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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 随机变量数字特征,我们知道随机变量分布函数能够完整地描述随机变量,统计特征，但有时不需要去全方面考查随机变量改变,情况，而只需知道随机变量一些特征。与随机变量有,关一些数值，即使不能完整地描述随机变量，但能描,述随机变量在一些方面主要特征。,比如:一个袋中放有5个黑球,3个红球,每次试验有放回地,摸球10次,求平均每次试验摸到黑球个数是多少?,第1页,1 数学期望,一、数学期望定义,定义1：设离散型随机变量 分布律为,若级数 收敛，则称级数 为,随机变量,数学期望,，记为 。,第2页,注：对某一随机变量来说，其数学期望不一定存在，,比如习题4。,数学期望简称为,期望,，又称为,均值,。,定义2：设连续型随机变量 概率密度为 ，,若积分 绝对收敛，则称该积分,为随机变量,数学期望,，记为 。,第3页,例1：某运动员进行定点投篮，投中为止，但若10次,都不中也停顿；设其命中率为 ，求其平均,投篮次数。,例2：有2个相互独立工作电子装置，它们寿命,服从同一指数分布，其概率密度为,（其中 ）,若将这2个电子装置串联连接组成整机，求整机,寿命 数学期望。,第4页,二、数学期望性质,(1),(2),(3),其中性质（3）（4）可推广到有限个随机变量情形。,(4),若随机变量 和,相互独立,，则有,第5页,例,3,：一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客,有10个车站能够下车，如抵达一个车站没有旅客,下车就不停车，以 表示停车次数，求 。,（设每位旅客在各个车站下车是等可能，并设各,旅客是否下车相互独立）,第6页,三、六种常见分布数学期望,1、（0-1）分布,2、二项分布,3、泊松分布,第7页,4、均匀分布,5、指数分布,若 ，则,6、正态分布,第8页,四、随机变量函数数学期望,1、一个随机变量函数数学期望,注：这个定理告诉我们，求 时，不需要算出,分布律或概率密度函数，只需利用 分布律或概,率密度函数。,定理1,：,(1)当 为离散型随机变量时，则 数学,期望为 ；,(2)当 为连续型随机变量时，则 数学,期望为 。,第9页,例,4,：设随机变量,服从参数为1指数分布，,求 。,例5：游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个,整点第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游,客在早八点第 分钟抵达底层候梯处，且 在,上均匀分布，求该游客等候时间数学期望。,第10页,例,6,：某企业计划开发一个新产品市场，并试图确定,该产品产量。他们预计出售一件产品可赢利,元，而积压一件产品造成 元损失。他们,预测销售量 （件）服从参数为 指数分布，,问若要取得利润数学期望最大，应生产多少件,产品（这里假设 是已知）？,第11页,2、二个随机变量函数数学期望,定理2：(1)当 为离散型随机变量时，则,数学期望为 ；,(2)当 为连续型随机变量时，则,数学期望为 。,第12页,例,7,：设随机变量 概率分布为,求数学期望 。,第13页,例,8,：设随机变量 概率密度为,求数学期望 。,第14页,例,9,：一商店经销某种商品，每七天进货数量,X,与用户,对该商品需求量,Y,是相互独立随机变量，且,都服从区间10，20上均匀分布；商店每售出,一单位商品可得利润1000元，若需求量超出了进,货量，商店可从其它商店调剂供给，这时每单位商,品取得利润是500元；试计算此商店经销该种商品,每七天所得利润期望值。,与 联合概率为,求 数学期望。,第15页,2 方 差,一、方差定义,定义：设 是一个随机变量，若,存在，则称 为,方差,，,记作 （或 ），同时称,为,标准差,(或,均方差,),，记作 。,注：随机变量方差反应了它取值与其数学期望偏,离程度，它是衡量取值分散程度一个尺度。,第16页,对于离散型随机变量,对于连续型随机变量,第17页,二、方差性质,（1）,（2）,（3）,若,独立,，则,（4）,充要条件是 以概率1取常数 ，,即,注：,1、,不一定成立,。,2、,3、,若 独立，则,第18页,三、,六种,常见分布方差,1、（0-1）分布,2、二项分布,3、泊松分布,第19页,4、均匀分布,5、指数分布,第20页,6、正态分布,第21页,例,1,：设随机变量 概率密度为,求：和 。,例,2:,设随机变量 相互独立,且,服从参数为 指数分布,求 、,和 。,第22页,例,4,：设两个随机变量 相互独立，且都服从均值为0，,方差为 正态分布，求随机变量 方差。,思索题:,1,、设随机变量 服从参数为 泊松分布，,且已知 ，求参数 。,2,：若随机变量 有,求 和 。,第23页,3 协方差与相关系数,一、协方差与相关系数定义,定义1：我们称 为随机变量,与,协方差,，记作 ，同时,称 为随机变量,与,相关系数,。,第24页,协方差、数学期望与方差有以下关系：,第25页,二、协方差性质,(1),(2),(3),(4),(5),第26页,三、相关系数性质及其含义,（1）,（2）,充要条件是存在常数 使,而且当 时,当 时,。,相关系数 是反应 之间线性关系紧密程度量，,当 较大时，说明 之间线性关系程度很好，,反之，说明它们之间线性关系程度较差,。,第27页,若 ，则称 和,不相关,，若 和 相互独立，,则 和 不相关，反过来，若 与 不相关，和,却不一定相互独立。,比如 设 分布律为,第28页,对于二维正态分布来说，,而 ，相互独立,充要条件是 ，所以对于二维正态分布不相关,与独立是等价。,注：成立充要条件是 不,相关，并不要求 相互独立,。,例1：若 ，且 ，,求 、和 。,第29页,例2：设二维随机变量 分布律以下，求 。,第30页,例,3,：设 和 是试验 两个事件，且 ，,，并定义随机变量 以下：,证实：若 ，则 和 必定相互独立。,第31页,例,4,：设随机变量 ，求,和 。,例,5,：设二维随机变量 在圆域 上服从,均匀分布，（1）求二维随机变量 联合概率,密度；（2）求 和 相关系数 ；（3）问,是否独立？说明理由。,第32页,例6：设随机变量 概率密度为 ，,令 ，为二维随机变量 分布函数；,求 （1）概率密度 ；,（2）；,（3）。,第33页,定义,1,：设 和 是随机变量，若 存在，,则称它为,阶原点矩,，简称,阶矩,；,若 存在，则称它为,阶中心矩,；,若 存在，,则称它为 和,阶混合中心矩,。,若 存在，则称它为 和,混合矩,；,四、矩和中心矩定义,第34页,4 大数定律与中心极限定理,一、切比雪夫（,Chebyshev）,不等式,定理1,（切比雪夫（,Chebyshev）,不等式）：设随机变量,含有数学期望 和方差 ，则对于,任意正数 ，都有不等式,（或 ）成立。,第35页,定义1,：设 是一个随机变量序列，是一个,常数。假如对于任意正数 ，有,则称序列,依概率收敛于,；记为 。,定理2,：设随机变量 相互独立，且含有相,同数学期望和方差：，,则序列 依概率收敛于 ,即,二、大数定理,这个定理被称为弱大数定理。,第36页,或,定理3（伯努利（,Bernoulli）,大数定理）设 是 次独立,重复试验中事件 发生次数，是事件 在每次,试验中发生概率，则对于任意正数 ，有,这个定理告诉我们：在大量重复试验中频率 靠近于,概率 真正含义，也就是所谓频率稳定性。,第37页,注：,辛钦定理与定理2区分在于辛钦定理要求随机变量,序列是同分布，而定理2不要求是同分布，但要,求它们方差存在；另外，伯努利（,Bernoulli,）,大数,定理是辛钦定理一个特例。,定理4（辛钦定理）设 为独立同分布随机变,量序列，且含有数学期望 ，则,对于任意正数 ，有 。,第38页,例,1,：现有一大批商品，其中一等品占 ，现从中任取,6000件，试用切比雪夫不等式预计6000件中一等,品所占百分比与 之差绝对值不超出0.01概率,大于多少？,思索题,：已知随机变量 满足,则由切比雪夫不等,式,_,。,第39页,例,2,：设随机变量 相互独立，且,(1),对于 ,利用,Chebyshev,不等式,计算,下界；,(2)证实：,第40页,三、中心极限定理,则随机变量之和 标准化变量,分布函数 对于任意 ，都有,设 是独立同分布随机变量序,列，含有有限期望和方差，即 ，,；,第41页,注：算术平均为 ，该定理告,诉我们当 充分大时，近似地服从标准正态,分布，即 ，或者说 近似服从于均,值为 ，方差为 正态分布，即,其中 能够是服从任意分布。,这也就说明了为何现实世界中，很多随机事件可近,似看作为服从正态分布。,第42页,定理2（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量,服从参数为 二项分布，则对于任,意 ，有,第43页,例,1,：随机变量 相互独立，且均服从参数,（,0-1,）分布，由,Chebyshev,不等式,_,；依据中心极限,定理,_,。,第44页,例,2,：对于一个学生而言，来参加家长会家长人数,是一个随机变量，设一个学生无家长、1个家长、,2个家长来参加会议概率分别为0.05、0.8、0.15。,若学校共有400名学生，设各学生参加会议家长,数相互独立，且服从同一分布；（1）求参加会议,家长数超出450概率；（2）求有1名家长来参加,会议学生数不多于340概率。,第45页,例,3,：某种短波无线电接收机中有一个关键性组件，它,寿命,(,以,h,计,),服从均值为50,0,指数分布；现有一个组,件在工作，另有,19,个备用，当一个组件损坏时备用件,马上换上,;,（,1,）求,20,个组件最少能使用,1,年（,8760 h,）,概率,;,（,2,）问最少需多少个组件才能确保接收机最少,能工作,1,年概率大于,0.9,。,第46页,例,4,：一工厂生产某种产品其次品率为,0.005,，产品按每,100,只包装成一箱，一箱中如含有次品数超出,3,只,就不能经过验收,;,今有,10000,箱产品，求多于,25,箱不能,经过验收概率（设各只产品是否为次品相互独立，,各箱是否能经过验收是相互独立）。,第47页,
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