距离空间的列紧性与紧性(投)-PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,距离空间的列紧性与紧性,实数集中的列紧性（致密性）,专题七 距离空间的列紧性,全有界性与紧性,距离空间的全有界性,实数的有界性,距离空间的列紧性与紧性,实数集中的有限覆盖,已知,：在实直线上，有波尔查诺,维尔斯特拉斯,“,列紧性定理,”,成立，而且与完备性定理是相互等价的。,问题,1,：,在一般的距离空间中，列紧性定理是否也成立？,一、距离空间的列紧性,引例,1,考察闭区间,0,1,上的连续函数序列,x,n,C0,1:,x,n,=x,n,(t)=t,n,(n=1,2,),x,n,C0,1,是有界点列,。,但是，,x,n,C0,1,是没有收敛子列。事实上，,若,子列,x,nk,x,n,使,x,nk,xC0,1,函数子列,x,nk,(t,),在,0,1,上一致收敛于,x(t,),这与,x(t,),在,0,1,上连续矛盾。,结论：,在一般的距离空间,(,即使是完备的,),中，有界点列不一定存在收敛子列，即列紧性定理不成立。,引例,2 C0,1,中的点列：,显然是有界点列，但它不可能有收敛的子列。,事实上，若,子列,x,nk,x,n,使,x,nk,xC0,1,函数子列,x,nk,(t,),在,0,1,上一致收敛于,x(t,),这与,x(t,),在,0,1,上连续矛盾。,定义,5.1 (,列紧集与列紧空间,),设,X,是距离空间，,A,X.,(1),如果,x,n,A,子列,x,nk,x,n,使,x,nk,xX(k,),则称,A,是列紧集,。,(2),如果,A,是列紧闭集，即,x,n,A,子列,x,nk,x,n,使,x,nk,xX(k,),则称,A,是自列紧集,。,(3),如果,X,本身是,(,自,),列紧集，即,x,n,X,子列,x,nk,x,n,使,x,nk,xX(k,),则称,X,是列紧空间,。,注,1,）自列紧集,列紧闭集,对全空间,X,而言，列紧,自列紧,列紧闭,.,2,）维尔斯特拉斯“列紧性定理”可以表述为：,R,中的任何有界集都是列紧集如果,A,是列紧闭,定理,5.1 (,列紧集的性质,),设,X,是距离空间，则,(1),X,中的任何有限点集都是列紧集,;(,有限点集是常驻点列,),(2),在,X,中，列紧集的子集是列紧集，因而任意多个列紧,集的交是列紧集，有限个列紧集的并是列紧集；,(3),若,A,X,则,A,列紧集,A,是自列紧集,证,(3)“,”,设,A,X,列紧，,x,n,An,x,n,A,x,n,A,或,x,n,A,y,n,A,(x,n,y,n,)1/n (n=1,2,),A,列紧,子列,y,nk,y,n,y,nk,yAX,(k),(y,nk,y)0(k),(x,nk,y)(x,nk,y,nk,)+(y,nk,y,)0,N,当,n,n,k,N,时,有,(x,n,x,nk,)N,k,时,有,(x,nk,x,)=lim(x,nk,x,n,),(,距离函数连续性,),x,n,xX,(n),X,完备,但反之不然。例如，,R,是完备距离空间，但序列,nR,中没有任何收敛子列，因而,R,不是列紧空间。,然而，,R,中的任何有界集都是列紧集。,二、距离空间的全有界性,网与全有界集,定义,5.2(,网,),设,X,是距离空间，,A,X,BX.,如果,0,A,能被,B,中个点的,开球,S(x,),的全体所覆盖，即,则称,B,是,A,的一个,网。,例,1 R,2,中一切整数格点所构成的集,A=(m,n),|m,nZ,构成了,R,2,的一个,3/4,网。,例,2,设,A=(x,y)|x,y,均为无理数,B=(x,y)|x,yQ,则,0,B,都构成了,A,的一个,网，从而也构成了,R,的一个,网。,（由于有理数在,R,中的稠密性）,注,:1,）,B,是,A,的一个,网,yA,xB,使,(x,y,)0,A,的有限的,网,B=x,1,x,2,x,n,则称,A,为,全有界集,.,例,3,闭区间,0,1,使,R,中的全有界集。,证,0,取,n1/,则有,1/n.,构造有限点集,B=0,1/n,2/n,(n-1)/n,0,1,x,yB,是相邻两点，有,(x,y,)=1/n.,B,中各点的,开球的全体覆盖了,A,B,是,0,1,区间一个有限的,网,0,1,区间是全有界集。,注,1),对全有界集,A,一定能找到它的有限,网,BA.,2),全有界集,A,的有限的,网的构造方法：,首先，构造一个 有限点集,B=x,1,x,2,x,n,A,；,然后，选取网中个开球的公共半径,，,x,yB,是相邻两点，有,(x,y,)0,N,当,m,n,N,时,(x,m,x,n,)N,m=N+1,时,(x,N+1,x,n,)N),B,中各点的任意,开球的全体覆盖了,A,0,，,B,都是,A,的一个有限的,网,A,是全有界集,定理,5.3(,全有界集的性质,),设,X,是,距离空间，,A,X,是全有界集，则（,1,）,A,一定是有界集；,（,2,）,A,一定是可分的。,证,(1)AX,是全有界集,对,=1,A,的一个有限的,1,网,B=x,1,x,2,x,n,A,xA,k,使,xS(x,k,1),即,(x,k,x,)0,A,没有有限的,0,网,x,1,A,S(x,1,0,),不能覆盖,A,AS(x,1,0,),非空,x,2,AS(x,1,0,),S(x,2,0,),S(x,2,0,),不能覆盖,A,AS(x,1,0,)S(x,2,0,),非空,x,3,AS(x,1,0,)S(x,2,0,),x,n,x,m,x,n,A,当,nm,时，有,x,n,的每一个子列都不可能是基本列，矛盾。,因此，,A,是全有界集。,定理,5.5 (,豪斯道夫定理,全有界集与列紧集的关系,),(1),设,X,是,距离空间，,A,X,是列紧集,A,是全有界集,(2),设,X,是完备距离空间,则,A,X,是列紧集,A,是全有界集,证,(1),设,AX,是列紧集,x,n,A,，,子列,x,n,(k,),x,n,(k),xX,(k),x,n,(k,),是,x,n,的基本子列,A,是,全有界集。,(2)“”,在,(1),中已证。,“,”,设,A,是全有界集，,x,n,Ax,n,有基本子列,x,n,(k,),X,完备,x,n,(k),x,n,A,收敛,A,是列紧集,2,全有界集与列紧集的关系,注：,在不完备的距离空间中,全有界集不一定是列紧集,.,例如，,C-1,1,按距离,不完备，其中的点列,x,n,:,是基本列，因而,A=x,n,是,(C-1,1,1,),中的全有界集，但是它在,C-1,1,中没有收敛子列，故,A=x,n,不是列紧集。,推论,5.1 (,有界集与列紧集的关系,),设,X,是,距离空间，,A,X,是列紧集,A,是有界集,推论,5.2 (,列紧集与可分集的关系,),设,X,是距离空间，则,(1)AX,是列紧集,A,是可分集；,(2)X,是列紧,空间,X,是可分的。,（,即列紧空间中存在一个稠密的可数子集。）,证,(1)AX,是列紧集,A,是全有界集,A,是可分集,;,(2)X,是列紧空间,X,是,全有界空间,X,是可分空间,.,证,A,是列紧集,A,是,全有界集,A,是有界集,注 在,R,中，有,1)A,是列紧集,A,是有界集,2)A,是自列紧集,A,是列紧闭集,A,是有界闭集,3,几个常用距离空间中列紧集的特征,定理,5.6 (R,n,中列紧集的特征,),设,A,R,n,则,A,是列紧集,A,是有界集,证 若,A,是列紧集,A,是全有界集,A,是有界集,若,A,是有界集,x,k,AR,n,x,k,=x,1,(k),x,2,(k),x,n,(k,),x,k,是有界点列,对每个,i(i=1,2,n),x,i,(k,),是有界数列,对每个,i(i=1,2,),x,i,(k,),存在收敛子列，设,证 必要性 设,ACa,b,是列紧集,(1),A,是列紧集,A,是有界集,(,在距离意义下）,A,是一致有界集,(,在函数意义下,),定义,5.4(,一致有界和等度连续,),设,ACa,b,，,1),如果,K0,x(t)Ca,b,有,|x(t)|K,，则称,A,是,一,致有界,的,；,2),如果,0,()0,使对,x(t)Ca,b,及,t,1,t,2,a,b,当,|t,1,t,2,|,时,有,|x(t,1,)x(t,2,)|0,A,的有限,/3-,网,x,1,(t),x,2,(t),x,n,(t,),x(t)A,x,i,(t)(1in),使得,(x,i,x,)/3,|x,i,(t)x(t)|0,使得当,|t,1,-t,2,|,时,有,|x,i,(t,1,)-x,i,(t,2,)|/3 (i=1,2,n),x(t)A,当,|t,1,-t,2,|,时,有,|x(t,1,)-x(t,2,)|x(t,1,)-x,i,(t,1,)|+|x,i,(t,1,)-x,i,(t,2,)|+|x,i,(t,2,)-x(t,2,)|,0,使,|x,n,(r,1,)|K (n=1,2,),x,n,(r,1,),是有界数列,子列,x,1n,(t)x,n,(t),在,t=r,1,处收敛。,|x,1n,(r,2,)|K,子列,x,2n,(t)x,1n,(t),在,t=r,1,r,2,处收敛,.,子列,x,kn,(t)x,(k-1)n,(t),在,t=r,1,r,2,r,k,处收敛,(k=1,2,),x,nn,(t,),在,a,b,内的所有有理数处收敛；,A,等度连续,0,0,x(t)A,当,|t,1,-t,2,|,时,有,|x(t,1,)-x(t,2,)|/3,将,a,b,区间,k,等分,得,k,个子区间,I,i,(i,=1,2,k),使,mI,i,N,时,|x,mm,(r,i,(0),)-x,nn,(r,i,(0),)|N,ta,b,时,有,|x,mm,(t)-x,nn,(t,)|,|x,mm,(t)-x,mm,(r,i,(0),)|+|x,mm,(r,i,(0),)-x,nn,(r,i,(0),)|+|,x,nn,(r,i,(0),)-x,nn,(t),|,/3+/3+/3n.,一方面，,A,是紧集,A,是列紧闭集,存在子列,x,nk,x,n,使得,x,nk,x,0,A,f(x,nk,)f(x,0,)(k)(,因为,f(x,),在上连续,),另一方面，,f(x,nk,)n,k,f(x,nk,)(k),矛盾。,故,f(x,),在,A,上有界,证 设,=supf(x)(xA,),对任意,n,x,n,A,使,1/nf(x,n,).,A,是紧集,A,是列紧闭集,存在子列,x,nk,x,n,使得,x,nk,x,0,A,且,1/nf(x,nk,),f(x,nk,)f(x,0,)=(k),(,因为,f(x,),在上连续,且极限唯一,),类似地，,x,1,A,使得,f(x,1,)=inf f(x)(xA,),定理,5.9 (,最值存在性,),设,X,是距离空间，,A,X,是,紧集,f(x),是连续,(,泛,),函数，则,f(x,),在,A,上能达到最大值（上确界）和最小值（下确界）。,定理,5.10 (,一致连续性,),设,X,是距离空间，,A,X,是,紧集,f(x),是连续,(,泛,),函数，则,f(x,),在,A,上是一致连续的。,（证明类似于第一章有关定理）,小结：,1.,在距离空间,X,中，有如下关系：,A,是紧集,A,是自列紧集,A,是列紧闭集,2.,在欧氏空间,R,n,中，有如下关系：,A,是紧集,A,是自列紧集,A,是列紧闭集,A,是列紧集,A,闭,A,是全有界集,A,有界,X,完备,A,闭,A,是列紧集,A,是全有界集,A,有界,