线性代数期末复习资料.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,Linear Algebra,任课教师,:,邓辉文,Linear Algebra,同济大学数学系,(,第五版,),高等数学、线性代数、概率与数理统计,高等教育出版社,2007,前言,一,.,代数最早就是求解方程或方程组,.,线性代数,需要解决的,第一个问题就是求解线性方程组,.,代数,就是在所考虑的对象之间规定一些运算后得到的一种数学结构,.,运算,运算,运算,运算,二,.,线性代数的研究对象是,线性空间,包括其上的线性变换,线性代数涉及的运算主要是称为加减和数乘的,线性运算,，这些线性运算须满足一定的性质进而构成,线性空间,.,线性运算,线性运算,线性运算,线性运算,Linear Space,从,广义,的角度看，线性代数研究的是“线性问题”,.,直观地讲，对所考虑的变量是一次的问题就是线性问题,.,即使是大量出现的非线性问题有时也会转换成线性问题进行处理，如高等数学中的微分等,.,三,.,矩阵和向量是重要的代数工具,.,在一定的意义上，它们以及其上的一些运算本身就构成线性空间,.,线性代数的主要内容分别是线性方程组、矩阵代数、向量空间、以及与线性变换密切相关的方阵的特征值和二次型这种线性空间之间特殊的双线性函数等,(See below).,以线性方程组为,主线,、以矩阵和向量为,工具,.,线性方程组,矩阵,行列式,向量,特征值,特征向量,二次型,代数,几何,四,.,线性代数的特点是内容较抽象、概念和定理较多，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透,.,五,.,为何学习线性代数,.,线性化是重要的数学方法，在高等数学特别是优化问题的讨论中会用到,.,在计算机程序设计语言特别是,MATLAB,中，矩阵是最基本的数据结构,.,在高等数学、微分方程、离散数学、算法分析与设计、计算机图形图像处理等课程中矩阵、向量、线性变换是经常要用的知识,.,随着计算机的普及，线性代数在理论和实际应用中的重要性更加突出，这使得诸如计算机专业、电子信息专业、自动控制专业以及经济管理专业等对线性代数内容从深度和广度方面都提出了更高的要求,.,六,.,学习线性代数要达到的目的,.,通过线性代数的学习，一方面可以进一步培养抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为进一步学习和研究打下坚实的基础，另一方面为立志报考研究生的同学提供必要的线性代数理论知识、解题技巧和方法,.,七,.,线性代数的主要内容,Chapter 1,线性方程组,Chapter 2,矩阵代数,Chapter 3,向量空间,Chapter 4,特征值与特征向量,Chapter 5,二次型,八,.MATLAB,程序设计语言,MATLAB:matrix laboratory.,MATLAB(1),强大的数值计算,和,(2),符号计算功能,、,(3),卓越的数据可视化能力,和,(4),适用于各行各业的不同的工具箱,.,基本,教学工具,.,是攻读学位的,理工科,甚至文科,大学生、硕士生和博士生必须掌握的基本技能,.,本书介绍了使用,MATLAB,求解线性代数问题的一些常见命令，希望能引起大家学习兴趣，较早进入,MATLAB,世界,.,九,.,每章都有精选习题，有些选自历年的研究生入学考试线性代数题目,.,线性代数参考书,魏战线,工程数学,线性代数,(,第,2,版,),，辽宁大学出版社,2000,(,全国高等教育自学考试教材,),(,有同步辅导,/,同步训练配套教材,),第,1,章 线性方程组,线性方程组是线性代数的基本内容,是贯穿线性代数的一条主线,.(,线性代数最早的重点内容就是求解线性方程组,.),学习线性方程组的重要性,.,线性方程组,1.1,线性方程组与矩阵的有关概念,1.1.1,线性方程组的有关概念,对所考虑的未知量来说，和式中每项次数最高是一次的方程称为,线性方程,(linear equation),，否则称为,非线性方程,(nonlinear equation).,对于未知量,x,y,z,:,在高等数学中，对于未知函数,y,(,x,),以及未知函数,y,(,x,),的导数来说，最高是一次的微分方程称为,线性微分方程,.,每个方程均是线性方程的方程组称为,线性方程组,(system of linear equations).,n,元线性方程组的一般形式为,m,n,线性方程组,.,a,ij,系数与,b,i,常数,.,m,和,n,是任意正整数，其关系可能为下列三种情况之一,:,m,=,n,(,恰定,线性方程组,:properly determined equations,).,m,n,(,超定,线性方程组,:overdetermined,equations,).,m,A=1,，,2,，,3,；,4,，,5,，,6,；,7,，,8,，,9,A,B=A,在,MATLAB,中有很多产生特殊矩阵的命令，如元素全为,1,的矩阵,ones(m,n),、元素全为,0,的矩阵,zeros(m,n),和,0,，,1,上均匀分布的随机矩阵,rand(m,n),等,.,1.2,线性方程组解的存在性,1.2.1,线性方程组的解,1,个解,(a solution),?,(1),非齐次线性方程组,(2),齐次线性方程组,线性方程组有零解,该,线性方程组是齐次的,.,于是,齐次线性方程组有,(,零,),解,!,注意,齐次线性方程组可能有非零解,.,1.2.2,线性方程组的同解变换与矩阵的初等行变换,线性方程组的同解变换,:,(1),交换第,i,个方程和第,j,个方程的位置,.,(2),第,i,个方程两边同时乘以不为,0,的数,k,.,(3),第,i,个方程两边乘以同一个数,k,后，分别加在第,j,个方程的两边,.,采用同解变换得到的线性方程组与原线性方程组是,同解的,，即它们的解完全相同,.,(I),交换第,1,个方程和第,2,个方程的位置,.,(II),第,3,个方程两边同时乘以不为,0,的数,1/3,.,(III),第,1,个方程两边乘以同一个数,-2,后，分别加在第,2,个方程,.,定义,1.4,矩阵的初等行变换,(row elementary operations of a matrix),有以下,3,种：,(1),换行,交换第,i,行和第,j,行的位置，记为,r,i,r,j,.,(2),倍乘,将第,i,行乘以不为,0,的数,k,，记为,kr,i,.,(3),倍加,将第,i,行乘以一个数,k,加在第,j,行，记为,kr,i,+,r,j,.,1.2.3,高斯消元法、行阶梯形矩阵与矩阵的秩,1.,消元,(elimination)?,“,换行”和“倍乘”是为了方便消元,.,C.F.Gauss,提出该方法,后来称为,Gauss,消元法,可直接称为,消元法,.,但中国人大约在公元前,250,年就会一些简单的消元,.,在矩阵中这样做,也称为,Gauss,消元法或消元法,.,前面采用的是“向下消元,”,并可以继续下去,:,2.,行阶梯阵,(row echelon matrix),梯阵,(echelon matrix),，可以在该矩阵里面画一条阶梯线，满足,(1),线的下方元素全为,0,；,(2),每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数；,(3),阶梯线的竖线后面的第一个元素非零，该元素称为该非零行的首非零元素即首元,.,下列几个矩阵均不是行阶梯形矩阵,:,3.,矩阵的秩,矩阵的秩是矩阵理论中最重要的概念之一,F.G.Frobenius(1917),借助于行列式引入的,.,Def 1.5,在矩阵,A,的行阶梯形矩阵中，其非零行的行数称为,矩阵的秩,(rank of the matrix,A,),，记为,R,(,A,)(,或,r,(,A,).,R,(,B,)=3,R,(,A,)=?(,不看最后一列即可,!),定理,1.1,设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为,A,和,B,，则该线性方程组有解的充要条件是,R,(,A,)=,R,(,B,).,第一，若线性方程组有解，则,R,(,A,)=,R,(,B,).,因为,R,(,A,),R,(,B,),，意味着在,B,的行阶梯形矩阵的最后非零行里会出现,0,0,0,d,，其中,d,0.,于是对应的同解线性方程组会出现,0=,d,的情况，显然原线性方程组无解,.,第二，若,R,(,A,)=,R,(,B,),，则线性方程组有解,.,这是由于在,B,的行阶梯形矩阵对应的线性方程组里，不会出现,0=,d,0,的情况，因而至少可得出原线性方程组的一个解,.,例如，线性方程组,(1.6),有解,在,R,(,A,)=,R,(,B,),时，其秩记为,r,.,对于齐次线性方程组，显然有,R,(,A,)=,R,(,B,),，根据定理,1.1,容易知道，任意齐次线性方程组有解,.,当然，由于齐次线性方程组均有零解，可推出,R,(,A,)=,R,(,B,).,注意,齐次线性方程组可能有非零解,.,例,1.6,判断下列线性方程组是否有解，说明理由,.,Hint,4.,矩阵的初等列变换,完全类似于矩阵的初等行变换,最后介绍,与求解线性方程组没有直接联系,的,矩阵的初等列变换,:,(1),换列,交换第,i,列和第,j,列的位置，记为,c,i,c,j,.,(2),倍乘,将第,i,列乘以不为,0,的数,k,，记为,kc,i,(,k,0,).,(3),倍加,将第,i,列乘以一个数,k,加在第,j,列，记为,kc,i,+,c,j,.,矩阵的初等列变换在处理其他问题时有其独特作用,.,等价矩阵,:,A,B,?,(1),自反性,:,A,A,(2),对称性,:,若,A,B,则,B,A,(3),传递性,:,若,A,B,且,B,C,则,A,C,由于强调等价的传递性，而不是对称性，使用“,”,表示矩阵间的等价关系是合理的,.,矩阵的初等变换,:,初等行变换,&,初等列变换,矩阵的标准形,(standard form):,使用矩阵的初等变换将左上角化为单位矩阵,而其余元素全为,0.,可在其行阶梯形矩阵的基础上,再使用矩阵的初等列变换,.,注意,使用矩阵的初等变换时,只能用,“,”,不能用,“,=”.,1.3,线性方程组的高斯求解方法,求解线性方程组,:,先判断是否有解,;,在有解时,再求出所有解,(,通解,).,1.3.1,将增广矩阵化为行阶梯形矩阵,例,1.7,求解下列线性方程组,Solution,R,(,A,)=,R,(,B,)=3,1.3.2,将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵,一个矩阵的,行最简形矩阵,(reduced row echelon form of a matrix),必须满足以下,3,个条件,:,(1),是该矩阵的行阶梯形矩阵,.,(2),行阶梯形矩阵非零行的首元为,1.,(3)1,所在列的其他元素全为,0.,行最简形矩阵,=,约化行梯阵,=,简化行梯阵,.,“,向上消元”,?,一般来说,将非零行的首非零元素对应的未知量,x,1,、,x,2,和,x,3,作为,先导未知量,(leading unknown),而其余未知量,x,4,是,自由未知量,(free unknown).,显然,主导未知量的个数就是矩阵的秩,R,(,A,)=,R,(,B,)=,r,=3,进而自由未知量的个数为,n,r,=4 3=1.,令,x,4,=,k,(,其中,k,为任意常数,),将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵的目的,:,方便求解,.,定理,1.2,若,n,元线性方程组有解,其系数矩阵和增广矩阵分别为,A,和,B,，则,(1),当,R,(,A,)=,R,(,B,)=,r,=,n,时,该线性方程组有唯一解,.,(2),当,R,(,A,)=,R,(,B,)=,r,n,时,该线性方程组存在,n,r,个自由未知量,进而有无限多个解,.,注意,当,R,(,A,),R,(,B,),时,该线性方程组无解,.,下面举一个求解齐次线性方程组的例子,.,例,1.8,用高斯消元法求解齐次线性方程组,Solution,其对应的同解齐次线性方程组为,这时取,x,3,和,x,4,为自由未知量，令,x,3,=,k,1,，,x,4,=,k,2,，得原方程组的所有解为,其中,k,1,k,2,为任意常数,.,上面介绍的是使用高斯消元法求解线性方程组的一般步骤，可以自己总结一下,.,但可以灵活运用，例如在例,1.8,中，若取,x,2,和,x,3,为自由未知量，则将,A,的行梯形矩阵化为,其对应的同解齐次线性方程组为,取,x,2,和,x,3,为自由未知量，令,x,2,=,k,1,，,x,3,=,k,2,，得原方程组的所有解为,其中,k,1,k,2,为任意常数,.,含有参数的线性方程组解的讨论考查大家,综合运用知识能力,，具有一定的难度，见下例，其他例子参见第,3,章的第,3.5,节,.,例,1.9(2008),设线性方程组,与线性方程,x,1,+2,x,2,+,x,3,=,a,-1,有公共解,，求,a,的值及所有公共解,.,Solution,根据已知条件知，下列线性方程组有解,因此,有,R,(,A,)=,R,(,B,).,使用矩阵的初等行变换将增广矩阵,B,尽可能地,往,行阶梯形,化,:,由,R,(,A,)=,R,(,B,),知,a,=1,或,a,=2.,当,a,=1,时,其对应的同解齐次线性方程组为,取,x,3,为自由未知量，令,x,3,=,k,，得原方程组的所有解为,其中,k,为任意常数,.,对于一般的线性方程组，已经解决了,(1),解的存在性问题,.,(2),求出其所有解的问题,.,还需要研究的是线性方程组的解之间的关系问题,，如上例中线性方程组,(1.24),的两种解形式,(1.25),和,(1.26),本质上是相同的，在第,3,章将借助于向量理论讨论线性方程组的结构解问题,.,作业,P29 4(1),6(1),7(1),8*,当,a,=2,时,其对应的同解齐次线性方程组为,原方程组的解为,