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-,*,-,习题课,导数综合应用,1/32,2/32,1,.,利用导数研究方程根或函数零点,(1),方程,f,(,x,),=,0,根就是函数,f,(,x,),零点,亦即,f,(,x,),图像与,x,轴交点横坐标,;,(2),方程,f,(,x,),=a,根就是函数,g,(,x,),=f,(,x,),-a,零点,亦即,f,(,x,),图像与直线,y=a,交点横坐标,;,(3),方程,f,(,x,),=g,(,x,),根就是函数,h,(,x,),=f,(,x,),-g,(,x,),零点,亦即,f,(,x,),图像与,g,(,x,),图像交点横坐标,.,2,.,利用导数处理不等式恒成立问题,(1),若,不等式,f,(,x,),恒成立,则,f,(,x,),max,;,(2),若,不等式,f,(,x,),恒成立,则,f,(,x,),min,.,3/32,【做一做,1,】,方程,x,3,-,3,x,2,-,2,=,0,实根个数为,(,),A.0B.1C.2D.3,解析,:,令,f,(,x,),=x,3,-,3,x,2,-,2,则,f,(,x,),=,3,x,2,-,6,x=,3,x,(,x-,2),所以,f,(,x,),有极大值,f,(0),=-,2,极小值,f,(2),=-,6,结合函数图像可知其与,x,轴有一个交点,所以方程只有一个实数根,.,答案,:,B,【做一做,2,】,已知函数,f,(,x,),=x,3,-x,2,-,2,x+,5,若当,x,-,1,2,时,f,(,x,),7,.,答案,:,B,4/32,解析,:,函数定义域为,(0,+,),由,f,(,x,),=,0,得,x=,4,所以,f,(,x,),在,(0,4),上是降低,在,(4,+,),上是增加,所以,f,(,x,),有唯一极小值,f,(4),=m-,2ln,2,+,1,要使函数没有零点,须有,m-,2ln,2,+,1,0,解得,m,2ln,2,-,1,.,答案,:,m,2ln 2,-,1,5/32,(1),求,f,(,x,),单调区间,;,(2),若当,x,-,2,2,时,不等式,f,(,x,),m,恒成立,求实数,m,取值范围,.,6/32,探究一,探究二,规范解答,【例,1,】,已知函数,f,(,x,),=x,3,-x,2,-x+a,g,(,x,),=x,3,-,2,x-,ln,x+,3,其中,a,R,.,(1),若方程,f,(,x,),=,0,只有一个实数根,求实数,a,取值范围,;,(2),若函数,h,(,x,),=f,(,x,),-g,(,x,),有两个零点,求实数,a,取值范围,.,分析,(1),方程,f,(,x,),=,0,只有一个实数根,就是函数,f,(,x,),图像与,x,轴仅有一个交点,所以可分析函数单调性与极值,经过极值满足条件建立关于,a,不等式求解,;(2),函数,h,(,x,),有两个零点,就是其图像与,x,轴有两个交点,.,7/32,探究一,探究二,规范解答,8/32,探究一,探究二,规范解答,所以,h,(,x,),在,x=,1,取得极大值,h,(1),=a-,3,即为函数,h,(,x,),最大值,.,要使函数,h,(,x,),有两个零点,其图像与,x,轴应有两个交点,所以极大值,h,(1),=a-,3,0,.,解得,a,3,.,9/32,探究一,探究二,规范解答,反思感悟,方程,f,(,x,),=,0,根,就是函数,y=f,(,x,),零点,以及,y=f,(,x,),图像与,x,轴交点横坐标,.,所以与方程根,(,函数零点,),相关参数范围问题,往往利用导数研究函数单调区间与极值点,并结合特殊点,得到函数大致图像,结合图像讨论它与,x,轴位置关系,进而确定参数取值范围,.,10/32,探究一,探究二,规范解答,变式训练,1,已知函数,f,(,x,),=x,2,-a,ln,x,(,a,R,),当,x=,1,时,f,(,x,),取得极值,.,(1),求,a,值,;,(2),求函数,f,(,x,),与函数,g,(,x,),=-x,2,+,2,x+k,(,k,R,),图像交点个数,.,11/32,探究一,探究二,规范解答,因为当,x=,1,时,f,(,x,),取得极值,所以,f,(1),=,2,-a=,0,即,a=,2,.,(2),令,F,(,x,),=f,(,x,),-g,(,x,),=x,2,-,2ln,x+x,2,-,2,x-k=,2,x,2,-,2ln,x-,2,x-k,因为,x,0,所以,2,x+,1,0,.,令,F,(,x,),=,0,则,x=,1,当,x,(0,1),时,F,(,x,),0,.,所以函数,F,(,x,),在,(0,1),上是降低,在,(1,+,),上是增加,.,所以,F,(,x,),min,=F,(1),=-k.,当,-k,0,即,k,0,时,两图像交点个数为,0;,当,-k=,0,即,k=,0,时,两图像交点个数为,1;,当,-k,0,时,两图像交点个数为,2,.,12/32,探究一,探究二,规范解答,【例,2,】,已知,f,(,x,),=x,ln,x,g,(,x,),=x,3,+ax,2,-x+,2,.,(1),求函数,f,(,x,),单调区间,;,(2),若对任意,x,(0,+,),2,f,(,x,),g,(,x,),+,2,恒成立,求实数,a,取值范围,.,分析,对于,(1),可经过解不等式,f,(,x,),0,和,f,(,x,),0,在,(0,1),上恒成立,求实数,a,取值范围,.,17/32,探究一,探究二,规范解答,18/32,探究一,探究二,规范解答,【审题策略】,(1),将,a,值代入,先求极值,再得到最值,;(2),将所给不等式进行转化,化为,f,(,x,2,),-ax,2,f,(,x,1,),-ax,1,从而可结构函数,g,(,x,),=f,(,x,),-ax,经过,g,(,x,),单调性,利用导数转化为不等式恒成立问题即可求得,.,19/32,探究一,探究二,规范解答,【规范展示】,解,(1),函数,f,(,x,),定义域为,(0,+,),所以当,x,(0,2),时,f,(,x,),0,所以,f,(,x,),在,x=,2,时取得极小值也就是最小值,故函数最小值为,f,(2),=-,2ln,2,.,20/32,探究一,探究二,规范解答,21/32,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】,(1),第,1,步,:,确定函数定义域,第,2,步,:,求导数,第,3,步,:,分析极值情况,第,4,步,:,得到最值,22/32,探究一,探究二,规范解答,(2),第,1,步,:,假设结论成立,第,2,步,:,将所给不等式转化,第,3,步,:,结构新函数,g,(,x,),第,4,步,:,将问题转化为,g,(,x,),在,(0,+,),上为增函数,第,5,步,:,利用导数转化为,g,(,x,),0,在,(0,+,),上恒成立,第,6,步,:,分离参数求最值,第,7,步,:,得到结果,23/32,探究一,探究二,规范解答,失误警示,经过阅卷统计分析,失分主要出现在第二问,造成失分原因是,:,(1),不能将所给不等式转化,为结构新函数奠定基础,;,(2),虽能对不等式转化,但不能将转化后不等式合理变形,从而结构新函数,;,(3),结构新函数后,无法依据题意推出其单调性,;,(4),在得到新函数单调性后,无法利用导数转化为恒成立问题求解,;,(5),分离参数后无法准确求得函数最值,.,24/32,探究一,探究二,规范解答,25/32,探究一,探究二,规范解答,26/32,1 2 3 4,5,1,.,若不等式,2,x+,cos,x-m-,4,-,1B.,m,1D.,m,2,x+,cos,x,令,f,(,x,),=,2,x+,cos,x,则,f,(,x,),=,2,-,sin,x,0,即,f,(,x,),在,-,0,上是增加,故其最大值为,f,(0),=,1,故实数,m,取值范围是,m,1,.,答案,:,C,27/32,1 2 3 4,5,2,.,方程,x,3,-,6,x,2,+,9,x-,4,=,0,实根个数为,(,),A.0B.1C.2D.3,解析,:,利用导数,求出函数极大值为,0,极小值为,-,4,再结合函数单调性,经过数形结合可得,.,答案,:,C,28/32,1 2 3 4,5,答案,:,a,0,29/32,1 2 3 4,5,30/32,1 2 3 4,5,(1),求,f,(,x,),单调区间,;,(2),若当,x,3,时,f,(,x,),af,(,x,),恒成立,求实数,a,取值范围,.,31/32,1 2 3 4,5,32/32,
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