基和正交基特征值和特征向量教育课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,基和正交基,特征值和特征向量,友 情 提 示,本次课讲第五章第一、二节，向量组的内积与正交，特征值概念,下次课讲第五章第二三节，特征值，相似矩阵与对角化,下次上课时,交作业,P41,42,2,一、向量空间的最大无关组,基的概念,1.,基的定义,设,V,为向量空间，如果,r,个向量 ,V,满足,（,i）,线性无关,；,（,ii,）,V,中,任 一,向量都由 线性表示，,那么，向量组 称为,向量空间,V,的一个基,r,称为向量空间,V,的,维数,，,并称,V,为,r,维向量空间,.,特别地：,如果向量空间,V,没有基,则,V,的维数为0。,0 维向量空间只含一个零向量 0.,2.,结论,1,：,任何,n,个线性无关的,n,维向量都是向量空间,R,n,的一个基，由此可知,R,n,的维数为,n,.,分析：因为任意,n,1,个,n,维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的,n,维向量都能由这,n,个线性无关的,n,维向量线性表示。显然，,n,个无关向量可自身表示，故以上结论成立。,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,3,4.,向量由基线性表示的系数,坐标,3.,过渡矩阵概念：,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,4,例,4:,设,验证 是,R,3,的一个基，并求,在这个基中的坐标.,解,因,R(A)=3,，,故 为,R,3,的一个基，,第十二讲：方程组解的解构与向量空间,5,且,第十二讲：方程组解的解构与向量空间,6,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,7,二、向量的内积与长度,1.,内积的定义,定义1,设有,n,维向量,2.,内积的性质,设,x,y,z,为,n,维向量，,为实数.,(,i),性质,(,ii),(,iii),(,iv),且当 时有,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,8,对于施瓦茨不等式，我们证明,2,维向量的情形,（,V,）施瓦茨不等式,3.,向量的度量：（长度的概念及其性质,),定义2,令,称为,n,维向量,x,的,长度,（或,范数,）.,向量的长度（范数）有下列,性质：,1.非负性,当 时，,当 时，,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,9,2.齐次性,3.三角不等式,当 时，,称 为,单位向量,.,证,:,用施瓦茨不等式来解析,x,y,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,10,1.,正交向量组的概念的引入：,由此可得：,向量的内积满足施瓦茨不等式：,当 时，,称为,n,维向量 与 的,夹角,.,特殊地：零向量与任何向量都正交.,（,2,）正交向量组定义：,如果向量组向量两两正交，则称为正交向量组,三、向量的正交与正交基,称 与,正交,.,当 时，,（,1,）正交定义：,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,11,2.,正交向量组的性质（无关性）,证,设有 使,以 左乘上式的两端，得,定理1,若,n,维向量 是一组,两两正交,的非零向量,线性无关.,则,因 ，,所以,从而必有 ，,即,同理可得：,因此向量组 线性无关.,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,12,3.,如何求与已知向量组正交的向量（组）：,4.,正交基,（,1,）正交基的定义：,用,正交向量组,作向量空间的,基,，称为向量空间的,正交基,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,13,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,（,2,）规范正交基的定义,设,n,维向量 是向量空间,V,（,V,R,n,）,的一个基,如果,两两正交,，且都是,单位向量,，则称,为,V,的一个,规范正交基,.,例1,已知 3 维向量空间,R,3,中两个向量,正交，试求一个非零向量 ，使 两两正交.,解：记,应满足齐次线性方程 ，即,14,由,得,得基础解系,令 ，,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,15,首先把 正交化：,取,5.,求正交基,将基正交化的施密特方法,正交化方法：,设 是向量空间,V,的一个基，,要求,V,的一个规范正,交基，,也就是要找一组两两正交的单位向量 ，,使,与,等价。,这样一个问题，称为,把,这个基规范正交化,.,步骤如下：,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,16,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,而且，由正交化过程，显然,A,、,B,两组向量可互相线性表示,17,再把 单位化：,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,18,例,2,已知 求一组非零向量 使 两两正交.,解,都应满足方程,，,即,得基础解系：,取,及,及,把基础解系正交化：,取,即为所求.,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,19,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,20,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,21,3.,正交矩阵与正交变换的概念,定义4,如果,n,阶矩阵,A,满足,（即 ），,那么称,A,为,正交矩阵,.,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,22,亦即,(6),性质：正交变换不改变向量的长度,设 为正交变换，,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,23,正交矩阵的性质,第十二 讲：基与正交基，特征值与特征向量,24,四、特征值与特征向量的概念,1.,定义,：,设,A,是,n,阶矩阵，如果,和,n,维,非零,列向量,x,使关系式：,（1）,成立，那么称数,为方阵,A,的,特征值,，,非零向量,x,称为,A,对应于特征值,的,特征向量,.,注意：定义的几个要点,（,1,）,A,是,n,阶矩阵，即方阵,（,2,）特征值,是数，,（,3,）特征向量,x,是非零向量,2.,如何求特征值与特征向量,（,1,）特征值的求法,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,25,由定义（1）式也可写成:,即,（2）,由于特征向量,x,非零，所以方程（,2,）有非零解的充要条件是,（3）,（,3,）式是以,为未知数的一元,n,次方程，称为,A,的,特征方程,在方程（,3,）或（,3*,）中,A,的特征值,就是特征方程的根.,因此,n,阶矩阵,A,有,n,个特征值(重根按重数计算).,所以，求特征值就是解特征方程求出,n,个根的过程,即,（3*）,称为方阵,A,的,特征多项式.,经常地，记,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,26,（,2,）特征向量的求法：,设 为方阵,A,的一个,特征值,，,则由方程,可求得,非零解,，,便是,A,的对应于特征值 的,特征向量,.,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,27,