《几何与代数》-科学出版社-习题解析.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,几何与代数,关秀翠,东南大学数学系,习题解析第四章,1/22,教学内容和课时分配,第四章,n,维向量,教 学 内 容,课时数,4.1,n,维,向量空间,2,4.2 向量组线性相关性,4,4.3 子空间基和维数,2,4.4 向量内积,2,4.5 线性方程组解结构,2,4.7,用,Matlab,解题,1,2/22,能由向量组,I:,1,s,线性表示,r,(,A,),=r,(,A,),Ax,=,有解,.,L,(,1,2,s,)=,R,(,A,),1,2,s,与,1,2,t,等价,L,(,1,2,s,)=,L,(,1,2,t,),r,(,A,),=r,(,A,B,),=r,(,B,),矩阵方程,AX=B,B,Y,=,A,都,有解,.,1,t,能由,1,s,线性表示,A,X=,B,有解,.,等价向量组,(,相同个数,),组成,矩阵必等价,(,相抵,).,一、向量组线性表示与等价,反之不成立,3/22,x,1,1,+,x,2,2,+,x,s,s,=,只在,x,1,=,x,2,=,x,s,=0,时成立,.,(,1,s,),x,=,只有零解,.,(,1,s,),x,=,Ax,=,有,非零,解,向量组,1,s,-1,s,线性相关,向量组,1,s,-1,s,线性无关,r,(,A,),s,r,(,A,),=,s,=,向量个数,某个向量,i,可由其余向量线性表示,.,共线共面推广,唯一表示定理,:,I,l.i.,I,l.d.,可由,I,唯一,线性表示,.,Th,4.3,大向量组由小向量组线性表示,大向量组,l.d,.,Th,4.5.,若,I,可由,II,线性表示,则,秩,(I),秩,(II);,且这两个向量组等价,秩,(I),=,秩,(II),.,反之不成立,二、向量组线性相关与,线性无关,4/22,三、向量组极大无关组,(i)I,0,l.i.,;,(ii),II,0,I,0,l.d,.,I,可由,I,0,线性表示,命题：假如,r,(,1,2,s,),=,r,则,1,2,s,中任意,r,个,线性,无关向量均为,1,2,s,极大无关组,.,极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价,.,向量空间,V,基,为向量组,V,中,极大无关组,.,V,维数,为向量组,秩,.,齐次线性方程组解空间,V,=,xR,n,|Ax,=0,基础解系,为向量组,V,极大无关组,V,维数,为,n,r,(,A,).,向量组,极大无关组,向量空间,.,基,解空间,5/22,四、向量空间,向量空间例子,基,维数,V,R,n,对加法数乘封闭,R,n,本身,e,1,e,2,e,n,n,零空间,无,0,齐次线性方程组解空间,x,R,n,|,Ax,=,A,R,m,n,Ax,=,基础解系,n,r,(A,),生成子空间,L,(,1,s,),=,k,1,1,+k,s,s,|,k,1,k,s,R,1,s,极大无关组,1,s,秩,A,秩,A,列向量组,极大无关组,矩阵,A,列空间,即,L,(,A,1,A,2,A,n,),n,r,(A,),Ax,=,基础解系,A,秩,A,列向量组,极大无关组,A,核空间或零空间,K,(,A,)=,x,R,n,|,Ax,=,A,值域,R,(,A,)=,Ax,|,x,R,n,=,L,(,A,1,A,2,A,n,),6/22,五、向量内积,向量空间,基和维数,一,.,内积和正交性,二,.,标准正交基和,Schmidt,正交化方法,R,3,R,n,线性相关,共线共面,基,直角坐标系,标准正交基,维数,仿射坐标系,三,.,正交矩阵,维数,=,a,i,b,i,=,T,n,i,=1,将,l.i.,向量化为标准正交向量组,Q,(,Q,T,),正交,Q,T,Q,=,E,Q,1,=,Q,T,Q,列,(,行,),向量组标准正交,7/22,基础解系,本质是解向量组极大无关组,维数为,n-r,(,A,),r,(,A,b,)=,r,(,A,)+1,Ax,=,b,无解,b,不能由,A,列向量,组线性表示,直线,(,或平面,),间无公共点,;,(2),r,(,A,b,)=,r,(,A,),=,n,Ax,=,b,有唯一解,b,可由,A,列向,量组唯一地线性表示,直线,(,或平面,),间有唯一公共点,;,(3),r,(,A,b,)=,r,(,A,),n,Ax,=,b,有没有穷多解,且通解中含有,n,r,(,A,),个自由变量,Ax,=,0,基础解系有,n,r,(,A,),个解向量,b,可由,A,列向量组线性表示,但表示方式不唯一,直线,(,或平面,),重合或平面交于一条直线,.,x,=,0,+,k,1,1,+,k,n,r,n,r,.,六,.,线性方程组解结构,齐次线性方程组基础解系,非齐次线性方程组普通解,8/22,作业中问题：,作业中问题,证实一组向量,线性无关,时，,最好,不要假设它们,线性相关,，再令线性组合等于,0,；,而是直接令线性,组合等于,0,，再证实全部组合系数都等于,0.,将向量组写成矩阵时，要事先说明向量是列向量还是行向量，并注意区分向量组等价及矩阵等价,.,第四章,n,维向量,A,成立充要条件是,B,成立,.,即,A,成立 当且仅当,B,成立,.,即,A,成立,B,成立,.,既要证实必要性“,”，又要证实充分性“,”,9/22,8.,设,a,b,为参数,讨论向量组 秩,;,并问,a,b,为何值时,向量组线性无关？,解,:,令,A,中含有一个二阶非零子式,r,(,A,),2,当,a,=0,或,b,=1/3,时,r,(,A,),=2,.,当,a,0,且,b,1/3,时,r,(,A,),=3,向量组线性无关,.,习题解析,第二章,n,维向量,10/22,11.,设,1,2,s,线性均为,n,维向量,1,=,1,2,=,1,+,2,3,=,1,+,2,+,3,s,=,1,+,2,+,+,s,证实：,1,2,s,线性无关,1,2,s,线性无关,.,证,1:,第二章,n,维向量,设,1,2,s,线性无关,.,则,k,1,1,+,k,2,(,1,+,2,),+,k,s,(,1,+,2,+,+,s,),=,.,习题解析,证实充分性,:,设,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=,.,即,(,k,1,+,k,s,),1,+,(,k,2,+,k,s,),2,+,k,s,s,=,.,因为,1,2,s,线性无关,.,所以,1,2,s,线性无关,.,11/22,11.,设,1,2,s,线性均为,n,维向量,1,=,1,2,=,1,+,2,3,=,1,+,2,+,3,s,=,1,+,2,+,+,s,证实：,1,2,s,线性无关,1,2,s,线性无关,.,证,1:,第二章,n,维向量,所以,1,2,s,线性无关,.,习题解析,证实必要性,:,设,1,2,s,线性无关,.,因,1,2,s,可由,1,2,s,线性表示，,r,(,1,2,s,),r,(,1,2,s,),s,s,=,所以,r,(,1,2,s,)=,s,12/22,11.,设,1,2,s,线性均为,n,维向量,1,=,1,2,=,1,+,2,3,=,1,+,2,+,3,s,=,1,+,2,+,+,s,证实：,1,2,s,线性无关,1,2,s,线性无关,.,证,2:,第二章,n,维向量,习题解析,由已知可得,1,=,1,2,=,2,1,3,=,3,2,s,=,s,s,1,1,2,s,与,1,2,s,等价,.,r,(,1,2,s,),=,r,(,1,2,s,),1,2,s,线性无关,1,2,s,线性无关,.,13/22,11.,设,1,2,s,线性均为,n,维向量,1,=,1,2,=,1,+,2,3,=,1,+,2,+,3,s,=,1,+,2,+,+,s,证实：,1,2,s,线性无关,1,2,s,线性无关,.,证,3:,第二章,n,维向量,习题解析,(,1,2,s,),=,(,1,2,s,),1,2,s,线性无关,1,2,s,线性无关,.,因,1,s,可由,1,s,线性表示，,设,A,=(,1,s,),B,=,(,1,s,),C,B,=,A,C,|C|,=1,0,C,可逆,.,A,=,B,C,1,故,1,s,可由,1,s,线性表示,.,r,(,1,2,s,),=,r,(,1,2,s,),设,i,为列向量,.,14/22,12.,已知,1,2,3,线性无关,问参数,a,b,为何值时向量组,1,=,a,1,+,b,2,2,=,a,2,+,b,3,3,=,a,3,+b,1,线性无关,?,解,:,第二章,n,维向量,设,A,=(,1,2,3,),B,=,(,1,2,3,),1,2,3,线性无关，,r,(,B,)=,r,(,1,2,3,),=3,|C|,=,a,3,+,b,3,0,设,1,2,3,为,n,维列向量组,.,则,B,=,(,a,1,+,b,2,a,2,+,b,3,a,3,+,b,1,)=,AC.,r,(,C,)=,3,|C|,0,习题解析,a,+,b,0,3,=,r,(,B,),r,(,C,),3,15/22,13.,已知,能由向量组,I:,1,2,s,线性表示,证实,:,表示方式唯一,1,2,s,线性无关,.,证实,1:(,充分性,),第二章,n,维向量,习题解析,1,2,s,线性无关,能由向量组,1,2,s,线性表示,由唯一表示定理知,能由,I,唯一线性表示,.,(,必要性,),=l,1,1,+,l,2,2,+,l,s,s,.,设,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=0,.,=,(,l,1,+,k,1,),1,+(,l,2,+,k,2,),2,+(,l,s,+,k,s,),s,.,因为,线性表示方式唯一,.,k,1,=,k,2,=,=,k,s,=0,.,1,2,s,线性无关,.,16/22,13.,已知,能由向量组,I:,1,2,s,线性表示,证实,:,表示方式唯一,1,2,s,线性无关,.,证实,2:,第二章,n,维向量,习题解析,且,1,2,s,线性无关,.,能由向量组,I:,1,2,s,线性表示,设,i,为列向量，,A,=(,1,s,).,r,(,A,),=r,(,A,),Ax,=,有解,.,能由向量组,I,唯一,线性表示,Ax,=,有,唯一,解,.,r,(,A,),=,r,(,A,),=,s,r,(,A,),=,r,(,A,),且,Ax,=,只有零解,能由向量组,I:,1,2,s,线性表示,17/22,14.,设向量组,1,s,线性相关,1,0,证实存在某个,j,(2,j,s,),可由前,j,1,个向量,1,j,1,线性表示,.,证实,1:,第二章,n,维向量,设,k,j,(2,j,s,),是,最终一个,不为,0,系数,，,即,k,1,k,2,k,j,1,不全为,0,k,j,0,k,j,+,1,=,=,k,s,=,0,向量组,1,2,s,线性相关,设,k,1,1,+,k,2,2,+,k,j,j,+,k,s,s,=0,.,习题解析,则存在一组不全为,0,数,k,1,k,2,k,s,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,k,j,j,=0,k,j,0,.,存在某个,j,可由前,j,1,个向量,1,j,1,线性表示,.,18/22,证实,2:(,反证法,),第二章,n,维向量,则,k,s,=0,，,k,1,1,=,0,假设错误，命题成立,.,设任意,j,(2,j,s,),都不能由,前,j,1,个向量,1,2,j,1,线性表示,.,设,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,1,s,1,+,k,s,s,=0,.,同理,k,s,1,=,k,2,=0.,因为,1,0,，,k,1,=0,1,2,s,线性,无,关,与已知矛盾,.,习题解析,则,s,都不能由,前,s,1,个向量,1,2,s,1,线性表示,.,14.,设向量组,1,s,线性相关,1,0,证实存在某个,j,(2,j,s,),可由前,j,1,个向量,1,j,1,线性表示,.,19/22,第三章 矩阵相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解结构,证,明,1,：,17.,设向量组,1,s,线性无关,j,=1,2,s,记,A,=(,a,ij,),s,s,.,证实,:,1,2,s,线性无关,A,可逆,.,j,=1,2,s,设,B,=,(,1,s,),C,=(,1,s,),B,=,C,A,必要性：设,1,s,线性无关,r,(,A,),s,则,s,=,r,(,B,),r,(,A,),=,s,A,可逆,充分性：设,A,可逆,C,=,B,A,1,故,1,s,可由,1,s,线性表示,.,两向量组等价,.,r,(,1,s,),=,s,则,1,s,线性无关,.,设,i,为列向量,.,20/22,第三章 矩阵相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解结构,证,明,2,：,17.,设向量组,1,s,线性无关,j,=1,2,s,记,A,=(,a,ij,),s,s,.,证实,:,1,2,s,线性无关,A,可逆,.,设,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=,.,1,s,线性无关,A,=(,a,ij,)R,s,s,可逆,只有零解,k,1,=,k,s,=0,.,1,2,s,线性无关,21/22,证实：,A,正交,28.,设,A,是,n,阶正交阵，证实：,(1),|,A,|=,1.,(2),若,|,A,|=,1,，则,|,E+A,|,=,0,.,|,AA,T,|=|,E,|,|,A,|,2,=,|,A,|,A,T,|=,=1.,|,A,|=,1.,(2),22/22,