空间平面及其方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五节,一、,平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,平面及其方程,第,八,章,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称,式,为平面,的,点法式方程,求该平面,的,方程,.,法向量,.,量,则,有,故,例,1.,求过三点,即,解,:,取该平面,的法向量为,的平面,的方程,.,利用点法式得平面,的方程,此平面的,三点式方程,也可写成,一般情况,:,过三点,的,平面方程为,说明,:,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的,截距式方程,.,时,平面方程为,分析,:,利用三点式,按,第一行展开得,即,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为,平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程,与此点法式方程等价,的平面,因此方程,的图形是,法向量为,方程,.,特殊情形,当,D,=0,时,A x,+,B y,+,C z,=0,表示,通过原点,的平面,;,当,A,=0,时,B y,+,C z,+,D,=0,的法向量,平面平行于,x,轴,;,A x+C z+D,=0,表示,A x+B y+D,=0,表示,C z,+,D,=0,表示,A x,+,D,=0,表示,B y,+,D,=0,表示,平行于,y,轴的平面,;,平行于,z,轴的平面,;,平行于,xoy,面 的平面,;,平行于,yoz,面 的平面；,平行于,zox,面 的平面,.,例,2.,求通过,x,轴和点,(4,3,1),的平面方程,.,解,:,因,平面通过,x,轴,设所求,平面方程为,代入,已知点,得,化,简,得所求平面方程,三、两平面的夹角,设平面,1,的法向量为,平面,2,的法向量为,则两平面夹角,的余弦为,即,两平面法向量的夹角,(,常为锐角,),称为两平面的夹角,.,特别有下列结论：,因此有,例,4.,一平面通过两点,垂直于平面,:,x+y+z,=0,求其方程,.,解,:,设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去,C,得,即,和,则所求,平面,故,方程为,且,外一点,求,例,5.,设,解,:,设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离,d.,则,P,0,到平面的距离为,(,点到平面的距离公式,),解,:,设球心为,求内切于平面,x+y+z,=1,与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程,.,从而,例,6,.,内容小结,1.,平面,基本方程,:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.,平,面,与平面,之间的关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,求过点,且垂直于,二,平面,和,的平面方程,.,解,:,已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所,求,平面方程为,化简得,练习题,