平面及其方程22451教学内容.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节 平面及其方程,一、平面的点法式方程,1.法向量:,若一非零向量,n,垂直于一平面,.则称向量,n,为平面,的法向量.,注:,1,对平面,法向量,n,不唯一;,2,平面,的法向量,n,与,上任一向量垂直.,2.平面的点法式方程,设平面,过定点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),且有法向量,n,=,A,B,C,.,对于平面上任一点,M,(,x,y,z,),向量,M,0,M,与,n,垂直.,y,x,z,M,0,M,n,O,n,M,0,M=,0,而,M,0,M,=,x,x,0,y,y,0,z,z,0,得:,A,(,x,x,0,)+,B,(,y,y,0,)+,C,(,z,z,0,)=0,称方程(1)为平面的,点法式方程,.,(1),例1:求过点(2,3,0,)且以,n,=1,2,3,为法向量的平面的方程.,解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:,1,(,x,2),2,(,y+,3)+,3,(,z,0)=0,即:,x,2,y,+3,z,8=0,n,M,3,M,2,M,1,解:先找出该平面的法向量,n,.,由于,n,与向量,M,1,M,2,M,1,M,3,都垂直.,而,M,1,M,2,=3,4,6,M,1,M,3,=2,3,1,可取,n,=,M,1,M,2,M,1,M,3,=14,i,+9,j,k,例2:求过三点,M,1,(2,1,4,),M,2,(,1,3,2)和,M,3,(,0,2,3),的平面的方程.,所以,所求平面的方程为:,14,(,x,2)+9(,y+,3)(,z,4)=0,即:14,x,+9,y,z,15=0,二、平面的一般方程,1.定理1:任何,x,y,z,的一次方程.,A,x,+,By,+,Cz,+,D,=0,都表示平面,且此平面的一个法向量是:,n,=,A,B,C,证:,A,B,C,不能全为0,不妨设,A,0,则方程可以化为,它表示过定点 ,且法向量为,n,=,A,B,C,的平面.,注：一次方程:,A,x,+,By,+,Cz,+,D,=0,(2),称为平面的,一般方程,.,例2:已知平面过点,M,0,(,1,2,3,),且平行于平面2,x,3,y,+4,z,1=0,求其方程.,解:所求平面与已知平面有相同的法向量,n,=2,3,4,2(,x,+1)3(,y,2)+4(,z,3)=0,即:2,x,3,y,+4,z,4=0,2.平面方程的几种特殊情形,(1)过原点的平面方程,由于,O,(0,0,0),满足方程,所以,D,=0.,于是,过原点的平面方程为:,A,x,+,By,+,Cz,=0,(2)平行于坐标轴的方程,考虑平行于,x,轴的平面,A,x,+,By,+,Cz,+,D,=0,它的法向量,n,=,A,B,C,与,x,轴上的单位向量,i,=1,0,0,垂直,所以,n,i,=,A,1+,B,0+,C,0=,A,=0,于是:,平行于,x,轴的平面方程是,By,+,Cz,+,D,=0;,平行于,y,轴的平面方程是,A,x,+,Cz,+,D,=0;,平行于,z,轴的平面方程是,A,x,+,By,+,D,=0.,特别:,D,=0,时,平面过坐标轴.,(3),平行于坐标面的平面方程,平行于,xOy,面,的平面方程是,Cz,+,D,=0;,平行于,xOz,面的平面方程是,By,+,D,=0;,平行于,yOz,面的平面方程是,A,x,+,D,=0.,例3:求通过,x,轴和点(4,3,1,)的平面方程.,解:由于平面过,x,轴,所以,A,=,D,=0.,设所求平面的方程是,By,+,Cz,=0,又点(4,3,1,)在平面上,所以,3,B,C,=0,C,=,3,B,所求平面方程为,By,3,Bz,=0,即:,y,3,z,=0,例4:设平面与,x,y,z,轴的交点依次为,P,(,a,0,0),Q,(0,b,0),R,(0,0,c,),三点,求这平面的方程.,解:设所求平面的方程为,A,x,+,By,+,Cz,+,D,=0,因,P,(,a,0,0),Q,(0,b,0),R,(0,0,c,),三点都在这平面上,于是,aA,+,D,=0,bB,+,D,=0,cC,+,D,=0,解得:,o,y,P,x,z,Q,R,所求平面的方程为:,即:,(3),三、两平面的夹角,1.定义:两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为,两平面的夹角,.,1,n,1,n,2,2,若已知两平面方程是:,1,:,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=0,法向量,n,1,=,A,1,B,1,C,1,2,:,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=0,法向量,n,2,=,A,2,B,2,C,2,所以,2.,平面,1,与,2,相互垂直,A,1,A,2,+,B,1,B,2,+,C,1,C,2,=0,平面,1,与,2,相互平行,规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.,例6:一平面通过两点,M,1,(1,1,1),和,M,2,(0,1,1),且垂直于平面,x+y+z,=0,求它的方程.,解:设所求平面的一个法向量,n,=,A,B,C,已知平面,x+y+z,=0,的法向量,n,1,=1,1,1,所以:,n,M,1,M,2,且,n,n,1,而,M,1,M,2,=,1,0,2,于是:,A,(,1,)+,B,0+,C,(2)=0,A,1,+,B,1+,C,1=0,解得:,B=C,A=,2,C,取,C,=1,得平面的一个法向量,n,=,2,1,1,所以,所求平面方程是,2 (,x,1)+1 (,y,1)+1 (,z,1)=0,即:2,x,y z,=0,例:设,P,0,(,x,0,y,0,z,0,),是平面,Ax+By+Cz+D,=0,外一点,求,P,0,到这平面的距离,d,.,解:在平面上任取一点,P,1,(,x,1,y,1,z,1,),P,0,P,1,N,n,则,P,1,P,0,=,x,0,x,1,y,0,y,1,z,0,z,1,过,P,0,点作一法向量,n,=,A,B,C,于是:,又,A,(,x,0,x,1,)+,B,(,y,0,y,1,)+,C,(,z,0,z,1,),=,Ax,0,+,By,0,+,Cz,0,+,D,(,A,x,1,+,B,y,1,+,C,z,1,+,D,),=,Ax,0,+,By,0,+,Cz,0,+,D,所以,得点,P,0,到平面,Ax,+,By,+,Cz,+,D,=0,的距离:,(4),例如:求点,A,(1,2,1),到平面,:,x,+2,y,+2,z,10=0,的距离,