复变函数-第6章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,李崇君,数学科学学院,第六章,保 形 映 射,1,6.1,保形映射的几何意义,1.,解析映射的保域性,解析映射的性质分为局部性质和整体性质两方面,.,局部性质仅在一个小邻域内成立,而整体性质在整个解析区域内成立,.,例如,函数 在每个直径不超过 的圆盘内是单射,但在整个复平面上,(,的解析区域,),不是单射,.,一些解析函数也许是在某些点的邻域内是单射,但在另外一些点的邻域内不是单射,.,2,定理,6.1.1,若 在 解析,且 故存在以 为心的圆盘,D,使得 在,D,上的单射,(,单叶,).,证明,:,由于 也在 解析,且 故存在以 为心的圆盘,D,使得对,D,内每点 有,如果 并且 是连接 和 的线段,则有,因此,在,D,内是单射,.,3,定理,5.3.3,若 在区域,D,内,单叶解析,则在,D,内,单叶,(,单射,),解析,局部单叶,(,单射,),解析且,定理,6.1.1,若 在 解析,且 故存在以 为心的圆盘,D,使得 在,D,上的单射,(,单叶,).,4,考虑非零解析函数 由零点孤立性,存在以 为心的圆周,C,C,及,C,的内部含于,D,使得 在,C,上及,C,内除了 外再无零点,.,因而在,C,上,(,有界闭集上取到最小值,),定理,6.1.2(,保域定理,),若 为在区域,D,内,解析,的,非常数函数,则它的值域,(,像,),也是一个区域,.,证明,:,区域是连通的开集,.,(1),证明,G,是一个开集,即,G,内的每一点都是内点,.,要证在,w,平面存在一个 的邻域,5,对于,w,平面内 的这个 邻域,由,Rouch,引理,与,在,C,内的零点个数相等,.,即只有一个,.,(2),证明,G,是连通的,即要证,存在,G,内的一条折线连接,由,D,为区域,存在,D,内的一条折线 连接,于是,即为,G,中连接 的曲线,.,再由,G,是开集,存在,G,中内接于 的折线 连接,6,推论,若 为在区域,D,内,单叶,(,单射,),解析,则它的值域,(,像,),也是一个区域,.,单叶,(,单射,),解析,非常数,利用保域定理,可以容易证明练习,2.1,的第,8,题中,(1),(4),(6).,习题,8,若函数 为在区域,D,内,解析,且满足下列条件之一,证明 在区域,D,内必是常数,.,(1),或 在,D,内是常数,;,(4),在,D,内是常数,;,(6),把区域,D,映为直线的一部分,.,事实上,以上三个条件都是把区域,(,开集,),D,映为闭集,.,7,2.,解析映射的保形性,(,非零,),导数的几何意义,8,(1),导数辐角的几何意义,:,变换 在 点的,旋转角,.,像曲线 在点 的切线方向,可由原像曲线,C,在 点的切线方向旋转一个角 得到,.,仅与 有关,而与曲线,C,无关,即,旋转角不变性,.,(2),导数模的几何意义,:,变换 在 点的,伸缩率,.,像点间无穷小距离 与原像点间无穷小距离 之比的极限是,仅与 有关,而与曲线,C,无关,即,伸缩率不变性,.,把 处的无穷小圆变成 处的无穷小圆,半径之比是,9,结论,:,解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性,.,例 求 在点 处的旋转角,.,解,:,故 把圆 的内部缩小,外部放大,.,回忆第一章,例,1.2.1,10,曲线的夹角,:,经过点 的两条有向曲线 的切线方向所构成的夹角,.,由旋转角不变性,在导数非零的点,解析映射保持曲线夹角的大小和方向不变,.,11,例 试证 将互相正交的直线族 与 变为互相正交的直线族 与圆周族,.,证明,:,正交的直线族 与 在变换 下有,即有像曲线族,由于在,z,平面上 处处解析,且,所以在,w,平面上 与 也是相互正交的,.,12,定义,(,保角变换,):,若 在点 的邻域内有定义,且在点,具有,(1),伸缩率不变性,;,(2),过 点的任意两条曲线的夹角在变换 下既保持大小又保持方向,.,则称 在点 是,保角,的,.,或 在点 是,保角变换,.,若 在区域,D,内处处是保角的,称 在区域,D,内是保角的,.,或称 在区域,D,内是保角变换,.,定义,(,保形映射,):,若 在点 的邻域内是,单叶,(,射,),且保角,则称 在点 是,保形,的,或者是,保形,(,共形,),映射,.,单叶,(,单射,),且保角,保形,(,共形,),注,:,保角和保形,(,共形,),是映射的几何性质,.,13,定理,6.1.3,解析函数 在导数不为零的点处是保形映射,.,局部单叶,(,单射,),且保角,单叶,(,单射,),解析,推论,6.1.1,若函数 在区域,D,内单叶,(,单射,),解析,则 在,D,内保形,.,局部保形,(,共形,),解析且,解析且,解析且,保形,14,例,6.1.1,讨论解析函数,(,n,为正整数,),的保形性,.,解,:(1),因为,(2),由于 的单叶解析区域是顶点在原点张度不超过,的角形区域,.,故在此角形区域内 是保形的,.,在张度超过 的角形区域内不是保形的,但在其中各点的邻域内是局部保形的,.,故 在,z,平面上除原点 外,处处都是保角的,.,15,定理,6.1.4,设函数 在区域,D,内,单叶,(,单射,),解析,则,再由推论,6.1.1,将,D,保形映射为,G,.,(2),由定理,5.3.3,又因为 是,D,到,G,的一一映射,.,故当 时,也就是反函数,在区域,G,内单值,.,(1),将区域,D,保形映射,为区域,(2),反函数 在区域,G,内单值解析,且,证明,:(1),由定理,6.1.2(,保域定理,),知,G,是区域,.,16,在点 及其一个邻域 内连续,也就是在邻域 内,当 时,有,因此,由假设 在区域,D,内解析,则在,D,内满足柯西,-,黎曼方程,故,由隐函数存在定理,存在两个函数,17,故,即,由于 的任意性知,在区域,G,内解析,.,注,:,本定理的条件,(1),的逆亦真,.,即,:,若 将区域,D,保形映射成区域,G,则 在,D,内单叶,(,单射,),解析,.,单叶,(,单射,),解析,保域且保形,(,共形,),利用几何观点解释“解析”,.,18,因此,若 将区域,D,保形,(,共形,),映射成区域,则 将区域,G,保形,(,共形,),映射成区域,D,.,这时,区域,D,内的一个无穷小曲边三角形 变成区域,G,的一个无穷小曲边三角形,由于保持了曲线间的夹角大小与方向,故 与,“,相似,”,.,这就是保形,(,共形,),映射这一名称的由来,.,保形,(,共形,),映射的基本任务是,给定两个区域,D,及,G,要求找出将,D,保形,(,共形,),映射成,G,的函数 以及唯一性条件,.,显然,保形,(,共形,),映射的复合仍然是一个保形,(,共形,),映射,.,利用这一事实,可以复合若干个基本的保形映射而构成较为复杂的保形映射,.,19,定理,6.5.1(,黎曼映射定理,),设,D,是扩充复平面上的单连通区域,其边界点不止一个,则存在一个单叶,(,单射,),解析函数 它将,D,保形映射成单位圆盘,且当符合条件,时,这种函数 是唯一的,.,定理,6.5.2(,边界对应定理,),设,(1),单连通区域,D,与,G,的边界分别为围线,C,与,;,(2),将,D,保形映射为,G,则 可以扩张成,使得,在,上,连续,并将,C,双方单值并且双方连续地变成,.,20,6.2,分式线性变换,1.,分式线性变换的概念,平移,(Translation),变换,:,此变换将每个几何图形平移向量,c,之后得到它的全等图形,.,21,旋转,(Rotation),变换,:,此变换将每个几何图形,绕原点旋转,角度,之后得到它的全等图形,.,22,伸缩,(Dilation),变换,:,此变换将每个几何图形,以原点为中心,长度伸缩 倍之后得到它的相似图形,.,伸缩,变换保持直线,(,斜率,),和圆周的形状不变,(,相似,).,23,线性,(Linear),变换,:,线性变换是旋转变换、伸缩变换、平移变换的复合,.,令,则,24,例,6.2.1,求一个将整个平面绕给定点 旋转一个角度 的线性变换,.,解法一,:,映射,将平面绕原点旋转了角度,点 被映到,.,再做平移变换,将 变回,则整个平面绕给定点 旋转了角度,所求变换为,解法二,:,先用平移变换将 映为原点,旋转角度 之后,再将原点平移回原 处即可,.,25,例,6.2.2,求将圆周 映为圆周 的线性变换,.,解,:,注意到,此变换移动了圆心,并扩大了,2,倍的半径,.,解法一,:,首先向左平移,1,个单位,将 的圆心映在原点,;,然后再做,2,倍的伸缩变换,;,最后将圆心平移到 即可,.,解法二,:,先做伸缩变换将圆周 的半径变成,2,倍,;,此时圆心由 变为,再将圆心平移到 处即可,.,26,反演,(Inversion),变换,:,反演变换将扩充复平面映为本身,将单位圆周映为单位圆周,单位圆周内部映为其外部,.,因此，,在扩充复平面上连续,.,反演变换,27,反演变换的映射性质,(,保圆周性,),(1),将通过原点且与实轴夹角为 的直线映为通过原点且与实轴夹角为 的直线,.,(2),将以原点为圆心,以 为半径的圆周映为以原点为圆心,以 为半径的圆周,.,(3),把直线看成是过 的圆周,.,则反演变换把通过原点的圆周映为通过 的圆周,(,直线,),反之亦然,.,习题,:,z,平面上的圆周可以表示为,28,定义,6.2.1,分式线性变换,(,M,bius,Transformations),是形如,的映射,其中,注意到,因此,分式线性变换在除点 外的每一点是保形映射,.,补充,:(1),若,在 处定义,在 定义,(2),若,在 处定义,则分式线性变换定义在整个扩充,z,平面上,.,并将整个扩充,z,平面一一地因而单叶变成扩充,w,平面,.,逆变换,:,29,分式线性变换 是由旋转变换、伸缩变换、平移变换以及反演变换复合而成,.,(2),若,分式线性变换可以写成,(1),若,分式线性变换就是线性变换,.,因此分式线性变换是由下面三个变换复合而成,:,线性变换,反演变换,线性变换,30,定理,6.2.1,若 是分式线性变换,则,(1),可以表示为旋转变换,伸缩变换,平移变换和反演变换的有限次复合,;,(2),将扩充复平面映为它本身,;,(3),将圆周或直线映为圆周或直线,;,(4),除极点外是保形映射,.,问题,:,能否在极点处定义保形映射,?,注意到,保形是单叶,(,单射,),且保角,.,分式线性变换只有唯一的一个极点,因此在此极点处补充定义函数值为,就能使分式线性变换成为扩充复平面上的单叶,(,单射,),变换,.,剩下只需考虑在极点和无穷远点处的保角性,.,31,定义,:,两曲线在,无穷远点,处的夹角定义为它们在,反演变换,下的像曲线在,原点,处的夹角,.,由于分式线性变换可以分解为,(1),线性变换和,(2),反演变换,.,先考虑反演变换,对于 和 有,故 在 和 处是保角的,.,此外,根据上面的定义,反演变换 在 和 处是保角的,.,注,:,无穷远点处不考虑伸缩率不变性,.,因此,反演变换在整个扩充复平面上是保角的,.,32,下面考虑线性变换,于是,线性变换,在 处保角,因而,在扩充复平面上是保角的,.,定理,:,分式线性变换在扩充复平面上是保形,(,共形,),的,.,由于 故线性变换在整个复平面上是保角的,.,对于 时,.,这说明,变换 在 和 是保角的,.,综上可得,33,例,6.2.3,求在映射 下圆周,内部的像,.,解,:,首先求圆周,C,的像,.,因为,且,4,在圆周,C,上,故圆周,C,的像一定是直线,.,又由于,故圆周,C,的像是,w,平面的虚轴,.,由定理,6.1.2,知,圆周,C,的内部的像是右半平面或是左半平面,.,因为,2,在圆周内部,且,故圆周,C,的内部的像是左半平面,.,34,例,6.2.4,求将单位圆盘 映为右半平面 的保形映射,.,解,:,将圆周 映为虚轴的分式线性变换,.,这样的变换一定在圆周上有一个极点并将圆周上一个点映为原点,.,将,1,映为,-1,映为,0.,因此,此变换将圆周 映为过原点的一条直线,.,首先注意变换,因为,所以 将 映为虚轴,.,但由于,故,即为所求映射,.,思路,:,利用边界对应原理,先定边界,再定内外,.,35,2.,分式线性变换的性质,保形性,:,分式线性变换在扩充复平面上是保形的,.,保圆周,(,圆,),性,:,在分式线性变换下,扩充,z,平面上的圆周变为扩充,w,平面上的圆周,同时圆被保形变换成圆,.(,注,:,直线看成是通过无穷远点的圆周,.),群性质,:,分式线性变换的,逆,和,复合,仍是分式线性变换,.,36,保交比性质,:,分式线性变换保持,交比,不变,.,定义,(,交比,):,扩充,z,平面上有顺序的四个相异点,当四点中有一点为 时,应将包含此点的项用,1,代替,或令该点趋于,即,37,设,则,利用分式线性变换的保交比性质,分别在原像曲线和像曲线上取三个点,组成三个点对,按照交比相等构造出相应分式线性变换的表达式,.,38,从形式上看,分式线性变换 具有四个复参数,但由条件,可知至少有一个不为零,因此可以用它去除分子和分母,于是实际上就只依赖于三个复参数,.,由三对对应点的交比相等得分式线性变换为,其中 由 及 确定,且除了相差一个常数因子之外是唯一的,.,定理 设分式线性变换将扩充,z,平面上三个相异点 映为,则此分式线性变换被唯一确定,并可写为,由三对对应点唯一确定一个分式线性变换,.,39,例如,考虑将,z,平面上的一个圆周或直线 映为实轴,.,在 上取三个不同的点,令它们的像顺序为,则,于是,满足,40,例,6.2.5,求将,0,1,-1,分别映为,i,2,0,的分式线性变换,.,解,:,计算交比,解方程,41,注意到,由三个点 所决定的圆周或直线 也由这三个点的顺序给出了一个定向,.,假设一个分式线性变换 将 分别映为,.,因为分式线性变换是保形映射,可以证明 将由 定向的圆周或直线的左域映为由 定向的圆周或直线的左域,.,保角,42,例,6.2.6,求将区域 映为区域 的分式线性变换,.,解,:,在圆周上取三点,使得区域 是 的左域,.,在虚轴上取三点,使得区域 是 的左域,.,由保交比性,得,43,保对称点性质,:,分式线性变换保持,圆周或直线的对称点,.,称两个点 关于,直线,L,对称,如果,L,是连接点 的线段的垂直平分线,.,等价地说,过 的任何直线或圆周都与直线,L,正交,.,定义,6.2.2.,两个点 称为关于,圆周,C,对称,如果任何通过 的直线或圆周都与,C,正交,.,特别,圆心与 对称,.,44,定理,6.2.2(,保对称点性,),令 是,z,平面上的圆周或直线,是一个分式线性变换,.,则两点 关于 对称,当且仅当它们的像 关于 的像对称,.,证明,:,由分式线性变换将圆周或直线映成圆周或直线并且保持正交性,.,45,下面推导两点关于圆周对称的代数关系,.,给定以,a,为圆心,以,R,为半径的圆周,C,和 关于圆周,C,对称,.,分别把圆周,C,上的点 映为实轴上的点,因此 把圆周,C,映为实轴,.,由保对称点性质,和 关于圆周,C,对称当且仅当 和 关于实轴对称,.,因此,46,由,且,这表明对称点 和 在由圆心,a,发出的一条射线上,并且它们与圆心的距离的乘积是半径的平方,.,47,例,6.2.7,求所有将单位圆盘 映为单位圆盘 的分式线性变换,.,解,:,假定 将圆周 映为圆周,.,则存在点,使得,.,由圆周对称点的关系式知,是与 关于 的对称点,.,因此 与 是关于 的对称点,.,故,其中,k,是常数,.,因为 在 上,故,48,补充,:Apollonius,圆周,.,方程,表示,z,平面上一个圆周,其圆心为,半径为,且,证明,:,由,49,进一步,Apollonius,圆周,表达式中的 和 即为一对关于此圆周的对称点,.,特别,当 时,表示以 和 为对称点的对称轴直线,.,50,下面利用,Apollonius,圆周证明分式线性变换的保对称点性,.,令 是,z,平面上的圆周或直线,两点 关于 对称,则圆周 可表示为,设 是任意分式线性变换,则,当 或,则 或,51,6.3,初等函数构成的保形映射,1.,幂函数与根式函数,假定,其中 为整数,.,除了 及 外,它处处具有不为零的导数,因此在复平面上,除原点外的点处局部保形,.,由幂函数的性质,它在顶点为原点角度不超过 的角形区域内是单叶,(,单射,),的,.,例如,在区域,内是单叶的,也是保形的,.,于是,幂函数 将角形区域,保形映射成角形区域,52,特别地,幂函数 将角形区域 保形映射成,w,平面上除去原点与正实轴的区域,53,作为 的逆映射,将,w,平面上的角形区域 保形映射成,z,平面上的角形区域 其中 是,G,内的一个单值解析分式,它的值完全由区域,D,确定,(,定支条件,).,由此我们看到,要将,角形区域的角度扩大或缩小,时,就可以利用幂函数 或根式函数 所构成的保形映射,.,54,支割线,例如,是满足 的那一支,于是,单叶性区域,单值性区域,55,注意,:,多值函数的取值依赖于支割线的选取,.,此时,是满足 的那一支,于是得,支割线,单叶性区域,单值性区域,56,例,6.3.1,求将具有割痕 的上半平面,G,保形映射成上半平面,D,的映射,.,解,:,57,将上述映射复合即为所求映射,:,58,例,6.3.2,求将区域 保形映射成上半平面,D,并且将 分别映为 的映射,.,解,:,保角,不保角,保角,59,2.,指数函数与对数函数,指数函数,在任意有限点均有,因此它在,z,平面上是保形,.,例如,在带形区域 内是单叶的,因而也是保形的,.,于是,指数函数 将带形区域,保形映射成角形区域,由指数函数的性质,它在平行于实轴且宽不超过 的带形区域上是单叶,(,单射,),的,.,特别,将带形区域 保形映射成,w,平面除去原点及正实轴的区域,60,复平面的分成以下无穷水平带状区域,:,单叶性区域,61,作为 的逆映射,将,w,平面上的角形区域 保形映射成,z,平面上的带形区域 其中 是,G,内的一个单值解析分式,它的值完全由区域,D,确定,(,定支条件,).,62,例,6.3.3,求将带形区域 保形映射成单位圆,的映射,.,解,:,i,-,i,关于实轴对称,关于单位圆对称,结果不唯一,63,3.,透镜形区域的保形映射,由两个圆弧或直线段所界定的区域称为,透镜形区域,.,64,借助于分式线性函数,幂函数或指数函数的复合,可以将透镜形区域保形映射成一个标准区域,比如上半平面,.,由分式线性映射的性质,它将透镜形区域映为同样的区域,(,保圆性,).,只要让已给圆周,(,或直线,),上有一个点映为,则此圆周,(,直线,),就映为直线,.,如果它上面没有点被映为 则它就映为有限半径的圆周,.,所以,若两个圆弧的一个交点映为,则此二圆弧所围成的透镜形区域就保形映射为角形区域,.,圆弧,直线,透镜形区域,角形区域,上半平面,65,例,6.3.4,假定两个圆弧的交角是,.,求将两个圆弧所界定的区域映为上半平面的保形映射,.,解,:,映成,角形区域,保角变换,66,补充例,1,求出一个上半单位圆到上半平面的保形映射,.,解,:,映成,第一象限,保角变换,在上述变换中,区域始终为蓝线的左域与橙线的右域的交,.,67,补充例,2,求出使相切于点,a,的两个圆周所构成的月牙形区域到上半平面的保形映射,.,解,:,蓝线的左域,(,上,),橙线的右域,(,下,),大圆的左域,(,内,),小圆的右域,(,外,),映成水平,带形区域,点,b,c,须在过点,a,的切线的垂线上,否则映为非水平带形区域,68,透镜形区域,(,相交,切圆弧,),角形区域,(,相交射线,),带形区域,(,平行直线,),通过前面的例子,把 也视为任意两条直线的交点,可得,:,分式线性变换,(,交点保角,),上半平面,(,共线射线,),单位圆盘,(,共圆圆弧,),分式线性变换,(,切点保角,),幂,根式函数,(,除交点保角,),分式线性变换,(,交点保角,),指数,对数函数,(,除交点保角,),指数,对数函数,(,除交点保角,),注,:,在区域内部是处处保角的,69,6.5,黎曼,(Riemann),映射定理与边界对应原理,1.,黎曼映射定理,定理,6.1.4,设函数 在区域,D,内,单叶,(,单射,),解析,则,(1),将区域,D,保形,映射为区域,(2),反函数 在区域,G,内单值解析,且,反问题,:,在扩充复平面上任意给定两个,单连通区域,和,是否存在一个,单叶解析映射,使,保形,映射成,?,或者,:,单连通区域 能保形映射成 的条件是什么,?,唯一性,条件是什么,?,70,可以把问题简化为,:,在扩充复平面上任意给定单连通区域,D,能否保形映射成,单位圆盘,?,在什么条件下,这种映射是唯一的,?,这个基本问题有两种否定的极端情形,.,(1),区域,D,是扩充复平面,(,这时,D,无边界点,).,(2),区域,D,是扩充复平面除去一点,(,这时,D,只有一个边界点,).,不妨设除去的点是,.,否则,如果是有限点,则通过映射,就把,D,转化成扩充 平面除去 的区域,.,对于这两种情况,如果 将区域,D,映成单位圆,则 即为有界整函数,.,由刘维尔定理,恒为常数,.,故不存在所要的保形映射,.,71,定理,6.5.1(,黎曼映射定理,),设,D,是扩充复平面上的单连通区域,其,边界点不止一个,则存在一个单叶,(,单射,),解析函数 它将,D,保形映射成单位圆盘,且当符合条件,时,这种函数 是唯一的,.,证明略,.,注,:(1),唯一性条件的几何意义,:,指定 变成单位圆的圆心,而在点 的旋转角,(2),在将单连通区域,D,保形映射为单连通区域,G,的一般情形,唯一性条件可表成,72,Schwarz,引理,如果函数 在单位圆,内解析,且满足条件,则在单位圆,内恒有,如果上式等号成立,或在圆 内一点 处前一式等号成立,则,(,当且仅当,),73,证明,:,由 在单位圆,内解析,且 则,令,则 在单位圆,内解析,.,考虑 在单位圆 内任一点 处的值,.,如果,根据最大模原理有,让 即得,且当 时有,若这些关系中,有一个取等号,即在单位圆 内某一点 模 达到最大值,则,74,Schwarz,引理的几何解释,:,解析变换 当它把单位圆变到一个单位圆内的区域 时,圆内任一点 的像都比,z,本身距原点为近,.,而如果有一个点的像与此点本身距原点的距离相同,则 就与单位圆相同,变换仅仅是一个旋转,.,75,利用,Schwarz,引理证明黎曼映射定理的唯一性部分,.,假设有两个单叶解析函数 和 把单连通区域,D,分别映为单位圆 和,并且都满足,于是 即为把单位圆 映为单位圆 的单叶解析函数,且满足条件,76,所以由,Schwarz,引理知,同理,对于 的反函数也有相同的结论,即,因此得到,再由,77,例,6.5.1,如果函数 在,z,平面上解析,并且不取位于某一条简单曲线 上的那些值,证明它必定是一个常数,.,证明,:,根据黎曼映射定理,存在一个非常数的单叶解析函数 把曲线 外部的单连通区域 保形映射为单位圆盘,则复合函数 在,z,平面上解析,且 故由刘维尔定理知,为常数,.,再由 的单叶,(,单射,),性知,为常数,.,78,定理,6.5.2(,边界对应定理,),设,(1),单连通区域,D,与,G,的边界分别为围线,C,与,;,(2),将,D,保形,映射为,G,则 可以扩张成,使得,在,上,连续,并将,C,双方单值并且双方连续,地变成,.,2.,边界对应定理,区域保形映射,边界连续且一一映射,(,不保角,),思考题,:,一个多连通区域,(,比如有“洞”的区域,),可否保形映射成一个单连通区域,?,79,(2),将,C,双方单值地变成,;,定理,6.5.3,(,边界对应定理的逆定理,判断解析函数单叶性的充分条件,单叶性原理,),设单连通区域,D,与,G,分别是两条周线,C,和 的内部,并设函数 满足下列条件,(1),在区域,D,内解析,在 上连续,则,(1),在,D,内单叶,(2)(,从而 将,D,保形映射成,G,).,证明,:,证明的关键是应用辐角原理来证明集合等式,一方面,要证存在唯一的 使得,另一方面,要证,80,(1),由辐角原理,当,z,沿,C,的正向绕行一周时,由假设条件,(2),应该沿 的正向或者负向绕行一周,.,因此,由于 在,D,内没有极点,则,也即,存在唯一的 使得,81,(2),设 在 的外部,则必有,(,D,内的点不会映到,G,外,).,这是因为,也即,方程 在,D,内无解,.,因此,82,(3),往证方程 在,D,内无解,.,反证,:,假设存在 使得,由保域定理知 是区域,即 是 的内点,则存在一个以 为中心的圆周,使得 及内部含于,.,于是,任取圆周 内的一点,方程 在,D,内有解,.,特别取 在 外,由证明,(2),知,在,D,内无解,.,矛盾,!,综上可知,在,D,内单叶,并将,D,保形映为 的内部,G,.,83,此章结束,例,6.5.2,如果将函数 表成极坐标形式,.,令,则它把,z,平面上的圆周,双方单值地变成,w,平面上的心脏线,由单叶性原理,将这个圆周的内部保形映射为心脏线的内部,.,84,作者,:,李崇君,大连理工大学数学科学学院,chongjun,85,