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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一章 集合和命题,1.1,集合的概念,1.2,子集,1.3,交集、并集、补集,1.4,命题的形式及等价关系,1.5,充分条件与必要条件,基本练习,1.1,集合的概念,1.,集合的概念,（,1,）集合：某些指定的对象集在一起,例：,1,2,3,、,A=,a,b,c,d,e,f,（,2,）元素：集合中的每个对象,例：,a,是集合,A,的一个元素,2.,常用数集及记法,（,1,）自然数集：,N,（,2,）正整数集：,N,*,（,3,）整数集：,Z,（,4,）有理数集：,Q,（,5,）实数集：,R,高考考点,4.,元素的性质,（,1,）确定性,例：,四大洋,、,小河流,（,2,）互异性,例：已知,A=a,-a,2a,2,求,a,的取值范围。,（,3,）无序性,例：,1,2,3=1,3,2,3.,元素与集合的关系,（,1,）,a A,（,2,）,a,A,例,：设集合,C,中的元素是 所有形如,a+b,（,a Z,b Z,）的数，求证：,（,1,）当,x N,时，,xC,（,2,）若,xC,，,yC,，则,x+yC,并判,1/x,是否一定属于,C?,5.,集合的表示方法,（,1,）列举 法 （,2,描述法）,例：,1.a,与,a,不同,2.,（,x,y,),|y=x+1,与,y,|y=x+1,格式：,x A,|P,（,x,）,注意：有些集合的公共属性不明显，不便用描述法，只能用列举法,;,有些集合中元素不能一一列举，用描述法。,（,3,）图示法,1.,韦恩图,2.,数轴,例,：（,1,）分母小于,5,的正的真分数的集合；,（,2,）数轴上到,3,的距离不小于,5,的实数的集合。,6.,集合的分类,（,1,）有限集：含有有限个元素,（,2,）无限集：含有无限个元素,（,3,）空集：不含任何元素的集合，记作,注意,:,空集是一个集合,例：,x R,|x,+1=0,1.2,子集,1.,集合相等,一般地，对于两个集合,A,与,B,，如果集合,A,的任何一个元素都是集合,B,的元素，同时集合,B,的任何一个元素都是集合,A,的元素，我们就说集合,A,等于集合,B,记作,A=B.,例：,A=1,2,5,，,B=2,5,1,2.,子集,包含：对于两个集合,A,与,B,，如果集合,A,的任何一个元素都是集合,B,的元素，我们就说集合,A,包含于集合,B,或集合,B,包含于集合,A,，记作,若任意,x A,有,x B,，则,当集合,A,不包含于集合,B,或集合,B,不包含集合,A,时，记作,A,B,注意：有两种可能（,1,）,A,是,B,的一部分,（,2,）,A,与,B,相等,3.,真子集,对于两个集合,A,与,B,，如果 ，并且,A B,我们就说集合,A,是集合,B,的真子集，记作,A B,，读作,A,真包含于,B.,注意：,（,1,）,空集是任何集合的子集；,（,2,）空集是任何非空集合的子集；,（,3,）若,A,不是空集，则空集不是,A,的真子集；,（,4,）任何一个集合是它本身的子集。,5,）,1.3,交集、并集、补集,1.,交集：一般地，由所有属于,A,且属于,B,的元,素组成的集合，记作,例：,1,2,3,6 1,2,5,10=1,2,2.,并集：一般地，由所有属于,A,且属于,B,的元素组成的集合，记作,A B,例：,1,2,3,6 1,2,5,10=1,2,3,5,6,10,交集、并集的性质,（,1,）若,则,A,B=A,A B=B;,（,2,）若,A=B,则,A,B=A,A B=A;,（,3,）若,A,B,相交，有公共元素但不包含，则,A,交,B,是,A,的真子集，也是,B,的真子集；,A,与,B,都是,A,并,B,的真子集,（,4,）若,A,B,无公共元素，则,A,B=,3.,补集,全集：如果集合,U,含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看做一个全集，通常用,U,表示,补集：一般地，设,U,是一个集合，,A,是,U,的一个子集，由,U,中所有不属于,A,的元素组成的集合，叫做,U,中子集,A,的补集或余集，记作,A,(A)=A,U=,4.,归纳总结,1.,德摩根律,2,容斥原理：把有限集,A,的元素个数记作,card(A),对于两个有限集合,A,B,，有,card()=card(A)+card(B)-card(),5.,例题,例,1.,已知集合,A=x|-2x1,或,x1,，,B=x|0,，求 ，,A,1.4,命题的形式及等价关系,1.,四钟命题及其形式,原命题：若,p,则,q,逆命题：若,q,则,p,否命题：若非,p,，则非,q,逆否命题：若非,q,则非,p,例,.,设原命题是“当,c0,时，若,ab,则,ac,bc,”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,(1),(2),(3),2.,3.,四钟命题的真假关系,(,互为逆否关系的命题是等价命题,),原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。,4.,反证法,步骤：,1.,假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立,2.,从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾,3.,由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,例,.,用反证法证明：如果,ab0,那么,1.5,充分条件与必要条件,1.,推断符号“,=,”,若,p,则,q,，表示由,P,经过推理可以得出,q,，即若,p,成立，那么,q,一定成立,例,.,若,x0,则,x0,可写成,x0=x0,说明：,“,p,=q,”也可写为“,qq,，就说,P,是,q,的充分条件，,q,是,p,的必要条件,例,.,“,x0,”是“,x0,”的充分条件，“,x0,”是“,x0,”的必要条件,判断,1,）若,p,=q,但,q p,就说,p,是,q,的充分不必要条件,2,）若,p,q,但,q=p,就说,p,是,q,的必要不充分条件,3,）若,p,q,且,q p,就说,p,是,q,的既不充分也不必要条件,第二章 不等式,2.1,不等式的基本性质,2.2,一元二次不等式的解法,2.3,其它不等式的解法,2.4,基本不等式及其应用,2.5,不等式的证明,基本练习,1.,不等式的定义,2.1,不等式的基本性质,2,分类,1),按成立条件分,绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式,2,）按开口方向分,同向不等式、异向不等式,3.,实数比较大小的方法,1,）作差比较法,例,.,比较,1-a,和 的大小（,a 0,）,2,）作商比较法,3,）分子有理化法,用不等号（,）连接两个实值函数解析式的式子；用“,”,连接的不等式叫做严格不等式；用“,”或“,”连接的不等式叫做非严格不等式。,4.,不等式的基本性质,1,）,2,）,3,）,4,）,5,）,6,）,5.,利用不等式性质解题,例,1.,设,60 x84,28y32,求,x+y,x-y,的取值范围,例,2.,已知,-1,a+b,3,2a-b4,记,u=2a+3b,1,）将,u=2a+3b,用,a+b,及,a-b,的代数式表示；,2,）求,u=2a+3b,的取值范围,2.2,一元二次不等式的解法,1.,定义,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式；,一般形式：,2.,两种解法,1,）将 因式分解，转化成一元一次不 等式组求解,2,）利用一元一次不等式与二次函数、一元二次方程之间的内在联系，研究不等式在 ，和 时各种解的情况。,3.,用区间表示不等式的解集,例题解不等式,1.-x+2x+1 0,2.0 x-2x-35,3.x-ax-2a0(,讨论,a),4.,已知关于,x,的不等式,ax+bx+c0,的解集,（,2,）若,0 0,的解集,设实数,ab,则规定：,1,）集合 叫做 开区间，表示为（,a,b,）,2),集合,x|a,x b,叫做 闭区间，表示为,a,b,3,）集合,x|a,x b,或,x|a,x 0(,或,a(a0),3.,高次不等式,化高次为低次（换元、标根、转化为不等式组）,4.,解不等式例题,例,1.,（,1,）,（,2,）,（,3,）,例,2.,（,1,）,|x-5x|6,（,2,）,|x-|x-3|,（,2,）,|x+7|-|x-2|0,2.4,基本不等式及其应用,1.,基本不等式,1,）,如果,a,bR,，那么,a+b2ab,当且仅当,a=b,时等号成立,变形：,1,）,如果,a,bR,，那么,ab,当且仅当,a=b,时等号成立,2,）如果,a,bR,，那么,3,）如果,a,b,cR,，那么三项也适用以上公式,2,）基本不等式,如果,a,bR,，那么 ，当且仅当,a=b,时等号成立,变形：如果,a,b,cR,，那么三项也适用以上公式,例,7.,已知,a,b,0,且,a+b=1,，求,y=a,的最大值,例,1.,设,a,b,c,是不全相等的正数，且,abc,=1,，求证：,+,例,2.,a,b,c,dR,求证,(,a+b)(c+d),ac+bd,),例,3.,设,x0,求证,x+,2,例,4.,求,3x+,的最小值,2.5,不等式的证明,1.,比较法,步骤：作差（商）、变形、判断,2.,综合法,以基本不等式作为基础,3.,分析法,(,执果索因,),“要证,只要证,”,