不是一组简单的数值，而是,时间的函数.,(P82),例4-2：BR的最优操作。,可逆放热反应,通过改变其冷却衬套内冷却剂的温度，对反应器实现最优控制。,M.B.:,H.B.:,IC:,寻找T,c,(t),，使达到给定转,化率的时间最短。,Objective:,目标函数,这就是最短时间控制问题。,Tc,为操作变量，,x,A,和,T,是状态变量。借助于最优化技术，可从上述动态优化模型解出使得目标函数,J,最小的最优解，同时可得到相应的最优状态轨线,4.3.2 过程系统管理最优化,一、资源的合理分配,二、时序问题（Scheduling）,三、多产品生产过程的排产计划,工厂里的蒸汽、冷却水等公用工程,几个车间共用一种化工原料的过程系统,时间表问题,多组反应器中的催化剂再生；,间歇操作的流程中每个设备的运行周期；,设备的维护和检修；,多产品车间的生产运行。,对一个给定生产厂的多个产品的生产计划排定及对一个生产装置网络的生产计划协调，都会出现利润最大的优化问题。,4.4 化工过程系统中的线性规划问题,线性规划是运筹学的一个重要分支。,作为一种最优化方法，线性规划理论完整、方法成熟、应用比较广泛,4.4.1 线性规划问题的数学描述,一、线性规划数学模型的标准形式,求一组,非负,变量，这些变量在满足一定的线性约束条件下，使,一个线性函数达到极值.,min/max c,1,x,1,+c,2,x,2,+c,n,x,n,s.t.:,标准形式,=,一般模型,标准形式,一般模型,转化,方法,?,A、将求极大化为求极小,max(J)=min(-J),B、将不等式约束化为等式约束,小于等于型不等式：,松弛变量,大于等于型不等式：,剩余变量,C、将自由变量化为非负变量,自由变量,在线性规划的数学模型中，没有非负限制的变量,一个自由变量化为两个非负变量；,或者设法在约束条件和目标函数中消去自由变量。,例：P,85,例4-3,将 Max J,=,x,1,+3x,2,+4x,3,化为标准形。,Max J,=,x,1,+3x,2,+4x,3,min(-J),=,-x,1,-3x,2,-4x,3,自由变量,标准形,Max J=x,1,+3x,2,+4x,3,Max J=5+x,2,+3x,3,-y,1,Min(-J)=-x,2,-3x,3,+y,1,-5,二、线性规划数学模型的解,min c,1,x,1,+c,2,x,2,+c,n,x,n,s.t.:,线性规划问题的标准数学模型,min J,=,CX,矩阵,s.t.:AX=b,X=0,矩阵,可行解,最优（可行）解,基向量，非基向量，基本解，基本可行解,定理1，定理2,将矩阵看成由n个列向量组成，即,设A的秩为m(m=0，称B为,可行基,，此时，称式(4-16)为关于可行基B的,基本可行解,按上式,，目标函数J=CX也可以用非基变量线性表示：,整理得到：,定理1（最优性判别定理）,对于线性规划问题的基B，若有B,-1,b=0，则对应于B的基本可行解X,B,是线性规划问题的,最优解,，称为最优基本可行解，基B称为,最优基,。,定理2 对具有标准形式的线性规划问题,若存在一个可行解，则必存在一个基本可行解。,若存在一个最优解，则必存在 一个最优基本可行解。,4.4.2 求解线性规划问题的图解法,图解法实用于变量较少的线性规划问题。,它通过作图的方式，直观地显示满足约束条件的可行域和目标函数的最优解。,P,8,6例4-4,用图解法求解：,将x,1,、x,2,看作是坐标平面上的点，将前两个约束条件写成等式，则可以在平面上画出两条直线.,四个约束条件围成的区域为可行域,最优解将落在由原点、A、B、D四个点围成的四边形内,目标函数是线性函数,可得到一个平行直线族，平行直线族上落在可行域中的点都为可行解，其中使J取最小值的点即为最优解,4.4.3求解线性规划问题的单纯形法,由4.4.1节定理1及定理2知，线性规划问题的目标函数的最大值,或最小值一定在基本可行解中获得。所以在寻找最优解时，只需,要考虑,基本可行解,就行了。,记：,s.t.,每一个等式约束中含有一个且仅含有一个基变量，而且基变量用非基变量线性表示。同样，目标函数也仅用非基变量线性表示，其中非基变量x,j,的系数,y,oj,=C,j,-C,B,B,-1,A,j,称为的,检验数,或,相对成本系数,.,单纯形表,x,1,x,2,x,m,x,m+1,x,m+2,x,n,-y,00,0,0,0,y,0m+1,y,0m+2,y,0n,x,1,y,10,1,0,0,y,1m+1,y,1m+2,y,1n,x,2,y,20,0,1,0,y,2m+1,y,1m+2,y,2n,x,m,y,m0,0,0,1,y,nm+1,y,1m+2,y,mn,第0行,第1m行,m个约束方程,第0列,约束方程右端的常数项,目标函数的变形,y,0j,=c,j,-C,B,B,-1,A,j,非基变量x,j,的系数,检验数或相对成本系数,C,迭代计算，当目标函数值不能再减小，即满足最优条件,用单纯形法求解线性规划问题的方法如下：,A,求一个初始基本可行解；,B,从基本可行解出发，转移到另一个目标函数值最小的基本可行解；,P,8,8,例4-5,A 将问题转化为标准形：,解：,B 为标准形找出一个基本可行解：,最明显的可行解就是将系数为1的变量留下作为基变量，,并设其他变量为0，作为非基变量。,本问题中,留下x,1,x,5,x,6,其值为约束等式右边的常系数，,即：x,1,=6，x,5,=3，x,6,=4。,剩下的变量x,2,x,3,x,4,为基本变量，均为0。,可行解为：X=（6,0,0,0,3,4）,T,，初始可行基为单位矩阵：,B=（A,1,，A,5,，A,6,）=I，C,B,（1，0，0）。,非基变量x,j,的系数:y,0j,=c,j,-C,B,B,-1,A,j,非基变量x,j,的系数:y,0j,=c,j,-C,B,B,-1,A,j,C 建立单纯形表;,对应的目标函数值,把b放入表的第0列，A,1,A2,A3,A4,A5,A6放入表的1m行中，把-y00和y0j放入表的第0行,D 检验可行解，看是否为最优解;,最优解满足的条件为：,E 转移至另一个基本可行解:,I 选择出现负检验数y0j最小的列q作为主列;,II 求最小比值,选择出现,的最小行p最为主行,III 以ypq作为主元，以换基公式：,修改单纯形表,回到第B步,重新计算.,F 直到满足,即得到最优解。,4.4.4 排产计划,化工过程存在大量排产问题。,例如,该工段通常有十几组塔组成，这些塔交替进行制碱和清洗操作，如何将塔进行分组，合理安排制碱和清洗时间以保证重碱产量，这就构成了重碱生产中的排产问题。,纯碱生产过程的重碱工段,又如,多产品生产厂,当原料成本或市场价格等因素发生变化时，为了保证全年利润，,也需要重新安排生产计划.,由于涉及到设备的生产安排、生产负荷与操作时间的调整，因此建立的优化模型大都为非线性模型。,而对于只涉及到成本和利润的排产问题，建立的优化模型一般为线性方程，可以采用线性规划法进行求解。,例,炼油厂排产计划,某炼油厂的原料和产品情况如下:,1#原油24$/桶,2#原油15$/桶,炼油厂,A汽油 36$/桶,B煤油 24$/桶,C燃料油 21$/桶,D残油 10$/桶,产品名称,得率/%,最大生产力或需求量/(桶/天),1#原油 x,1,2#原油 x,2,A汽油 x,3,80,44,24000,B煤油 x,4,5,10,2000,C燃料油 x,5,10,36,6000,D残油 x,6,5,10,加工费/$,0.5,1.0,产品得率及加工费,市场需求如表所示,求每天用1#,2#原油多少桶进行生产可获得最大利润?,=(36x,3,+24x,4,+21x,5,+10 x,6,)-(24x,1,+15x,2,)-(0.5x,1,+x,2,),目标函数,max f(X)=产值-原料费-加工费,s.t.:,0.8x,1,+0.44x,2,=x,3,x,3,=24000,0.05x,1,+0.1x,2,=x,4,x,4,=2000,0.1x,1,+0.36x,2,=x,5,x,4,=0,f,max,=286700,$,/天,x,1,=24000桶/天,x,2,=2000桶/天,x,3,=5120桶/天,x,4,=2000桶/天,若市场发生变化,例如原油价格、产品价格及原料品种等发生变化？,若加工费用变化？,若各产品得率发生变化？,4.5 化工过程中的非线性规划问题,4.5.1 无约束条件最优化问题的经典求解方法,对于一个函数f(x,1,x,2,x,n,)，如果都存在一阶导数,则函数f(x)的极小值的,必要条件,为：,对于满足以上方程的点成为极值点的,充分条件,：,该点上的所有二阶导数均存在，且其赫森矩阵为正定。,赫森矩阵H正定的判定：,行列式,其主子式 D,1,，D,2,，,D,n,均0,根据函数存在极小值的充分必要条件，将无约束最优化问题的求解，转化为下面一组非线性方程的求解：,其中满足,的点，就是方程组的解。,方法缺点：,B,由于上述条件是满足极小，而不是最小，所以找,到的解可能是,局部极值,，而不是全局最优值；,C,只能用于,导数连续,的场合，当导数不连续时，不,能使用。而导数不连续之外，可能正好是最小值,或最大值所在之处。,A,对于复杂的问题，这种非线性方程组求解是相当,困难的；,4.5.2 有约束条件最优化问题的经典求解方法,拉格朗日乘子法,/,罚函数法,共同点:,将有约束最优化问题转变成无约束最优化问题。,一、拉格朗日乘子法,目标函数f(x,1,x,2,.,x,n,),服从等式约束条件：e,j,(x,1,x,2,.,x,n,)=0，（j=1,2,m）,引入拉格朗日函数,拉格朗日乘子,根据无约束最优化问题的求解方法，只要上式中的函数f和约束e,j,的,一阶偏导数,在所有各点存在，则只要求解下列非线性方程组，就可得到最优解。,n+m个方程，,个未知数,P,91,例4-6,已知：,压缩机,混合器,反应器,蒸馏塔,烃,蒸汽,压缩费用：1000p元/年,输送费用为1/pR*4*10,9,元/年,分离所需费用为10,5,R元/年,再循环和压缩费用为1.5*10,5,R元/年,年产,10,7,千克,A,最优的操作压力p和循环比R，使每年总费用最小；,B,若要求的p和R乘积为900MPa，求最优的p和R。,求：,A:,无约束最优化问题,I、将J对p和R求导数，求一阶导数零点；,II、将J对p和R求二阶导数，并在其一阶导数为0点处验证其,赫森矩阵是否正定，若正定，则为极小点。,此矩阵为正定矩阵，因此这一点就是极小点。,B 有约束最优化问题：,s.t.:pR=9000,I 建立拉格朗日函数：,III、将J对p和R求二阶导数，并在其一阶导数为0点处验证其,赫森矩阵是否正定，若正定，则为极小点。,II、将J对p和R求导数，求一阶导数零点；,二、罚函数法,基本思想：,通过一个,惩罚因子,，把约束条件连接到目标函数上去，从而将有约束条件的最优化问题转化为无约束条件的问题。,新的目标函数具有以下性质：,当搜索到不可行点时，附加一个约束惩罚项，会使目标函数变得很大，而且离约束条件越远惩罚就越大。,目标函数：minf(x,1,x,2,.,x,n,),等式约束条件：g,j,(x,1,x,2,.,x,n,),惩罚因子,罚函数,等式约束条件的优化问题：,当k,j,为很大的正数时，只要x违反了约束条件，则惩罚项就会变,成一个很大的正值，从而使F(x)离最小值更远。且x对约束条件,偏离越大，惩罚也就越大。,当k,j,趋近于无穷时，则只有g,j,(x)=0时，才使F(x)达到最小值，这时的解就是f(x)的解。,F(x)最小值会因k,j,值的不同而不同。,k,j,值越大，则惩罚项的权也就越大，偏离约束的可能性越小。,P,93,例4-7,等式约束条件为：,x,1,+x,2,-5=0,目标函数：,f(x)=x,1,2,+4x,2,2,解：,I,、建立带罚函数的目标函数：,F(x)=x,1,2,+4x,2,2,+k(x,1,+x,2,-5),2,II,、求新目标函数的极小值：,目标函数：minf(x,1,x,2,.,x,n,),一般约束条件的优化问题,s.t.:,带罚函数的目标函数：,取,g,j,(x),和,0,中较小的作为约束,计算步骤,:,C,、,设,k,增大的倍数为,a(a1),，用,ak,代替原来的,k,值，作为新的,罚因子，以,x,1,为初始点，回到第,2,步。,A,、,给定初始点,x,0,及一个恰当的罚因子,k,；,B,、,求,F(x),的最小点,x,1,若,x,1,可接受，则计算结束，否则,从不可行域逐步收敛到解的，这就要允许在不可行域进行函数估值，比如，试图求负数的对数或求负数的平方根等。,缺点,:,将罚函数引入目标函数，可能导致二阶导数不连续；,可能导致程序计算失败,.,使用梯度法来搜索最小时会发生困难；,动态系统参数的最优化又称连续系统最优化，这是由于优化问题的解是时间t的连续函数,动态系统参数优化问题的一般模型,4.5.3 动态系统参数的变分优化法,IC：x(t,0,)=x,0,可以看出，目标函数随状态变量和决策变量的不同而不同，就是说明,目标函数是函数的函数,。,在数学上，这种函数的称为,泛函,，求泛值的问题称为,变分问题,。因此，连续系统的最优化问题就是一个变分问题。,对于有约束的最优化问题，,则先利用拉格朗日函数或罚函数，将其转化为无约束最优化问题后再进行求解。,由于求泛函的极小值问题也是一种极值问题，因此与上两节中介绍的一般函数,F(x),的极值问题有很多类似之处,:,对于无约束问题，,根据极值问题存在的充要条件求取极值；,一 无约束连续系统的最优化,当函数,y,(,x,)经微小改变后变为,y,1,(,x,)，则称,为,函数的变分,，表示了,y,(,x,)的微小改变。也写为,式中 是一个连续可微的任意函数，,是一个很小的正数，当 时，,(1)泛函极值的必要条件,若,y,(,x,)的微小改变要求在区间,x,1,，,x,2,两端固定，即保持,y,(,x,1,)=,y,1,，,y,(,x,2,)=,y,2,，则 应满足,或记为：,相应于函数,y,(,x,)的微小改变，泛函,I,y,(,x,)的改变量为：,将大括号内的函数的用泰勒级数展开，并略去,的高次项得:,式中 称为泛函,I,y,(,x,)的第一变分。泛函,I,y,(,x,)取极值的必要条件为：,将前式等号右侧第二项分部积分得到：,在端点固定（即y(x,1,)=y,1,及y(x,2,)=y,2,）的条件下，,所以上式等号右侧第一项为零。因此,由于 为任意函数，不恒等于零，所以要式4-32成立，必然有,上式就是使泛函,I,y,(,x,)取极值的必要条件，称为,欧拉方程,。有了这个方程，求泛函极值的问题就转化为求解微分方程的问题了,对于（4-27）式给出的优化问题，其极值为下列偏微分方程组的解：,(2)泛函极值的充分条件,要判断满足欧拉方程的函数是使泛函极大还是极小，需计算第二变分,对 作泰勒级数展开，忽略 以上的高次项，得到：,式中等号右侧第二项记为 ，称为,第二变分,：,对于满足欧拉方程的函数y(x)，因此，若函数y(x)使第二变分 ,则有,即函数y(x)使泛函,I,y,(,x,)取,极小,；,若函数使第二变分 ，则,即函数y(x)使泛函,I,y,(,x,)取,极大,。,我们把第二变分写成矩阵的形式：,其中矩阵：,就是Hesse矩阵，这时大于零（或小于零）与 Hesse的正定（或负定）是一致的，二者都 可作为判定泛函极值的充分条件,二 有约束连续系统的最优化,(1)目标函数不含终态,该问题是求函数向量x(t)和w(t)，使之满足常微分形式的约束条件，且使泛函,极小的问题,先考虑一维情况。引进拉格朗日泛函：,式中 称做,伴随函数,或,拉格朗日乘子函数,利用泛函极值必要条件欧拉方程可得：,即：,边界条件：,由于 时x是自由的，所以由欧拉方程的推导过程（4-33)式可知，。此时只有,才能使欧拉方程成立。因此有：,由（4-43）式有,所以，应满足：,这样，,原变分问题便转化成下面微分方程组的边值问题：,边界条件：,若给定终端条件 的话，只需用其替代式中的边界条件即可。,和一般函数一样，上述方法称为拉格朗日方法。也可以推广到多维状态函数和决策函数的情形,边界条件：,同样可定义拉格朗日泛函：,由此可导出相应的两点边值问题：,边界条件：,这里共有2m+r个方程，可解出2m+r个未知函数，作为原问题的最优解,例 4-8,有回流的连续反应系统的最优控制,浓度为x,i,的物料以常流量q流入混合器，与分离器回流的物料混合后，以浓度x,0,及流量q+r进入反应器。反应后浓度为x,，在分离器中分离出浓度为x,f,的产品以流量q流出。另一部分浓度为x,r,的物料以流量r回流至混合器,反应器内进行 不可逆吸热反应，反应动力学方程：,(1),式中,T,为反应温度。分离器的分割比,s,定义为,(2),令C,1,表示纯产品的单价，C,2,表示反应器升高单位温度所消耗的能量费用，C,3,表示原料的单位成本。问题是应如何控制反应温度,T,，才能在0,时间内获得最大的利润,因此：,原问题就是求取温度,T,与时间,t,的关系，以使得目标函数取得最大值,解：,利润总收入操作费用原料成本,（3）,分离器物料平衡为：,（4）,将2式代入4得：,（5）,混合器物料平衡为：,（6）,将2式代入6得：,（7）,由反应速度方程有：,（8）,(8)式代入(7)式消去，得到：,（9）,(9)式代入(5)式并化简，得：,（10）,代入目标函数(3)式得：,（11）,式中A=C,1,(r+q)。由于y,0,是常数，所以原问题转化为求目标函数,（12）,的最大值。引进拉格朗日泛函：,（13）,因此，有：,（14）,（15）,由动力学方程式(1)和目标函数(11)式得到：,（16）,（17）,代入(14)式得：,上式与(1)式相除可得：,（19）,方程两端自x(0)至x(f)积分得：,即：,（21）,（18）,（20）,由(11)式得：,由(1)式得,将(22)和(23)式代入(15)式，得到：,（24）,上式与(21)式结合，可得：,（25）,上式是由拉格朗日法(4-35式)导出来的一个关系式，表明了温度应满足的条件。显然只有T,f,为常数上式才会成立。因此得出结论，在等温条件下，这个反应系统能得到最大利润,（22）,（23）,4.,6,化工,过程中非线性规划问题的数值求解,化工数值算法,以迭代形式逐渐逼近最优解：,由一个初始点出发，如何,不断,寻找更新点，以逐渐趋近于最优解，,并,判断所得的点是否已足够趋近于最优解，而停止搜索的过程。,一、无约束非线性规划问题的搜索策略,搜索方向,搜索步长,随机搜索、格点搜索、变量轮换法、单纯形法、最速下降法、共扼梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。,二、变量轮换法,为含有,n,个变量的目标函数选择,n,个固定的搜索方向(通常是坐标轴)，然后连续使用一维搜索,，,使,f,(x)在每一个搜索方向上最小化。,优化技巧,：,三、非线性规划的单纯型法,四、最速下降法和共轭梯度法,五、牛顿法和拟牛顿法,六、有约束多变量非线性规划问题的搜索策略,4.,7,化工过程大系统的优化,由于过程系统最优化是在过程系统模拟的基础上发展起来的，因而各种大系统的优化策略，也是,最优化方法与过程模拟方法相结合,而产生的。,一、化工过程大系统的优化方法,Min F(w,x),目标函数,f(w,x,z)=0,（流程描述方程）,x(w,x,z)=0,（尺寸，成本方程）,h(w,x)=0,（等式约束方程）,g(w,x)=0,（不等式约束方程）,s.t.:,OPT1,其优化方法按其处理约束条件的方式分为两大类：,可行路径型,和,不可行路径型,。,优化搜索过程在可行域内进行,对决策变量,w,迭代的每次取值，都必须,求解流程方程,，尺寸及成本模型方程和等式约束方程。,优化搜索过程仅在最优解处满足约束条件,所有变量,w,、,x,及,z,同时向使目标函数,F,最优而又满足约束条件的方向移动。,Min F(w,x),目标函数,f(w,x,z)=0,（流程描述方程）,x(w,x,z)=0,（尺寸，成本方程）,h(w,x)=0,（等式约束方程）,g(w,x)=0,（不等式约束方程）,s.t.:,OPT1,按稳态流程模拟系统求解,因此，过程大系统优化问题的求解方法，实际是,最优化方法,与,稳态模拟方法,的结合。,通常，可以利用稳态模拟方法求解,(OPT1)Min F(w,x),中的等式约束方程，利用最优化方法寻求满足约束的目标函数最优解。,系统模拟优化策略,可行路径黑箱搜索法,可行路径联立模块法,不可行路径序贯模块法,二、化工过程大系统优化方法评价标准,A 应用方便；,如尽可能地利用现有的流程模拟系统，把数据和函数引入最优化算法程序，且花费的人工最少,B 计算可靠，初值选择方便，计算过程需要人工干预少，计算,方法的适应性强；,C 解效率高,过程系统参数优化算法解效率的衡量指标：,I CPU时间；,II 流程贯通（Flowsheet Pass）总次数。,III 优化/模拟所需CPU时间比RTos，,IV 优化/模拟所需流程贯通次数比RN os,一般而言，系统参数优化的效率主要取决于RTos的数量级。,三、,系统模拟优化采用的最优化方法评述,A 直接搜索法,B 罚函数型和拉格朗日型的优化方法,它应用简便，计算比较可靠，但优化方法每迭代一次都要做一次全流程模拟计算，属于,可行路径法,。,曾被广泛用于处理有约束的非线性问题，但随着问题维数的增多，其数学性质变得复杂，条件变坏，求解困难，而且罚函数的选择和修正带有很大的任意性。,用以解决大系统参数优化问题。,C 序列线性逼近法（SLP）,D 广义简约梯度法（GRG）,该法适应性强，能处理大规模的优化问题，但收敛速度慢。,序列二次规划法（SQP）,适应性好，收敛速度快，特别是可以直接用于处理大规模优化问题，但在过程优化方面应用的报道不多。,一、可行路径黑箱搜索法,将过程系统视为“黑箱”，在优化计算确定决策变量的搜索过程中，只是根据目标函数确定搜索方向，而不涉及任何有关过程系统结构或过程单元类型的信息。,可行路径法+序贯模块法/面向方程法,这类方法的大多数研究工作都利用流程模拟系统为基础。,对于每组决策变量w，利用流程模拟系统（序贯模块法或面向方程法）作为功能黑箱，产生相应的状态变量值x。,利用非线性规划（NLP）模块产生新的决策变量。,利用模拟方程的解x与决策变量w一起来评价目标函数F和不等式约束条件g。,Min F(w,x),目标函数,f(w,x,z)=0,（流程描述方程）,x(w,x,z)=0,（尺寸，成本方程）,h(w,x)=0,（等式约束方程）,s.t.:,OPT1,S.T.,:g(w,x)=0,目标函数,OPT2,min F(w,x),g(w,x)=0,（不等式约束方程）,二、可行路径联立模块法,可行路径法+联立模块法,它与可行路径黑箱搜索法的主要区别在于：产生新的决策变量时，利用了某些过程系统模型的信息。,将描述流程的方程和变量,分解为描述每个过程单元的模块子集。,每个单元模块的变量分为输入-输出变量和内部变量。,在一组给定的决策变量下求解各个严格单元模块，产生单元的,简化模型。,Min F(w,x),目标函数,f(w,x,z)=0,（流程描述方程）,x(w,x,z)=0,（尺寸，成本方程）,h(w,x)=0,（等式约束方程）,s.t.:,OPT1,g(w,x)=0,（不等式约束方程）,Min F(,w,x,),目标函数,f(,w,x,)=0,（流程描述方程）,x(w,x,z)=0,（尺寸，成本方程）,h(w,x)=0,（等式约束方程）,s.t.:,OPT3,g(w,x)=0,（不等式约束方程）,4.6.2 不可行路径优化法,用可行路径优化方法进行过程大系统的参数优化，无论怎样改进（采用不同的过程求解技术，缩小搜索变量空间等），都不能使计算效率进一步提高，其根本原因是抛弃大量超出可靠域的试算点。,Wilson-Han-Powell,序列二次规划法,不可行路径联立模块法,本章小结,1、,化工系统最优化的分类；优化模型的建立；最优化数学,模型的构造标准形式的建立。,2、,最优化方法：直接法、间接法；可行路径法、不可行路,径法；无约束优化问题、有约束优化问题；线性规划,单纯形、非线性规划拉格朗日乘子法及罚函数法。,3、,化工大系统的最优化策略：黑箱法等、可行路径法、不可,行路径法。,作业,1、,将：max f(x)=2x,1,2,-2x,1,x,2,+2x,2,2,-6x,1,s.t.:3x,1,+4x,2,=6,-x,1,+4x,2,=2,化为标准形。,2、,分别利用拉格朗日法和罚函数法，求解最优化问题：,min f(x)=x,1,2,+3x,2,2,s.t.:x,1,+x,2,=6,3,、考查如图所示的反应器。目标函数为,BC:,且:,这里,c,r,是出口浓度，为常数，且,K,也为常数。当,时，求目标函数的最小值。,4,、设某炼油厂在炼油时，可用原料为1#原油与2#原油，其原料及产品情况如下：,1#原油30$/桶,2#原油15$/桶,炼油厂,A汽油 40$/桶,B煤油 24$/桶,C燃料油 18$/桶,D残油 5$/桶,各产品得率及所需加工费,市场需求如下表所示：,产品名称,得率/%,最大生产力或需求量/(桶/天),1#原油,x,1,2#原油,x,2,A汽油,x,3,65,44,30000,B煤油,x,4,15,15,1000,C燃料油,x,5,10,26,10000,D残油,x,6,10,15,加工费/$,1.5,1.0,如要求每天用1#,2#原油多少桶进行生产可获得的最大利润，建立其目标函数并化为标准形。,