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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章 导数,3,.,2,导数应用,高考数学,(浙江专用),1/148,考点一导数与单调性,1.(山东文,10,5分)若函数e,x,f,(,x,)(e=2.718 28,是自然对数底数)在,f,(,x,)定义域上单调递增,则称函数,f,(,x,)含有M性质.以下函数中含有M性质是,(),A.,f,(,x,)=2,-,x,B.,f,(,x,)=,x,2,C.,f,(,x,)=3,-,x,D.,f,(,x,)=cos,x,五年高考,答案,A本题考查利用导数研究函数单调性.,当,f,(,x,)=2,-,x,时,e,x,f,(,x,)=e,x,2,-,x,=,令,y,=,则,y,=,=,=,(1-ln 2).,e,x,0,2,x,0,ln 20.,当,f,(,x,)=2,-,x,时,e,x,f,(,x,)在,f,(,x,)定义域上单调递增,故含有M性质,易知B、C、D不含有M性质,故选,A.,2/148,1.求,f,(,x,)导数,f,(,x,).,方法小结,利用导数研究函数,f,(,x,)单调性普通步骤:,2.令,f,(,x,)0(或,f,(,x,)0时,xf,(,x,)-,f,(,x,)0成立,x,取值范围是,(),A.(-,-1),(0,1)B.(-1,0),(1,+,),C.(-,-1),(-1,0)D.(0,1),(1,+,),3/148,答案,A令,g,(,x,)=,则,g,(,x,)=,由题意知,当,x,0时,g,(,x,)0,从而,f,(,x,)0;,当,x,(1,+,)时,g,(,x,)0,从而,f,(,x,)0.,又,g,(-,x,)=,=,=,=,g,(,x,),g,(,x,)是偶函数,当,x,(-,-1)时,g,(,x,)0;,当,x,(-1,0)时,g,(,x,)0,从而,f,(,x,)0(0(0,则,a,取值范围是,(),A.(2,+,)B.(1,+,)C.(-,-2)D.(-,-1),答案,C(1)当,a,=0时,显然,f,(,x,)有两个零点,不符合题意.,(2)当,a,0时,f,(,x,)=3,ax,2,-6,x,令,f,(,x,)=0,解得,x,1,=0,x,2,=,.,当,a,0时,0,所以函数,f,(,x,)=,ax,3,-3,x,2,+1在(-,0)与,上为增函数,在,上为减函数,因为,f,(,x,)存在唯一零点,x,0,且,x,0,0,则,f,(0)0,即10,不成立.,当,a,0时,0,则,f,0,即,a,-3,+10,解得,a,2或,a,-2,又因为,a,0,则由,f,(,x,)=0得,x,=ln,a,.,当,x,(-,ln,a,)时,f,(,x,)0.,故,f,(,x,)在(-,ln,a,)单调递减,在(ln,a,+,)单调递增.,若,a,0,则由,f,(,x,)=0得,x,=ln,.,当,x,时,f,(,x,)0.,故,f,(,x,)在,单调递减,在,单调递增.,(2)若,a,=0,则,f,(,x,)=e,2,x,所以,f,(,x,),0.,若,a,0,则由(1)得,当,x,=ln,a,时,f,(,x,)取得最小值,最小值为,f,(ln,a,)=-,a,2,ln,a,从而当且仅当-,a,2,ln,a,0,8/148,即,a,1时,f,(,x,),0.,若,a,0,则由(1)得,当,x,=ln,时,f,(,x,)取得最小值,最小值为,f,=,a,2,.,从而当且仅当,a,2,0,即,a,-2,时,f,(,x,),0.,综上,a,取值范围是-2,1.,6.(课标全国文,21,12分)设函数,f,(,x,)=(1-,x,2,)e,x,.,(1)讨论,f,(,x,)单调性;,(2)当,x,0时,f,(,x,),ax,+1,求,a,取值范围.,9/148,解析,本题考查函数单调性,恒成立问题.,(1),f,(,x,)=(1-2,x,-,x,2,)e,x,.,令,f,(,x,)=0,得,x,=-1-,或,x,=-1+,.,当,x,(-,-1-,)时,f,(,x,)0;,当,x,(-1+,+,)时,f,(,x,)0.,所以,f,(,x,)在(-,-1-,),(-1+,+,)单调递减,在(-1-,-1+,)单调递增.,(2),f,(,x,)=(1+,x,)(1-,x,)e,x,.,当,a,1时,设函数,h,(,x,)=(1-,x,)e,x,h,(,x,)=-,x,e,x,0),所以,h,(,x,)在0,+,)单调递减,而,h,(0)=1,故,h,(,x,),1,所以,f,(,x,)=(,x,+1),h,(,x,),x,+1,ax,+1.,当0,a,0(,x,0),所以,g,(,x,)在0,+,)单调递增,而,g,(0)=0,故e,x,x,+1.,当0,x,(1-,x,)(1+,x,),2,(1-,x,)(1+,x,),2,-,ax,-1,=,x,(1-,a,-,x,-,x,2,),取,x,0,=,10/148,则,x,0,(0,1),(1-,x,0,)(1+,x,0,),2,-,ax,0,-1=0,故,f,(,x,0,),ax,0,+1.,当,a,0时,取,x,0,=,则,x,0,(0,1),f,(,x,0,)(1-,x,0,)(1+,x,0,),2,=1,ax,0,+1.,综上,a,取值范围是1,+,).,解题思绪,(1)求,f,(,x,),令,f,(,x,)0,求出,f,(,x,)单调增区间,令,f,(,x,)0,求出,f,(,x,)单调减区间.,(2)对参数,a,取值进行分类讨论,当,a,1时,结构函数可知(1-,x,)e,x,1,所以,f,(,x,)=(,x,+1)(1-,x,)e,x,x,+1,ax,+1成立;当0,a,ax,0,+1,从而说明命,题不成立;当,a,0时,举反例,x,0,=,说明不等式不成立.,疑难突破,(1)求单调区间普通步骤:求定义域;求,f,(,x,),令,f,(,x,)0,求出,f,(,x,)增区间,令,f,(,x,),0,求出,f,(,x,)减区间;写出结论,注意单调区间不能用“,”连接.,(2)恒成立问题三种常看法法:分离参数,化为最值问题求解,如,a,(,x,),max,或,a,(,x,),min,;结构,函数,分类讨论,如,f,(,x,),g,(,x,),即,F,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,),求,F,(,x,),min,0;转变主元,选取适当主元可使问题,简化.,11/148,7.(课标全国理,21,12分)已知函数,f,(,x,)=,x,-1-,a,ln,x,.,(1)若,f,(,x,),0,求,a,值;,(2)设,m,为整数,且对于任意正整数,n,m,求,m,最小值.,12/148,解析,本题考查导数综合应用.,(1),f,(,x,)定义域为(0,+,).,若,a,0,因为,f,=-,+,a,ln 20,由,f,(,x,)=1-,=,知,当,x,(0,a,)时,f,(,x,)0.所以,f,(,x,)在(0,a,)单调,递减,在(,a,+,)单调递增.故,x,=,a,是,f,(,x,)在(0,+,)唯一最小值点.,因为,f,(1)=0,所以当且仅当,a,=1时,f,(,x,),0.故,a,=1.,(2)由(1)知当,x,(1,+,)时,x,-1-ln,x,0.,令,x,=1+,得ln,.,从而ln,+ln,+,+ln,+,+,+,=1-,1.,故,2,所以,m,最小值为3.,13/148,思绪分析,(1)对,a,分类讨论,并利用导数研究,f,(,x,)单调性,找出最小值点,从而求出,a,.(2)由(1)得,当,x,1时,x,-1-ln,x,0.令,x,=1+,换元后可求出,范围.,一题多解,(1),f,(,x,)=1-,=,(,x,0).当,a,0时,f,(,x,)0,而,f,(1)=0,不合题意,a,0,f,(,x,)在(0,a,)上,单调递减,在(,a,+,)上单调递增.又,f,(,x,),0,f,(,a,),0,即,a,-1-,a,ln,a,0,记,h,(,x,)=,x,-1-,x,ln,x,则,h,(,x,)=1-,ln,x,-1=-ln,x,.,h,(,x,)在(0,1)上单调递增,在(1,+,)上单调递减,h,(,x,),h,(1)=0,即当且仅当,x,=1时,h,(,x,),0,当且仅当,a,=1时,式成立.,a,=1.,14/148,8.(江苏,20,16分)已知函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+,bx,+1(,a,0,b,R)有极值,且导函数,f,(,x,)极值点是,f,(,x,),零点.(极值点是指函数取极值时对应自变量值),(1)求,b,关于,a,函数关系式,并写出定义域;,(2)证实:,b,2,3,a,;,(3)若,f,(,x,),f,(,x,)这两个函数全部极值之和大于-,求,a,取值范围.,15/148,解析,本小题主要考查利用导数研究初等函数单调性、极值及零点问题,考查综合利用数学,思想方法分析与处理问题以及逻辑推理能力.,(1)由,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+,bx,+1,得,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+,b,=3,+,b,-,.,当,x,=-,时,f,(,x,)有极小值,b,-,.,因为,f,(,x,)极值点是,f,(,x,)零点,所以,f,=-,+,-,+1=0,又,a,0,故,b,=,+,.,因为,f,(,x,)有极值,故,f,(,x,)=0有实根,从而,b,-,=,(27-,a,3,),0,即,a,3.,当,a,=3时,f,(,x,)0(,x,-1),故,f,(,x,)在R上是增函数,f,(,x,)没有极值;,当,a,3时,f,(,x,)=0有两个相异实根,x,1,=,x,2,=,.,列表以下:,16/148,故,f,(,x,)极值点是,x,1,x,2,.,从而,a,3.,所以,b,=,+,定义域为(3,+,).,(2)证实:由(1)知,=,+,.,设,g,(,t,)=,+,则,g,(,t,)=,-,=,.,当,t,时,g,(,t,)0,从而,g,(,t,)在,上单调递增.,因为,a,3,所以,a,3,故,g,(,a,),g,(3,)=,即,.,所以,b,2,3,a,.,(3)由(1)知,f,(,x,)极值点是,x,1,x,2,且,x,1,+,x,2,=-,a,+,=,.,从而,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,)=,+,a,+,bx,1,+1+,+,a,+,bx,2,+1,17/148,=,(3,+2,ax,1,+,b,)+,(3,+2,ax,2,+,b,)+,a,(,+,)+,b,(,x,1,+,x,2,)+2=,-,+2=0.,记,f,(,x,),f,(,x,)全部极值之和为,h,(,a,),因为,f,(,x,)极值为,b,-,=-,a,2,+,所以,h,(,a,)=-,a,2,+,a,3.,因为,h,(,a,)=-,a,-,0,于是,h,(,a,)在(3,+,)上单调递减.,因为,h,(6)=-,于是,h,(,a,),h,(6),故,a,6.,所以,a,取值范围为(3,6.,易错警示,(1)函数,f,(,x,)极值点,x,0,满足,f,(,x,0,)=0,函数,f,(,x,)零点,x,0,满足,f,(,x,0,)=0,而,f,(,x,)极值点,x,0,应,满足,f,(,x,0,)=0.(2)求函数关系式必须确定函数定义域.,18/148,9.(浙江自选,“复数与导数”模块,03(2),5分)设函数,f,(,x,)=(,x,2,+2,x,-2)e,x,(,x,R),求,f,(,x,)单调递,减区间.,解析,对,f,(,x,)求导,得,f,(,x,)=(,x,2,+4,x,)e,x,.,由,f,(,x,)0,解得-4,x,f,(,x,)+,对于任意,x,1,2成立.,19/148,解析,(1),f,(,x,)定义域为(0,+,),f,(,x,)=,a,-,-,+,=,.,当,a,0时,x,(0,1)时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递增,x,(1,+,)时,f,(,x,)0时,f,(,x,)=,.,0,a,1,当,x,(0,1)或,x,时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递增,当,x,时,f,(,x,)2时,0,0,f,(,x,)单调递增,当,x,时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递减.,总而言之,20/148,当,a,0时,f,(,x,)在(0,1)内单调递增,在(1,+,)内单调递减;,当0,a,2时,f,(,x,)在,内单调递增,在,内单调递减,在(1,+,)内单调递增.,(2)由(1)知,a,=1时,f,(,x,)-,f,(,x,)=,x,-ln,x,+,-,=,x,-ln,x,+,+,-,-1,x,1,2.,设,g,(,x,)=,x,-ln,x,h,(,x,)=,+,-,-1,x,1,2.,则,f,(,x,)-,f,(,x,)=,g,(,x,)+,h,(,x,).,由,g,(,x,)=,0,可得,g,(,x,),g,(1)=1.,当且仅当,x,=1时取得等号.又,h,(,x,)=,.,设,(,x,)=-3,x,2,-2,x,+6,则,(,x,)在,x,1,2内单调递减.,21/148,因为,(1)=1,(2)=-10,所以,x,0,(1,2),使得,x,(1,x,0,)时,(,x,)0,x,(,x,0,2)时,(,x,),g,(1)+,h,(2)=,即,f,(,x,),f,(,x,)+,对于任意,x,1,2成立.,易错警示,讨论,f,(,x,)符号时,未能正确分解因式,或对参数,a,未讨论或对,a,分类讨论不全方面(尤,其易忽略,a,=0情形).,评析,本题考查了利用导数研究函数单调性,导数在求最大值、最小值问题中应用.正确构,造函数是求解关键.,22/148,11.(江苏,19,16分)已知函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+,b,(,a,b,R).,(1)试讨论,f,(,x,)单调性;,(2)若,b,=,c,-,a,(实数,c,是与,a,无关常数),当函数,f,(,x,)有三个不一样零点时,a,取值范围恰好是(-,-,3),求,c,值.,23/148,解析,(1),f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,令,f,(,x,)=0,解得,x,1,=0,x,2,=-,.,当,a,=0时,因为,f,(,x,)=3,x,2,0(,x,0),所以函数,f,(,x,)在(-,+,)上单调递增;,当,a,0时,若,x,(0,+,),则,f,(,x,)0,若,x,则,f,(,x,)0,所以函数,f,(,x,)在,(0,+,)上单调递增,在,上单调递减;,当,a,0,若,x,则,f,(,x,)0,所以函数,f,(,x,)在(-,0),上单调递增,在,上单调递减.,(2)由(1)知,函数,f,(,x,)两个极值为,f,(0)=,b,f,=,a,3,+,b,则函数,f,(,x,)有三个零点等价于,f,(0),f,=,b,0时,a,3,-,a,+,c,0或当,a,0时,a,3,-,a,+,c,0.,设,g,(,a,)=,a,3,-,a,+,c,因为函数,f,(,x,)有三个零点时,a,取值范围恰好是(-,-3),24/148,则在(-,-3)上,g,(,a,)0均恒成立,从而,g,(-3)=,c,-1,0,且,g,=,c,-1,0,所以,c,=1.,此时,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+1-,a,=(,x,+1),x,2,+(,a,-1),x,+1-,a,因函数,f,(,x,)有三个零点,则,x,2,+(,a,-1),x,+1-,a,=0有两个异于-1不等实根,所以,=(,a,-1),2,-4(1-,a,)=,a,2,+2,a,-,30,且(-1),2,-(,a,-1)+1-,a,0,解得,a,(-,-3),.综上,c,=1.,评析,本题在考查函数零点与方程根同时,重点考查利用导数研究函数单调性及函数,极值问题.,12.(课标,21,12分)设函数,f,(,x,)=e,mx,+,x,2,-,mx,.,(1)证实:,f,(,x,)在(-,0)单调递减,在(0,+,)单调递增;,(2)若对于任意,x,1,x,2,-1,1,都有|,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)|,e-1,求,m,取值范围.,25/148,解析,(1)证实:,f,(,x,)=,m,(e,mx,-1)+2,x,.,若,m,0,则当,x,(-,0)时,e,mx,-1,0,f,(,x,)0.,若,m,0,f,(,x,)0;,当,x,(0,+,)时,e,mx,-10.,所以,f,(,x,)在(-,0)单调递减,在(0,+,)单调递增.,(2)由(1)知,对任意,m,f,(,x,)在-1,0单调递减,在0,1单调递增,故,f,(,x,)在,x,=0处取得最小值.所以对,于任意,x,1,x,2,-1,1,|,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)|,e-1充要条件是,即,设函数,g,(,t,)=e,t,-,t,-e+1,则,g,(,t,)=e,t,-1.,当,t,0时,g,(,t,)0时,g,(,t,)0.故,g,(,t,)在(-,0)单调递减,在(0,+,)单调递增.,又,g,(1)=0,g,(-1)=e,-1,+2-e1时,由,g,(,t,)单调性,g,(,m,)0,即e,m,-,m,e-1;,当,m,0,即e,-,m,+,m,e-1.,综上,m,取值范围是-1,1.,26/148,13.(课标,21,12分)已知函数,f,(,x,)=e,x,-e,-,x,-2,x,.,(1)讨论,f,(,x,)单调性;,(2)设,g,(,x,)=,f,(2,x,)-4,bf,(,x,),当,x,0时,g,(,x,)0,求,b,最大值;,(3)已知1.414 2,0,g,(,x,)0.,(ii)当,b,2时,若,x,满足2e,x,+e,-,x,2,b,-2,即0,x,ln(,b,-1+,)时,g,(,x,)0.而,g,(0)=0,所以当0,x,ln(,b,-1,+,)时,g,(,x,)0,ln 2,0.692 8;,28/148,当,b,=,+1时,ln(,b,-1+,)=ln,g,(ln,)=-,-2,+(3,+2)ln 20,ln 2,-e,1-,x,在区间(1,+,)内恒成立(e=2.718,为自然对数底数).,以下为教师用书专用,30/148,解析,(1),f,(,x,)=2,ax,-,=,(,x,0).,当,a,0时,f,(,x,)0时,由,f,(,x,)=0,有,x,=,.,此时,当,x,时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递增.,(2)令,g,(,x,)=,-,s,(,x,)=e,x,-1,-,x,.,则,s,(,x,)=e,x,-1,-1.,而当,x,1时,s,(,x,)0,所以,s,(,x,)在区间(1,+,)内单调递增.,又由,s,(1)=0,有,s,(,x,)0,从而当,x,1时,g,(,x,)0.,当,a,0,x,1时,f,(,x,)=,a,(,x,2,-1)-ln,x,g,(,x,)在区间(1,+,)内恒成立时,必有,a,0.,31/148,当0,a,1.,由(1)有,f,0,所以此时,f,(,x,),g,(,x,)在区间(1,+,)内不恒成立.,当,a,时,令,h,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,)(,x,1).,当,x,1时,h,(,x,)=2,ax,-,+,-e,1-,x,x,-,+,-,=,0.,所以,h,(,x,)在区间(1,+,)内单调递增.,又因为,h,(1)=0,所以当,x,1时,h,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,)0,即,f,(,x,),g,(,x,)恒成立.,综上,a,.,32/148,思绪分析,对(1),先求导,然后分,a,0和,a,0两种情况判断,f,(,x,)符号,从而确定,f,(,x,)单调性;对,(2),令,g,(,x,)=,-,s,(,x,)=e,x,-1,-,x,则,s,(,x,)与,g,(,x,)在(1,+,)上正负一致,易证,x,1时,s,(,x,)0,从而,g,(,x,)0,再对,a,进行分类:,a,0;0,a,g,(,x,)是否恒成立,最终再总结.,评析,本题主要考查导数应用,利用导数判断函数单调性,并由此确定函数最值,也考查,了分类讨论思想和转化与化归思想,将疑难问题进行转化,化繁为简.,15.(湖北,22,14分)已知数列,a,n,各项均为正数,b,n,=,a,n,(,n,N,+,),e为自然对数底数.,(1)求函数,f,(,x,)=1+,x,-e,x,单调区间,并比较,与e大小;,(2)计算,由此推测计算,公式,并给出证实;,(3)令,c,n,=(,a,1,a,2,a,n,数列,a,n,c,n,前,n,项和分别记为,S,n,T,n,证实:,T,n,0,即,x,0时,f,(,x,)单调递增;,当,f,(,x,)0时,f,(,x,)单调递减.,故,f,(,x,)单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+,).,当,x,0时,f,(,x,),f,(0)=0,即1+,x,e,x,.,令,x,=,得1+,即,e.,(2),=1,=1+1=2;,=,=2,2,=(2+1),2,=3,2,;,=,=3,2,3,=(3+1),3,=4,3,.,由此推测:,=(,n,+1),n,.,下面用数学归纳法证实.,34/148,(i)当,n,=1时,左边=右边=2,成立.,(ii)假设当,n,=,k,时,成立,即,=(,k,+1),k,.,当,n,=,k,+1时,b,k,+1,=(,k,+1),a,k,+1,由归纳假设可得,=,=(,k,+1),k,(,k,+1),=(,k,+2),k,+1,.,所以当,n,=,k,+1时,也成立.,依据(i)(ii),可知对一切正整数,n,都成立.,(3)由,c,n,定义,算术-几何平均不等式,b,n,定义及得,T,n,=,c,1,+,c,2,+,c,3,+,+,c,n,=(,a,1,+(,a,1,a,2,+(,a,1,a,2,a,3,+,+(,a,1,a,2,a,n,=,+,+,+,+,+,+,+,+,=,b,1,+,b,2,35/148,+,+,b,n,=,b,1,+,b,2,+,+,b,n,+,+,+,=,a,1,+,a,2,+,+,a,n,e,a,1,+e,a,2,+,+e,a,n,=e,S,n,.,即,T,n,0.,(1)设,g,(,x,)是,f,(,x,)导函数,讨论,g,(,x,)单调性;,(2)证实:存在,a,(0,1),使得,f,(,x,),0在区间(1,+,)内恒成立,且,f,(,x,)=0在区间(1,+,)内有唯一解.,36/148,解析,(1)由已知得,函数,f,(,x,)定义域为(0,+,),g,(,x,)=,f,(,x,)=2(,x,-,a,)-2ln,x,-2,所以,g,(,x,)=2-,+,=,.,当0,a,0,(e)=-,-2,0.,37/148,故存在,x,0,(1,e),使得,(,x,0,)=0.,令,a,0,=,u,(,x,)=,x,-1-ln,x,(,x,1).,由,u,(,x,)=1-,0知,函数,u,(,x,)在区间(1,+,)上单调递增.,所以0=,=,a,0,=,1,即,a,0,(0,1).,当,a,=,a,0,时,有,f,(,x,0,)=0,f,(,x,0,)=,(,x,0,)=0.,由(1)知,f,(,x,)在区间(1,+,)上单调递增,故当,x,(1,x,0,)时,f,(,x,),f,(,x,0,)=0;,当,x,(,x,0,+,)时,f,(,x,)0,从而,f,(,x,),f,(,x,0,)=0.,所以,当,x,(1,+,)时,f,(,x,),0.,总而言之,存在,a,(0,1),使得,f,(,x,),0在区间(1,+,)内恒成立,且,f,(,x,)=0在区间(1,+,)内有唯一解.,评析,本题主要考查导数运算、导数在研究函数中应用、函数零点等基础知识,考查推,理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转,化等数学思想.,38/148,17.(天津,20,14分)已知函数,f,(,x,)=,nx,-,x,n,x,R,其中,n,N,*,且,n,2.,(1)讨论,f,(,x,)单调性;,(2)设曲线,y,=,f,(,x,)与,x,轴正半轴交点为,P,曲线在点,P,处切线方程为,y,=,g,(,x,),求证:对于任意正,实数,x,都有,f,(,x,),g,(,x,);,(3)若关于,x,方程,f,(,x,)=,a,(,a,为实数)有两个正实数根,x,1,x,2,求证:|,x,2,-,x,1,|0,即,x,1时,函数,f,(,x,)单调递增;,当,f,(,x,)1时,函数,f,(,x,)单调递减.,所以,f,(,x,)在(-,1)上单调递增,在(1,+,)上单调递减.,(2)证实:设点,P,坐标为(,x,0,0),则,x,0,=,f,(,x,0,)=,n,-,n,2,.曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,处切线方程为,y,=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,),即,g,(,x,)=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,).令,F,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,),即,F,(,x,)=,f,(,x,)-,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,),则,F,(,x,)=,f,(,x,)-,f,(,x,0,).,因为,f,(,x,)=-,nx,n,-1,+,n,在(0,+,)上单调递减,故,F,(,x,)在(0,+,)上单调递减.又因为,F,(,x,0,)=0,所以当,x,(0,x,0,)时,F,(,x,)0,当,x,(,x,0,+,)时,F,(,x,)0,所以,F,(,x,)在(0,x,0,)内单调递增,在(,x,0,+,)上单调递减,所以,对于任意正实数,x,都有,F,(,x,),F,(,x,0,)=0,即对于任意正实数,x,都有,f,(,x,),g,(,x,).,(3)证实:不妨设,x,1,x,2,.,由(2)知,g,(,x,)=(,n,-,n,2,)(,x,-,x,0,).设方程,g,(,x,)=,a,根为,x,2,可得,x,2,=,+,x,0,.当,n,2时,g,(,x,)在(-,+,)上单,调递减.又由(2)知,g,(,x,2,),f,(,x,2,)=,a,=,g,(,x,2,),可得,x,2,x,2,.,类似地,设曲线,y,=,f,(,x,)在原点处切线方程为,y,=,h,(,x,),可得,h,(,x,)=,nx,.当,x,(0,+,)时,f,(,x,)-,h,(,x,)=-,x,n,0,40/148,即对于任意,x,(0,+,),f,(,x,),h,(,x,).,设方程,h,(,x,)=,a,根为,x,1,可得,x,1,=,.因为,h,(,x,)=,nx,在(-,+,)上单调递增,且,h,(,x,1,)=,a,=,f,(,x,1,),h,(,x,1,),所以,x,1,x,1,.,由此可得,x,2,-,x,1,x,2,-,x,1,=,+,x,0,.,因为,n,2,所以2,n,-1,=(1+1),n,-1,1+,=1+,n,-1=,n,故2,=,x,0,.,所以,|,x,2,-,x,1,|0,所以当,x,(0,2)时,f,(,x,)0,函数,y,=,f,(,x,)单调递增.,所以,f,(,x,)单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+,).,(2)由(1)知,当,k,0时,函数,f,(,x,)在(0,2)内单调递减,故,f,(,x,)在(0,2)内不存在极值点;,当,k,0时,设函数,g,(,x,)=e,x,-,kx,x,0,+,).,因为,g,(,x,)=e,x,-,k,=e,x,-e,ln,k,当00,y,=,g,(,x,)单调递增,故,f,(,x,)在(0,2)内不存在两个极值点;,当,k,1时,得,x,(0,ln,k,)时,g,(,x,)0,函数,y,=,g,(,x,)单调递增.,所以函数,y,=,g,(,x,)最小值为,g,(ln,k,)=,k,(1-ln,k,).,函数,f,(,x,)在(0,2)内存在两个极值点,当且仅当,解得e,k,.,总而言之,函数,f,(,x,)在(0,2)内存在两个极值点时,k,取值范围为,.,评析,本题考查了导数在研究函数单调性和极值问题中应用,考查了分类讨论思想利用,以及学生逻辑推理能力和运算求解能力,难度较大,在处理问题(2)时极易产生分类讨论不全,面或运算求解错误.,44/148,19.(江西,18,12分)已知函数,f,(,x,)=(,x,2,+,bx,+,b,),(,b,R).,(1)当,b,=4时,求,f,(,x,)极值;,(2)若,f,(,x,)在区间,上单调递增,求,b,取值范围.,解析,(1)当,b,=4时,f,(,x,)=,由,f,(,x,)=0得,x,=-2或,x,=0.,当,x,(-,-2)时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递增;,当,x,时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递减,故,f,(,x,)在,x,=-2处取极小值,f,(-2)=0,在,x,=0处取极大值,f,(0)=4.,(2),f,(,x,)=,因为当,x,时,0,依题意,当,x,时,有5,x,+(3,b,-2),0,从而,+(3,b,-2),0.,所以,b,取值范围为,.,45/148,20.(广东,21,14分)设函数,f,(,x,)=,其中,k,-2.,(1)求函数,f,(,x,)定义域,D,(用区间表示);,(2)讨论函数,f,(,x,)在,D,上单调性;,(3)若,k,f,(1),x,集合(用区间表示).,46/148,解析,(1)由题意得(,x,2,+2,x,+,k,),2,+2(,x,2,+2,x,+,k,)-30,(,x,2,+2,x,+,k,)+3(,x,2,+2,x,+,k,)-10,x,2,+2,x,+,k,1,(,x,+1),2,0)或(,x,+1),2,2-,k,(2-,k,0),|,x,+1|,-1-,x,-1+,或,x,-1+,函数,f,(,x,)定义域,D,为(-,-1-,),(-1-,-1+,),(-1+,+,).,(2),f,(,x,)=-,=-,由,f,(,x,)0得(,x,2,+2,x,+,k,+1)(2,x,+2)0,即(,x,+1+,)(,x,+1-,)(,x,+1)0,x,-1-,或-1,x,-1+,结合定义域知,x,-1-,或-1,x,-1+,所以函数,f,(,x,)在区间(-,-1-,),(-1,-1+,)上单调递增,同理,f,(,x,)在区间(-1-,-1),(-1,+,+,)上单调递减.,47/148,(3)由,f,(,x,)=,f,(1)得(,x,2,+2,x,+,k,),2,+2(,x,2,+2,x,+,k,)-3=(3+,k,),2,+2(3+,k,)-3,(,x,2,+2,x,+,k,),2,-(3+,k,),2,+2(,x,2,+2,x,+,k,)-(3+,k,)=0,(,x,2,+2,x,+2,k,+5)(,x,2,+2,x,-3)=0,(,x,+1+,)(,x,+1-,)(,x,+3)(,x,-1)=0,x,=-1-,或,x,=-1+,或,x,=-3或,x,=1,k,-6,1(-1,-1+,),-3(-1-,-1),-1-,-1+,结合函数,f,(,x,)单调性知,f,(,x,),f,(1)解集为,(-1-,-1-,),(-1-,-3),(1,-1+,),(-1+,-1+,).,评析,本题考查函数定义域,利用导数研究函数单调性以及含参数不等式解法,考查分类,讨论思想,逻辑推理能力和运算求解能力,难度较大.,48/148,考点二导数与极值、最值,1.(课标全国理,11,5分)若,x,=-2是函数,f,(,x,)=(,x,2,+,ax,-1)e,x,-1,极值点,则,f,(,x,)极小值为,(),A.-1B.-2e,-3,C.5e,-3,D.1,答案,A本题主要考查导数应用.,由题意可得,f,(,x,)=e,x,-1,x,2,+(,a,+2),x,+,a,-1.,x,=-2是函数,f,(,x,)=(,x,2,+,ax,-1)e,x,-1,极值点,f,(-2)=0,a,=-1,f,(,x,)=(,x,2,-,x,-1)e,x,-1,f,(,x,)=e,x,-1,(,x,2,+,x,-2)=e,x,-1,(,x,-1)(,x,+2),x,(-,-2),(1,+,)时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递增;,x,(-2,1)时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递减.,f,(,x,),极小值,=,f,(1)=-1.故选A.,思绪分析,由,x,=-2是函数,f,(,x,)极值点可知,f,(-2)=0,从而求出,a,值,将,a,值代入导函数,f,(,x,),求,出,f,(,x,)单调区间,判断极小值点,从而求出函数极小值.,49/148,方法总结,1.利用导数研究函数极值问题两个方向:,2.已知函数极值点和极值求参数值两个要领:,(1)列式:依据极值点处导数为0和极值列方程组进行求解.,(2)验证:因为导数为零点不一定是函数极值点,所以求解后必须进行验证.,50/148,2.(浙江,8,5分)已知e为自然对数底数,设函数,f,(,x,)=(e,x,-1)(,x,-1),k,(,k,=1,2),则,(),A.当,k,=1时,f,(,x,)在,x,=1处取到极小值,B.当,k,=1时,f,(,x,)在,x,=1处取到极大值,C.当,k,=2时,f,(,x,)在,x,=1处取到极小值,D.当,k,=2时,f,(,x,)在,x,=1处取到极大值,答案,C当,k,=1时,f,(,x,)=(e,x,-1)(,x,-1),f,(,x,)=,x,e,x,-1,f,(1),0,故A、B错;当,k,=2时,f,(,x,)=(e,x,-1)(,x,-1),2,f,(,x,)=,(,x,2,-1)e,x,-2,x,+2=(,x,-1)(,x,+1)e,x,-2,故,f,(,x,)=0有一根为,x,1,=1,另一根,x,2,(0,1).当,x,(,x,2,1)时,f,(,x,)0,f,(,x,)递增,f,(,x,)在,x,=1处取得极小值.故选C.,51/148,3.(辽宁,11,5分)当,x,-2,1时,不等式,ax,3,-,x,2,+4,x,+3,0恒成立,则实数,a,取值范围是,(),A.-5,-3B.,C.-6,-2D.-4,-3,答案,C由题意知,x,-2,1都有,ax,3,-,x,2,+4,x,+3,0,即,ax,3,x,2,-4,x,-3在,x,-2,1上恒成立.当,x,=0时,a,R.,当0,x,1时,a,=-,-,+,.,令,t,=,(,t,1),g,(,t,)=-3,t,3,-4,t,2,+,t,因为,g,(,t,)=-9,t,2,-8,t,+10(,t,1),所以,g,(,t,)在1,+,)上单调递减,g,(,t,),max,=,g,(1)=,-6(,t,1),所以,a,-6.,当-2,x,0时,f,(,x,),(),A.有极大值,无极小值,B.有极小值,无极大值,C.现有极大值又有极小值,D.既无极大值也无极小值,答案,D令,F,(,x,)=,x,2,f,(,x,),则,f,(,x,)=,=,=,令,h,(,x,)=e,x,-2,F,(,x,),则,h,(,x,)=e,x,-,=,.,当0,x,2时,h,(,x,)2时,h,(,x,)0,h,(,x,)在(2,+,)上为增函数,故,h,(,x,),h,(2)在,x,(0,+,)上恒成立.,h,(2)=e,2,-2,F,(2)=e,2,-22,2,f,(2)=e,2,-2,=0,即,h,(,x,),h,(2)=0在,x,(0,+,)上恒成立,则,f,(,x,)=,0在,x,(0,+,)上恒成立,f
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