数字电子技术：第一章 数制与编码.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 数制与编码,第一节 数制,第二节 编码,本章的重点：数制的转换,有符号数的编码,常用编码,本章要求：本章是本课的基础，全部内容必须概念清楚，一些公式、方法、规则要熟记。,第一节 数制,进位计数制,数制转换,二进制数的运算方法,进位计数制,数制,-,-计数的方法(由基数和位权两个要素构成),进位计数制,-,按一定的进位方式计数的数制。,数的表示,-位置表示法和多项式表示法,。,进位计数制,=,6,10,2,+,5,10,1,+,4,10,0,+,3,10,-1,+,2,10,-2,权 权 权 权 权,特点：1)基数10，,逢十进一,，即9+1=10。,3)不同数位上的数，具有不同的权值,10,i,。,4)任意一个十进制数，都可按其权位,展成多项式的形式。,(,654.32),10,位置计数法,按权展开式,(,N),10,=(K,n-1,K,1,K,0.,K,-1,K,-m,),10,2)有0-9十个数字符号和小数点，数码,K,i,从0-9。,=,K,n-1,10,n-1,+,+K,1,10,1,+K,0,10,0,+K,-1,10,-1,+K,-m,10,-m,基数,表示相对小数点,的位置,十进制,3）不同数位上的数具有不同的权值,R,i,。,4）任意一个,R,进制数，都可按其权位展,成多项式的形式。,(,N),R,=(K,n-1,K,1,K,0.,K,-1,K,-m,),2,=K,n-1,R,n-1,+,+K,1,R,1,+K,0,R,0,+K,-1,R,-1,+K,-m,R,-m,1）基数,R，,逢,R,进一,。,2)有,R,个数字符号和小数点,，数码,K,i,从0,R-1。,1）基数2，,逢二进一,，即1+1=10。,3）不同数位上的数具有不同的权值,2,i,。,4）任意一个二进制数，都可按其权位,展成多项式的形式。,(,N),2,=(K,n-1,K,1,K,0.,K,-1,K,-m,),2,=K,n-1,2,n-1,+,+K,1,2,1,+K,0,2,0,+K,-1,2,-1,+K,-m,2,-m,2)有0-1两个数字符号和小数点,，数码,K,i,从0-1。,二进制,任意进制,常用数制对照表,第1节 数值,数制,二进制数的基本运算方法,加法,0+0=0,二进制,数码,0 1,逢,二,进,一,0+1=1,1+0=1,1+1=10,和 异或,进位 与,被加数,加数,和,0,0,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,被加数,加数,进位,0,0,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,加法是数字逻辑中实现数值运算最基本的运算，其他运算可以由它完成,1 0 1 1 0,+1 0 1 1,1 0 0 0 0 1,1 0 1 0,+1 1 0 0,1 0 1 1 0,(1010),2,+(1100),2,+(1011),2,举例：,第1章 数值,减法,0-0=0,二进制,数码,0 1,借,一,当,二,举例：,(1100),2,-(1001),2,数字逻辑系统中，减法运算可通过数的补码表示变成加法运算。,1-0=1,1-1=0,0-1=1(有借位),1 1 0 0,-,1 0 0 1,0 0 1 1,数制,二进制数的基本运算方法,第1章 数值与码制,乘法,0,0=0,二进制,举例：,(1100),2,(1101),2,数字逻辑系统中，乘法运算可以看作是多个被加数移位相加。,0,1=0,1,0=0,1,1=1,1 1 0 0,1 1 0 1,数制,二进制数的基本运算方法,1 1 0 0,0 0 0 0,1 1 0 0,1 1 0 0,1 0 0 1 1 1 0 0,相加的个数为乘数中1的个数。,第1章 数值与码制,除法,0,0=0,二进制,举例：,(110111),2,(1011),2,=,数字逻辑系统中，除法运算可以看作是多次被除数与除数移位相减。,0,1=0,1,1=1,1 0 1 1 1 1 0 1 1 1,数制,二进制数的基本运算方法,1 0 1 1,1 0 1 1,0,1,0,1,1 0,1,1,数 制 转 换,十进制,非十进制,非十进制,十进制,二进制,八、十六进制,八、十六进制,二进制,十进制与非十进制间的转换,非十进制间的转换,第1节 数值与编码,数制,不同数制之间的转换方法,分组法,数,整数,小数,系列置换法(权位展开法),基数除法,基数乘法,在数制转换中，整数部分和小数部分要分别转换。,整数部分的转换（,基数除法,）,十进制转换成二进制,除基取余法,：用目标数制的,基数,（,R=2）,去除,十进制数,，,第一次,相除所得余数为目的数的,最低位,K,0,，,将所得,商,再除以,基数,，反复执行上述过程，,直到商为“0”，,所得余数为目的数的,最高位,K,n-1,。,例：（81）,10,=（？）,2,得：（81）,10,=（1010001）,2,81,40,20,10,5,2,0,2,2,2,2,2,2,2,1,K,0,0,K,1,0,K,2,0,K,3,1,K,4,0,K,5,1,K,6,1,小数部分的转换,(基数乘法,）,十进制转换成二进制,乘基取整法,：,小数,乘以目标数制的,基数,（,R=2），,第一次,相乘结果的,整数,部分为目的数的,最高位,K,-1,，,将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，,直到小数部分为“0”,，,或满足要求的,精度,为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。,例：,（0.65）,10,=(?),2,要求精度为小数五位。,0.65,2,K,-1,1,0.3,2,K,-2,0,0.6,2,K,-3,1,0.2,2,K,-4,0,0.4,2,K,-5,0,0.8,由此得：(0.65),10,=(0.10100),2,综合得：(81.65),10,=(1010001.10100),2,如2,-5，,只要求到小,数点后第五位,十进制,二进制,八进制、十六进制,非十进制转成十进制,方法,：,用系列置换法（,或叫,多项式置,换法,，,又叫,权位展开法,）,。将,相应进制的数按权展成多项,式，按十进制求和。,求(,F8C.B),16,=（？）,10,解：,(,F8C.B),16,=,F16,2,+816,1,+C16,0,+B16,-1,=,3840+128+12+0.6875,=（3980.6875）,10,例：,非十进制间的转换,二进制与八进制间的转换（分组法）,从,小数点,开始，将二进制数的整数和小数部分,每三位,分为,一组,，,不足,三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后,加“0”,补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目的数,。,例8：11010111.0100111,B=?Q,11010111.0100111,B=327.234 Q,11010111,.,0100111,小数点为界,0,00,7,2,3,2,3,4,非十进制间的转换,二进制与十六进制间的转换,（分组法）,从,小数点,开始，将二进制数的整数和小数部分,每四位,分为,一组,，,不足,四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后,加“0”,补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数,。,例9：,111011.10101,B=?H,111011.10101,B=3B.A8 H,111011,.,10101,小数点为界,00,000,B,3,A,8,数制转换中的精度问题,数制转换后所得数应该保持原有的精度。,原则,J,B,-1,I,),1,(,),A,-1,1,(,=,B,A,I,J,lg,/,lg,I,为原数制,A,中小数的位数,J,为新数制,B,中小数的位数,J,I,B,A,),1,(,),1,(,-1,-1,=,),(,log,),(,log,B,J,A,I,A,A,=,A,B,J,B,J,I,A,lg,/,lg,),(,log,=,=,例：,把,(0.6876),10,转换为二进制数,。,解：由于,0.6876,与,2,相乘，结果中小数部分不可能为,0,，因此要考虑转换后应保留的小数位数。,根据，其中，,A,=10,，,B,=2,，,I,=4,，,则,取满足该不等式的最小整数，得,J,=14,第二节 编码,在日常生活中，数包括正数、负数和小数，而在数字逻辑系统中，任何数都必须用二进制来表示。因此，如何用二进制的0、1来表示正数、负数、整数和小数，是采用编码技术来解决数的表示问题。,见,P31,X,1,=,+,1101101,X,2,=,-,1101101,有符号数的编码,（一）,真值,与,机器数,（二）,带符号二进制数的编码,1.原码,X,原：,原码,反码,补码,变形补码,尾数部分的表示形式：,最高位：,“0”表示“+”,“1”表示“-”,符号位,+,尾数部分（真值）,原码的性质：,“0”有两种表示形式,+00,0,原,=000,0 而-00,0,原,=100,0,数值范围：+（2,n 1,-1）X,原,-（2,n-1,-1）,如,n=8，,原码范围0111111111111111，数值范围,为+127-127。,符号位后的尾数即为真值的数值,数符（+/-）+尾数,（数值的绝对值,）,符号（+/-）数码化,最高位：,“0”表示“+”,“1”表示“-”,符号码,+,数值的编码（尾数）,数值数据的编码,2.反码,X,反：,符号位,+,尾数部分,反码的性质,正数：尾数部分与真值形式相同,负数：尾数为真值数值部分按位取反,X,1,=+4,X,2,=-4,X,1,反,=,0,0000100,X,2,反,=,1,1111011,3.,补码,X,补：,符号位,+,尾数部分,正数：尾数部分与真值同即,X,补,=,X,正,负数：,尾数为真值数值部分按位取反加1,即,X,补,=,X,反,+,1,“0”有两种表示形式,+00,0,反,=000,0 而-00,0,反,=111,1,数值范围：+（2,n 1,-1）X,反,-（2,n-1,-1）,如,n=8，,反码范围0111111110000000，数值范,围为+127-127。,符号位后的尾数是否为真值取决于符号位,补码的性质：,有符号数的编码,“0”有一种表示形式,+00,0,补,=000,0 而-00,0,补,=1 000,0,数值范围：+(2,n-1,-1）X,补,-2,n-1,如,n=8，,补码范围0111111110000000，数值范,围为+127-128。,符号位后的尾数并不表示真值大小,用补码进行运算时，两数补码之和等于两数和,之补码，即,X,1,补,+,X,2,补,=,X,1,+X,2,补,（,mod 2,n,）,补码的补码等于原码,例：,已知,X,1,=-1110 B，X,2,=+0110 B，,求,X,1,+X,2,=？,X,1,补,=1 0010 -1110,B,+）X,2,补,=0 0110 +0110,B,X,1,+X,2,补,=1 1000 -1000,B,故得,X,1,+X,2,补,=11000 即,X,1,+X,2,=-1000 B,双符号位：正数-“00”,负数-“11”,符号位,+尾数,应用：,两个符号位（,S,1,S,0,）,都作为数值一起参与运算，运算结果的符号如两个符号位相同，结果正确；不同则溢出.(00表示正数,11表示负数),。,判断是否有溢出,方法：,4.变形补码,X,变补：,例：已知,X,1,=48，X,2,=31,求,X,1,+X,2,=？,X,1,=+48 X,1,变补,=00 110000,+）,X,2,=+31 +）X,2,变补,=00 011111,X,1,+X,2,=+79 X,1,+X,2,变补,=01 001111,不同而,溢出,有符号数的编码,有小数点的数的编码,解决数字系统中小数的表示问题。,1 0 0 1 1 .0 1 1,定点表示法,符号位,7 6 5 4 3 2 1 0,小数点在约定的固定位置。,运算简单,能表示的数的范围不大。,S,E,E,S,M,M,N,2,=2,E,M,浮点表示法,尾数,小数点位置根据数的大小调整,运算复杂,能表示的数的范围较大。,高 低,阶符,阶码,尾符,尾数,字符和其它编码,自然二进制码,格雷码,二十进制码,奇偶检验码,ASCII,码等,。,常用的,编码,：,用一组二进制码按一定规则排列,起来表示数字、符号等特定信息。,（一）自然二进制码及格雷码,自然二进制码,常用四位自然二进制码，表示十进制数0-15，各位的权值依次为2,3,、2,2,、2,1,、2,0,。,格雷码及特点,2.编码还具有反射性，因此又可称其为反射码。,1.任意两组,相邻码,之间只有,一位,不同。注：首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特点，故它可称为循环码。,按自然数顺序,排列的二进制码,3.,格雷码与二进制数之间有一转换关系,。,格雷码,一种易于校正的编码,每相邻的两个数只有一位发生变化。,格雷码与二进制数之间有一转换关系。,二进制数,B,=,B,n,B,n,-1,B,1,B,0,格雷码,G,=,G,n,G,n,-1,G,1,G,0,G,n,=,B,n,G,i,=,B,i,+1,B,i,B,n,=,G,n,B,i,=,B,i,+1,G,i,B,=0 1 0 1,G,=,0,1,1,1,G,=0 1 1 1,B,=,0,1,0,1,自然二进制码,格雷码,二十进制码,奇偶检验码,ASCII,码等,。,常用的,编码,：,（二）,二十进制,BCD,码,有权码,用四位二进制代码对十进制,数的各个数码进行编码。,1,8421,BCD（NBCD）,码,2 7 6 .8,0010 0111 0110 1000,例：（276.8）,10,=（？）,NBCD,（276.8）,10,=（001001110110.1000）,NBCD,四位二进制数中的每一,位都对应有固定的权,常用编码,用四位自然二进制码的16种组合中的前10种，来表示十进制数09，由高位到低位的权值为2,3,、2,2,、2,1,、2,0,，即为8、4、2、1，由此得名。,自然二进制码,格雷码,二十进制码,奇偶检验码,ASCII,码等,。,常用的,编码,：,无权码,2.,其它常用编码,2421、5421、5211,1,.,余3码,余3码中有效的十组代码为00111100代表十进制数09。,2,.,其它无权码,常用编码,奇偶校验码,具有1位校验位的纠错编码,用数据最高位作为校验码位。,奇校验码：,当信息位编码中有奇数个1时校,验位为0，有偶数个1时校验位,为1。也就是,使所形成的编码,。,总是有奇数个1,校验位,信息位,偶校验码：,当信息位编码中有奇数个1时校,验位为1，有偶数个1时校验位,为0。也就是,使所形成的编码总,是有偶数个1。,A1000001,1000001,奇,1,1000001,偶,0,海明码,具有多位奇偶校验位的纠错编码,自然二进制码,格雷码,二十进制码,奇偶检验码,ASCII,码等,。,常用的,编码,：,字符编码,ASCII,码,ASCII,码:七位代码表示128个字符,96个为图形字符,32个控制字符,常用编码,A,3,A,2,A,1,A,0,A,6,A,5,A,4,000,001,010,011,100,101,110,111,0000,NUL,DLE,SP,0,P,p,0001,SOH,DC1,!,1,A,Q,a,q,0010,STX,DC2,2,B,R,b,r,0011,ETX,DC3,#,3,C,S,c,s,0100,EOT,DC4,$,4,D,T,d,t,0101,ENQ,NAK,%,5,E,U,e,u,0110,ACK,SYN,&,6,F,V,f,v,0111,BEL,ETB,7,G,W,g,w,1000,BS,CAN,(,8,H,X,h,x,1001,HT,EM,),9,I,Y,i,y,1010,LF,SUB,*,:,J,Z,j,z,1011,VT,ESC,+,;,K,k,1100,FF,FS,N,n,1111,s1,US,/,?,O,_,o,DEL,第1章 数值与码制,信 号,逻辑电平,数字逻辑电路与系统中信号,的表示方法,串行信号,同时只能处理一位信号,并行信号,同时处理多位信号,V,H,V,L,0,1,1,1,0,0,0,1,1001,1001,第1章 数值与编码,小 结,数制,二进制、八进制、十六进制、十进制,不同,数制之间的转换,(分组、置换、基数乘法、基数除法）,不同,数制的运算,(数字系统如何实现加、减、乘、除）,编码,有符号数编码(,原码、反码、补码、变形补码),有小数点的数编码(,定点、浮点),字符编码(,ASCII,码）,其他编码(格雷码,、奇偶校验码、海明码）,二十进制,BCD,码,第一章 作业,（新书,P51,旧书,P48,练习题）,1-1,（,1,）,1-2,（,1,）,(0.134),10,，,(0.4),10,，,(0.111),10,1-5,（,1,），,1-6 (3516),10,1-9 (2)-127,，,(3)-65,，,1-10,1-12 (3)A=B+C,1-13 (2)010110010110,第二章 逻辑代数基础,逻辑变量及基本逻辑运算,逻辑函数及其表示方法,逻辑代数的运算公式和规则,逻辑函数的标准形式,逻辑代数的物理与数学概念,逻辑代数的基本性质和概念是英国数学家乔治布尔在1849年首先提出的，因此也称其为“布尔代数”。由于逻辑代数是一种专门研究客观事物之间逻辑关系的数学方法，因此，逻辑代数是数字逻辑和数字电路系统分析和设计的重要数学工具,建立逻辑电路的数学模型的工具,。,在电子电路中，反映逻辑关系的是数字电路系统，反映逻辑状态是电路的通和断、输出或输入电压的高和低。因此，逻辑代数所要研究和处理的问题不是数量之间的关系，而是变量之间的逻辑关系。,逻辑代数所描述的物理事件，必须具有逻辑状态的特点。例如事件的真和假、发生和不发生、有和无等等。这与连续数学描述事物的方法有着本质的不同。,第一节 逻辑变量及基本运算,第一节 逻辑变量及基本运算,二、基本逻辑运算,与运算,或运算,非运算,一、逻辑变量与逻辑值,逻辑变量,是逻辑代数中,用来表示逻辑状态的变量,。,逻辑,值指逻辑,变量,的取值，只有两种,取值：逻辑,0,、逻辑,1,。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。,逻辑表达式,F=A,B=AB,与逻辑真值表,与逻辑关系表,与逻辑,开关,A,开关,B,灯,F,断 断,断 合,合 断,合 合,灭,灭,灭,亮,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,0,A,B,F,逻辑符号,。,与逻辑运算符，也有用“,”、,“&”表示。,当决定某一事件的,所有条件,全部具备，这一事件才能发生,逻辑表达式,F=A,+,B,或逻辑真值表,或逻辑,A,B,F,1,逻辑符号,只要决定某一事件的,有一个或一个以上,条件具备，这一事件才能发生。,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,1,0,N,个输入：,F=A,+,B,+.+N,或逻辑运算符，,也,有用“”、“”表示。,。,非逻辑,当决定某一事件的条件满足时，事件不,发生；反之事件发生。,非逻辑真值表,逻辑符号,A,F,1,A,F,0,1,1,0,逻辑表达式,F=A,“-”非逻辑运算符,三、复合逻辑运算,与非逻辑运算,F,1,=AB,或非逻辑运算,F,2,=A+B,与或非逻辑运算,F,3,=AB+CD,异或运算,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,0,0,逻辑表达式,F=A,B=AB+AB,A,B,F,=1,逻辑符号,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,1,同或运算,逻辑表达式,F=A,B=,A,B,A,B,F,=1,逻辑符号,“,”异或逻辑运算符,“,”同或逻辑运算符,0,V,3,V,工作原理,A、B,中有一个或一个以上为低电平0,V，,只有,A、B,全为高电平3,V，,二极管与门电路,0,V,A,B,F,3,V,3,V,3,V,3,V,0,V,0,V,0,V,3,V,0,V,0,V,0,V,0,V,四、,正逻辑与负逻辑,则输出,F,就为低电平0,V。,则输出,F,才为高电平3,V。,3,V,3,V,3,V,A,B,F,V,L,V,L,V,L,V,L,V,H,V,L,1 1,1,A,B,F,1 0,0 1,0 0,0,0,0,0,A,B,F,0 1,0 0,1 0,1 1,1,1,1,V,L,V,H,V,H,V,L,V,H,V,H,电平关系,正逻辑,负逻辑,正与=负或,正或=负与,正与非=负或非,正或非=负与非,正、负逻辑间关系,逻辑符号等效,在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈。,原来的符号互换（与,或、同或,异或,）,四、,正逻辑,与,负逻辑,（与门）,（或门）,高电平,V,H,用逻辑0表示，,低电平,V,L,用逻辑1表示。,高电平,V,H,用逻辑1表示，,低电平,V,L,用逻辑0表示。,第二节 逻辑函数及其表示方法,一、逻辑函数,用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量,A、B、C、,.,连接起来，所得的表达式,F,=f,（A、B、C、,.,）,称为逻辑函数。,二、,逻辑函数的表示方法,真值表,逻辑表达式,逻辑图,波形图,输入变量,输出变量,取值：逻辑,0,、逻辑,1,。逻辑0和逻辑1不代表,数值大小,，仅表示相互矛盾、相互对立的,两种逻辑状态。,真值表,输入变量不同取值组合与函数,值间的对应关系列成表格,数字逻辑系统,真值表的建立方法如下：,（,1,）确定逻辑系统输出变量和输入变量。,（,2,）绘制表格。表格中每一个逻辑变量占表格的一列，在表格的第一行中自左向右依次填入代表输入逻辑变量和输出逻辑变量的字母。,（,3,）在表中填写所有可能的输入变量的组合逻辑值。,（,4,）根据给定,（或设计要求）的,输入逻辑变量与输出逻辑变量之间的逻辑关系，填写输出逻辑变量的逻辑值。,逻辑表达式,数字逻辑系统中输入输出之间的逻辑关系式,逻辑函数也叫开关函数,，是一个表示,输入逻辑变量,（,开关变量,）,与输出之间逻辑关系的逻辑代数表达式,。,逻辑图,用逻辑符号来表示,函数式的运算关系,在逻辑表达式中，是用逻辑运算符,+、,、,、,、,（,与、或、非,、,异或和同或,）,等来连接各逻辑变量。如果将这些逻辑运算用图形符号表示，再用线段将这些符号与对应的逻辑变量连接起来，这就是逻辑图表示法。,波形图,反映输入和输出波形变化的,图形,（,又叫时序图）。,逻辑电路的时序波形可以通过示波器、逻辑分析仪观察到。另外，在逻辑系统设计过程中，通过仿真程序可以观察到仿真的时序波形。波形图反映的是逻辑信号之间的时间关系，通过观察时序波形，可以在数字系统设计过程中对所设计的,数字,电路进行检查，也可以对数字电路的功能、故障以及信号的时间延迟等实际逻辑系统的工作情况进行检查。,A,B,C,F,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,断“0”,合“1”,亮“1”,灭“0”,C,开，,F,灭,0,0,0,0,C,合，,A、B,中有,一个合，,F,亮,1,1,C,合，,A、B,均,断，,F,灭,0,逻辑函数式,找出函数值为1的项。,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个,乘积项。,这些乘积项作,逻辑加,F=,ABC+ABC+ABC,输入变量取值为1用原变量,表示;反之，则用反变量表示,ABC、,ABC、ABC。,举例说明逻辑函数的表示方法,逻辑图,F=,ABC+ABC+ABC,乘积项,用,与门,实,现，,和项,用,或门,实现。,波形图,0,1,0,0,1,1,0,0,1,1,1,1,作业：,新书,P104,旧书,P95,，,练习题,2-1,（,1,），（,8,）,；,第三节 逻辑代数的运算公式和规则,公理、定律与常用公式,公理,交换律,结合律,分配律,0-1律,重叠律,互补律,还原律,反演律,0,0=0,0,1=1 0=0,1,1=1,0,+0=0,0,+1=1+0=1,1,+1=1,A,B=B A,A,+B=B+A,(,A,B)C=,A,(B C),(,A,+B)+C=,A,+(B+C),自等律,A,(,B+C)=,A,B+,A,C,A,+B C=(,A,+B)(,A,+C),A,0=0,A,+1=1,A,1=A,A,+0=A,A,A=0,A,+A=1,A,A=A,A,+A=A,A,B=A+B,A,+B=AB,A,=A,吸收律,消因律,包含律,合并律,A,B+,A,B=A (,A,+B)(,A,+B)=A,A+A,B=A,A,(A+B)=A,A,+,A,B=A+B,A,(,A,+B)=A B,AB,+,A,C+BC=,AB,+,A,C,(,A+B)(,A+,C)(B+C)=(,A+B)(A,+C),见,P75,证明方法,利用真值表,例：用真值表证明反演律,A B,AB,A+B,A,B,A+B,0,0,0,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,A,B=A+B,A,+B=AB,等式右边,由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含,同一因子,的,原,变量和,反,变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的。,公式可推广：,例：证明包含律,成立,利用基本定律,利用基本定律,例2-3-2,证明,证：,根据互补律,根据重叠律,律,根据,1,根据分配律,根据重叠律、互补律,A,=,A,A,+,=,1,A,A,+,=,),(,B,B,A,A,+,+,=,B,A,AB,A,+,+,=,根据分配律,B,B,B,A,AB,AA,+,+,+,=,),)(,(,B,A,B,A,+,+,逻辑代数的运算公式和规则,三个基本运算规则,代入规则,：,任何含有某变量的等式，如果,等式,中所有出现此,变量,的位置均代之以一个,逻辑函数式,，则此等式依然成立。,例：,A,B,=A+,B,BC,替代,B,得,由此反演律能推广到,n,个变量：,利用反演律,基本运算规则,反演规则,：,对于任意一个逻辑函数式,F，,做如下处理：,若把式中的运算符“,.,”换成“,+,”,“,+,”换成“,.,”;,常量“,0,”换成“,1,”，“,1,”换成“,0,”；,原,变量换成,反,变量，,反,变量换成,原,变量，,那么得到的,新函数式,称为原函数式,F,的,反函数式,。,注：,保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号。,不属于单个变量上的非号有两种处理方法：,非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。,将非号去掉，而非号下的函数式保留不变。,例：,F(A，B，C),其反函数为,或,基本运算规则,对偶式,：,对于任意一个逻辑函数，做如下处理：,1）若把式中的运算符“,.,”换成“,+,”，“,+,”换成“,.,”；,2）常量“,0,”换成“,1,”，“,1,”换成“,0,”。,得到的新函数为原函数,F,的对偶式,F，,也称对偶函数。,对偶规则：,如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若,F,1,=F,2,则,F,1,=F,2,。,使公式的数目增加一倍。,求对偶式时,运算顺序不变,，且它只,变换运算符和常量,，其,变量是不变,的。,注：,函数式中有“,”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“,”换成“,”，“,”换成“,”。,例：,其对偶式,扩展引理,),0,1,(,),(,2,1,2,1,1,1,n,n,X,X,F,X,X,X,X,X,F,X,=,),1,0,(,),(,2,1,2,1,1,1,n,n,X,X,F,X,X,X,X,X,F,X,=,),1,0,(,),(,2,1,2,1,1,1,n,n,X,X,F,X,X,X,X,X,F,X,=,+,+,),0,1,(,),(,2,1,2,1,1,1,n,n,X,X,F,X,X,X,X,X,F,X,=,+,+,逻辑代数的运算公式和规则,说明,：这些引理实际,是基本公式,A A=A、A1=A、A =0、A 0=0、A+A=A、A+0=A、A+=1、A+1=1,的扩充,。,在简化逻辑函数表达式时十分有用。,例：,仙农扩展定理,),1,0,(,),0,1,(,),(,2,1,2,1,2,1,1,n,n,n,X,X,F,X,X,X,F,X,X,X,X,X,F,+,=,),0,1,(,),1,0,(,),(,2,1,2,1,2,1,1,n,n,n,X,X,F,X,X,X,F,X,X,X,X,X,F,+,+,=,举例：,D,B,A,CD,D,A,BD,B,A,+,=,+,+,+,CD,A,D,A,ACD,BD,B,A,+,+,AB,D+,+,+,=,),(,CD),D,BD,B,(,A,CD),D,BD,B,A(,+,+,+,+,+,+,+,=,1,0,0,1,逻辑代数的运算公式和规则,第四节 逻辑函数的标准形式,函数表达式的常用形式,逻辑函数的标准形式,见,P58,又叫基本形式,函数表达式的常用形式,五种常用表达式,F(A，B，C),“与或”式,“或与”式,“与非与非”式,“或非或非”式,“与或非”式,基本形式,表达式形式转换,利用还原律,利用反演律,逻辑函数的标准形式,最小项：,n,个变量有,2,n,个最小项，记作,m,i,。,3,个变量有,2,3,（8）,个最小项。,m,0,m,1,000,001,0,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,m,7,010,011,100,101,110,111,2,3,4,5,6,7,n,个变量的逻辑函数中，包括,全部,n,个变量的,乘积项,（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。,一、,最小项,和,最大项,乘积项,和项,最小项,二进制数,十进制数,编号,最小项编号,i,：,各输,入变量取值看成二进制数，,对应十进制数。,0 0 1,A B C,0 0 0,m,0,m,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,m,7,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,三变量的最小项,最小项的性质：,同一组变量取值：任意,两个不同,最小项的,乘积,为,0,，即,m,i,m,j,=0 (i,j)。,全部,最小项之,和,为,1,，即,任意一组变量取值：,只有一个,最小 项的值为,1,，其它最小项的值均为,0。,一个最小项不是在原函数中就是在反函数中。,最小项表达式：,如果一个积之和表达时中的所有乘积项都是最小项，则该积之和表达时称最小项积之和表达式，简称最小项表达式，也叫基本表达式。,例如：,例：,求函数,F(A，B，C),的标准积之,和表达式,解：,F(A，B，C),利用互补律，补上,所缺变量,C。,利用反演律,解：,根据扩展定理,再次使用扩展定理,最大项,n,个变量有,2,n,个最大项，记作,I,。,n,个变量的逻辑函数中，包括,全部,n,个变量的,和项,（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。,同一组变量取值任意,两个不同,最大项的,和,为,1,，即,M,i,+,M,j,=1 (i,j)。,全部,最大项之,积,为,0,，即,任意一组变量取值，,只有一个,最大项的值为,0,，其它最大项的值均为,1。,最大项：,最大项的性质：,某个最大项不是在原函数中就是在反函数中。,0 0 1,A B C,0 0 0,M,0,M,1,M,2,M,3,M,4,M,5,M,6,M,7,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,同一组变量取值任意,两个不同,最大项的,和,为,1,，即,M,i,+,M,j,=1 (i,j)。,任意一组变量取值，,只有一个,最大项的值为,0,，其它最大项的值均为,1。,全部,最大项之,积,为,0,，即,某个最大项不是在原函数中就是在反函数中。,最大项表达式,：,如果一个和之积表达式中的所有和项都是最大项，则该和之积表达时称最大项和之积表达式，简称最大项表达式，也叫基本表达式。,例,2-2-12,试写出,函数,的简化表达形式。,注意：,输入变量的排序不同，则最大项、最小项的序号也不同。,最小项与最大项的关系,例：,相同编号的最小项和最大项存在互补关系,即:,m,i,=,M,i,M,i,=,m,i,若干个最小项之和表示的表达式,F，,其反函数,F,可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,例：,m,1,m,3,m,5,m,7,=,=,最小项与最大项的关系,逻辑函数的基本形式,A B C,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,m,i,0,1,2,3,4,5,6,7,F,M,i,0,1,2,3,4,5,6,7,0,0,0,1,0,1,1,1,例1：,已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。,从真值表找出,F,为1的对应最小项。,解:,0 1 1,3,3,1,1 0 1,5,5,1,1 1 0,6,6,1,1 1 1,7,7,1,然后将这些项逻辑加。,F(A，B，C),提问：,F,的反函数 表达式怎样表示,逻辑函数的基本形式,A B C,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,m,i,0,1,2,3,4,5,6,7,F,M,i,0,1,2,3,4,5,6,7,0,0,0,1,0,1,1,1,例2：,已知函数的真值表，求该函数的反函数。,从真值表找出,F,为0的对应最小项。,解:,0,0 0,0,0,0,0 0 1,1,1,0,0 1 0,2,2,0,1,0 0,4,4,0,然后将这些项逻辑加。,逻辑函数的基本形式,结论：,最小项表达式中最小项的编号与最大项表达式中最大项的编号是互不重复的，而且是互补的。,应用：,利用结论可直接进行两种基本表达式之间的转换。,第二章作业,新书,P105,，旧书,p96,练习题,2-4(2),；,2-5,（,1,）；,2-7,（,1,）,2-8,（,1,）；,2-10,（,2,）,2-11,新书,P107,，旧书,97,习题,2-1,（,3,）；,2-2,；,2-4,；,2-5,；,2-7,。,第三章 数字逻辑系统建模,图解法化简函数,逻辑函数简化中的几个实际问题,列表法化简函数,数字逻辑系统建模的概念,代数法化简函数,时序逻辑状态化简,数字逻辑系统,组合逻辑,是指与时间顺序无关的变量间的基本逻辑运算组合,时序逻辑,同步时序逻辑电路,异步时序逻辑电路,脉冲异步时序,逻辑电路,电平异步时序逻辑电路,是时间相关系统，系统的行为特性和参数特性都可用时间坐标进行描述,电路状态的转换是在同一时钟的控制下进行,电路状态的转换不是在同一时钟的控制下进行,由组合电路与延时电路组成，电路在电平控制下转换,数字逻辑系统建模的概念,一、组合逻辑系统的,建模,逻辑表达式建模,真值表建模,逻辑图建模,波形图建模,硬件描述语言描述,是由逻辑变量按一定运算规律组成的数学表达式，也就是说，用逻辑运算符表示逻辑系统各输入逻辑变量与输出逻辑变量之间的关系,用表格的方法列写出组合逻辑系统所有可能的逻辑组合。,但真值表并没有提供实现组合逻辑的系统结构。,逻辑图也叫做数字逻辑系统的逻辑图模型。根据逻辑图用数字电路实现整个数字逻辑系统，这就是逻辑系统的物理实现方法。,波形图可以反映逻辑变量之间的时间关系以及逻辑关系。输出逻辑变量的逻辑值只与各输入逻辑变量当前的逻辑值有关