高等数学下8-4空间曲线教学提纲.ppt

,*,高等数学,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,曲线上点的坐标都满足方程组（,1,）；,曲线与方程组的关系,：,不在曲线上的点的坐标不能同时满足两个方程,.,空间曲线可以看作两个曲面的交线,.,方程组,(1),叫做空间曲线,C,的一般方程,.,C,例,1,方程组,表示怎样的曲线,?,解,表示母线平行于,z,轴的圆柱面,其准线是,面上的圆,在原点,半径为,1.,圆心,表示母线平行于,y,轴的柱面,面上的直线，,其准线是,它是一平面,.,所以表示圆柱面与平面的交线,C,为一,椭圆,.,例,2,方程组,x,y,z,表示球面与平面的交线,C,.,表示上半球面与圆柱面的交线,C.,例,3,方程组,练习,1,P24,二、空间曲线的参数方程,这个方程组叫做,空间曲线的参数方程,.,空间曲线,C,的方程除了一般方程外,也可以用参数形式,表示,只要将,C,上的动点坐标,x,y,z,表示为参数,t,的函数,:,随着,t,的变动便可得曲线上的全部点,.,叫做螺旋线的,螺距,.,解,取时间,t,为参数，,设当,t,=0,时,动点位于,x,轴上的一点,A,(,a,0,0),处,.,经过时间,t,动,点由,A,运动到,M,(,x,y,z,),记,M,在,xOy,面,上的投影为,所以,M,构成的图形叫做,螺旋线,试建立其参数方程,.,例,4,轴旋转,同时又以线速度,v,沿平行于,z,轴的正方向上升,那么点,其中,、,v,为常数,.,若令,例,5.,将下列曲线化为参数方程表示,:,解,:,(1),根据第一方程引入参数,(2),将第二方程变形为,故所求为,得所求为,三、空间曲线在坐标面上的投影,投影柱面,投影曲线,以曲线,C,为准线、母线平行于,z,轴的柱面叫做,曲线,C,关于,xOy,面的投影柱面,.,投影柱面与,xOy,面的交线叫做,空间曲线,C,在,xOy,面上的投影曲线，,或简称,投影,.,设空间曲线,C,的一般方程为,（,1,）,消去变量,z,得方程,（,2,）,方程（,2,）表示一个母线平行于,z,轴的柱面，它必定包含曲线,C.,一定包含,C,在,xOy,面上的投影,.,包含曲线,C,在,yOz,面上的投影曲线,空间曲线,在,yOz,、,zOx,面上的投影,?,方程？,包含曲线,C,在,zOx,面上的投影曲线,思考,：,o,求曲线,C,在,xOy,及,yOz,面上的投影方程,.,例,6,设空间曲线,C,解,消去,x,得：,曲线,C,在,yOz,面上的投影方程为,:,消去,z,得：,曲线,C,在,xOy,上的投影方程为：,补充,:,空间立体或曲面在坐标面上的投影,.,空间立体,曲面,立体也好,曲面也好,它们的投影问题,都要转化为曲线的投影问题,.,例,7,设一个立体由上半球面,求它在,xOy,面上的投影,.,解,上半球面和锥面的交线,C,为：,消去,z,得,因此交线,C,在,xOy,面上的投影曲线为：,于是所求立体在,xOy,面上的投影,和锥面,所围成，,是圆域：,两曲面的交线在,xOy,面上的投影方程为：,解,练习,2,求球面 与平面 的交线在,xOy,面,上的投影的方程,.,消去,z,得：,即,o,练习,3,求上半球 与圆柱体,的公共部分在,xoy,面和,xoz,面上的投影,.,o,P40,P39,（,1,）在,xoy,面上的投影：,（,2,）在,zox,面上的投影：,（,3,）在,yoz,面上的投影：,练习,4,求柱面 与 第一卦限部分所围立体,在各坐标面上的投影,.,P40,P39,空间曲线,一般式,参数式,空间曲线在坐标面上的投影,曲线,C,：,在,xOy,面上的,投影曲线,内容小结,作业：,1516,P36,综合题,求曲线,绕,z,轴旋转的曲面与平面,的交线在,xoy,平面的投影曲线方程.,解,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向,xoy,面的投影柱面方程为,此曲线在,xoy,面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,