【中考数学热点题型】动点问题（学生版）.docx

2025 年中考数学热点题型：动点问题
目录

类型一 动点问题的函数图象 
类型二 动点问题的函数关系 
类型三 动点与全等三角形或相似三角形的存在性 
类型四 等腰三角形的存在性 
类型五 动点与平行四边形及特殊平行四边形的存在性 
类型六 动点与最值问题 
类型七 求动点所经过的路径长 
2024 中考真题动点问题精炼 

5

动点问题的函数图象
类型一

1. (2024• 昆山市一模) 如图①，点 A、B 是⊙ O 上两定点，圆上一动点 P 从圆上一定点 B 出发，沿逆时针
方向匀速运动到点 A，运动时间是 x(s)，线段 AP 的长度是 y(cm)．图②是 y 随 x 变化的关系图象，则
图中 m 的值是 ( )

A. 9 2
【举一反三演练】
B. 4
C. 5 D. 14
3

2
2. (2024 秋• 宜兴市月考) 如图①，BD 是菱形 ABCD 的对角线，AD < BD，动点 P 从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以 1cm/s 的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，CP 的长 y(cm) 随时间t(s) 变化的函数图象如图②所示，则菱形 ABCD 的周长为 ( )
A. 12cm B. 16cm C. 20cm D. 24cm
3. (2024 秋• 工业园区月考) 如图 1，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 60°，连接 BD，点 M 从 B 出发沿 BD 方向以 3 cm/s 的速度运动至 D，同时点 N 从 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动至 C ，设运动时间为 x(s)，△BMN 的面积为 y(cm2)． y 与 x 的函数图象如图 2 所示，则菱形 ABCD 的边长为 ( )
A. 2 2 cm B. 4 2 cm C. 4cm D. 8cm
4. (2024 秋• 江阴市期末) 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 4，D 是边 AC 上一动点(不与

A，C 两点重合)，沿 A → C 的路径移动，过点 D 作 ED ⊥ AC ，交 AB 于点 E，将 △ADE 沿直线 DE 折叠得到△A'DE．若设 AD = x，△A'DE 与△ABC 重叠部分的面积为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 之
间函数关系的是 ( )

A. B.
C. D.

5. (2024 秋• 崇川区月考) 如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O，∠ACB = 60°，AM = AN
= 1 AB = 1，点 P 沿 BD 从点 B 匀速运动到点 D．设点 P 的运动时间为 x，PM + PN = y，图 2 是点
3
P 运动时 y 随 x 变化的函数关系图象，则图 2 中最低点的纵坐标 a 的值为 ( )

3
A. 2
B. 7 C.
2
D. 3

7
6. (2025 春• 南通月考) 如图 1，等腰 RtABC 中，∠C = 90°，AB = 4，点 D 从点 B 出发，沿 B → C → A 方向运动，DE ⊥ AB 于点 E ，△DEB 的面积随着点 D 的运动形成的函数图象(拐点左右两段都是抛物线的一部分) 如图 2 所示，以下判断正确的是 ( )

A. 函数图象上点的横坐标表示 DB 的长
B. 当点 D 为 BC 的中点时，点 E 为线段 AB 的三等分点
C. 两段抛物线的开口大小不一样
D. 图象上点的横坐标为 3 时，纵坐标为 3
类型二
动点问题的函数关系
2
7. (2025 春• 南通月考) 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2 2 ，对角线 AC ，BD 交于点 O，点 P 从点 A 出
发，沿线段 AO → OB 运动，点 P 到达点 B 时停止运动．若点 P 运动的路程为 x，△DPC 的面积为 y，
探究 y 与 x 的函数关系．
(1) x 与 y 的两组对应值如表，则 m = ；
x
0
⋯
m(m ≠ 0)
y
n
⋯
n
(2) 当点 P 在线段 AO 上运动时，y 关于 x 的函数解析式为 y =-x + 4(0 ≤ x ≤ 2)．当点 P 在线段 OB 上运动时，y 关于 x 的函数解析式为 ，此时，自变量的取值范围是 ；
(3) ①在图 2 中画出函数图象；
②若直线 y = 1 x + b 与此函数图象只有一个公共点，则 b 的取值范围是 ．
2

【举一反三演
8. (2025 春• 东台市月考) 如图所示，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上，点 A 在原点，AB
= 3，AD = 5．若矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向做匀速运动．同时点 P 从 A 点出发以每秒 1个单位长度沿 A - B - C - D 的路线做匀速运动．当 P 点运动到 D 点时停止运动，矩形 ABCD 也随
之停止运动．
(1) 求 P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间；
(2) 设 P 点运动时间为 t(秒)．
①当 t = 5 时，求出点 P 的坐标；
②若△OAP 的面积为 s，试求出 s 与 t 之间的函数关系式(并写出相应的自变量 t 的取值范围)．

性
相似
动
类型三

9. (2024 秋• 梁溪区月考) 已知 AB = 10，AC = 6，BD = 8，其中 ∠CAB = ∠DBA = α，点 P 以每秒 2 个单
位长度的速度，沿着 C → A → B 路径运动．同时，点 Q 以每秒 x 个单位长度的速度，沿着 D → B → A
路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 t 秒．
①若 x = 1，则点 P 运动路程始终是点 Q 运动路程的 2 倍；
②当 P、Q 两点同时到达 A 点时，x = 6；
③若 α = 90°，t = 5，x = 1 时，PC 与 PQ 垂直；
④若△ACP 与△BPQ 全等，则 x = 0.8 或 4 ．
11
以上说法正确的选项为 ( )

A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【举一反三演练】
10. (2023 春• 莱州市期末)△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 90°，P 为 BC 上的动点，小慧拿含 45° 角的透明三角板，使 45° 角的顶点落在点 P，三角板可绕 P 点旋转．
(1) 如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时．求证：△BPE ∽ △CFP；
(2) 将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E 、F ．
△BPE 与△CFP 还相似吗？ (只需写出结论)
(3) 在(2) 的条件下，连接 EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？若不相似，则动点 P 运动到什么位置时，
△BPE 与△PFE 相似？说明理由．

6

类型四
等
角
性

11. (2024 秋• 高邮市期中) 如图，已知 △ABC 中，∠B = 90°，AB = 16cm，BC = 12cm，M ，N 是△ABC 边
上的两个动点，其中点 N 从点 A 开始沿 A → B 方向运动，且速度为 2cm/s，点 M 从点 B 开始沿 B → C
→ A 方向运动，且速度为 4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为 t s．
(1) 出发 2s 后，求 MN 的长；
(2) 当点 M 在边 BC 上运动时，出发几秒钟，△MNB 是等腰三角形？
(3) 当点 M 在边 CA 上运动时，求能使 △BCM 成为等腰三角形的 t 的值．

7

类型五 动 行 行 性
12. (2025 春• 盐城月考) 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4cm，BC = 8cm，点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动到点 A 即停止；同时点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止．点 P、Q 的速度的速度都是1cm/s，连接 PQ，AQ，CP，设点 P、Q 运动的时间为 t(s)．
(1) 当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形？
(2) 当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形？
(3) 分别求出(2) 中菱形 AQCP 的周长和面积．

8

【举一反三演练】
13. (2024 春• 镇江期中) 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 6cm，AD = 10cm，点 P 在 AD 边上以每秒
1cm 的速度从点 A 向点 D 运动，点 Q 在 BC 边上以每秒 2.5cm 的速度从点 C 出发，在 CB 间往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止运动，同时点 Q 也停止运动．设运动时间为 t s，开始运动以后，当 t 为何值时，以 P，D，Q，B 为顶点的四边形是平行四边形？ ( )

9

A. 20 3
B. 40 7
C. 20 3
或 40
7
D. 40 3
或 40
7

14. (2025 春• 高新区月考) 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥ CD，∠BCD = 90°，AB = AD = 10cm，BC
= 8cm．点 P 从点 A 出发，以每秒 3cm 的速度沿折线 ABCD 方向运动，点 Q 从点 D 出发，以每秒
2cm 的速度沿线段 DC 方向向点 C 运动．已知动点 P、Q 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，P、Q 运动停止，设运动时间为 t．
(1) 求 CD 的长；
(2) 当四边形 PBQD 为平行四边形时，求四边形 PBQD 的周长；
(3) 在点 P、点 Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 △BPQ 的面积为 20cm2？若存在，请求出所
有满足条件的 t 的值；若不存在，请说明理由．

动
类型六

15. (2024 秋• 沛县期中) 如图，在 △ABC 中，∠A = 90° ，AB = 6 ，AC = 8 ，BC = 10 ，CD 平分∠BCA 交
AB 于点 D，点 P，Q 分别是 CD，AC 上的动点，连接 AP，PQ，则 AP + PQ 的最小值是 ( )
A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4
【举一反三演练】
16. (2022 秋• 如东县期末) 如图，边长为 a 的等边△ABC 中，BF 是 AC 上中线且 BF = b，点 D 在 BF 上，连接 AD，在 AD 的右侧作等边△ADE，连接 EF ，则 △AEF 周长的最小值是 ( )
A. 1 a + 2 b B. 1 a + b C. a + 1 b D. 3 a
2 3 2 2 2

17. (2020 秋• 常州期中) 已知⊙ O 的半径为 2 ，A 为圆上一定点，P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰
Rt△APG，P 点在圆上运动一周的过程中，OG 的最大值为 ．
18. (2023• 崇川区三模) 如图，边长为 a 的等边△ABC 中，BF 是 AC 上中线，点 D 是线段 BF 上的动点，连接 AD，在 AD 的右侧作等边△ADE，连接 BE，则 AE + BE 的最小值是 ( )

C. 5 a
D. 3 a
A. ( 3 + 1)a B. 3a - 1

10

19. (2023• 张家港市模拟) 如图，AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，CD ⊥ AB，垂足为 D，AD = 2，点 E是⊙ O 上的动点(不与 C 重合)，点 F 为 CE 的中点，若在 E 运动过程中 DF 的最大值为 4，则 CD 的值
为 ( )

11

3
A. 2
B. 2
C. 3
D. 7 2

径
求
类型七

2
2
20. (2025• 淮安一模) 如图，A(-1，1)，B(-1，4)，C(-5，4)，点 P 是△ABC 边上一动点，连接 OP，以 OP
为斜边在 OP 的右上方作等腰直角△OPQ．当点 P 在△ABC 边上运动一周时，点 Q 运动的路径长为
．

【举一反三演练】
21. (2024• 东海县模拟) 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动、如果 Q 点从 A 点出发，沿图中所示方向按 A ⇒ B ⇒ C ⇒ D ⇒ A 滑动到 A 止，同时点R 从 B 点出发，沿图中所示方向按 B ⇒ C ⇒ D ⇒ A ⇒ B 滑动到 B 止，在这个过程中，线段 QR 的中点
M 所经过的路线的长为 ．

22. (2024 秋• 高邮市月考) 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 1，AD = 3 ，点 P 在线段 BC 上从点 B 出发向点 C 运动，同时点 Q 在线段 AD 上以相同速度从点 D 出发向点 A 运动，过点 A 作 AM ⊥ PQ 交直线

PQ 于点 M ，当点 P 从点 B 运动到点 C 的过程中，点 M 的运动路径长是 ．

2024 中考真题动点问题精炼
23. (2024• 兰州) 如图 1，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 60°，连接 BD，点 M 从 B 出发沿 BD 方向以 3 cm/s
的速度运动至 D ，同时点 N 从 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动至 C ，设运动时间为 x(s)，
△BMN 的面积为 y(cm2)． y 与 x 的函数图象如图 2 所示，则菱形 ABCD 的边长为 ( )
A. 2 2 cm B. 4 2 cm C. 4cm D. 8cm
24. (2024• 苏州) 如图，矩形 ABCD 中，AB = 3 ，BC = 1，动点 E ，F 分别从点 A，C 同时出发，以每秒 1
个单位长度的速度沿 AB，CD 向终点 B，D 运动，过点 E ，F 作直线 l，过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为
G，则 AG 的最大值为 ( )

12

3
A. B. 3
2
C. 2 D. 1

25. (2024• 甘肃) 如图 1，动点 P 从菱形 ABCD 的点 A 出发，沿边 AB → BC 匀速运动，运动到点 C 时停止．
设点 P 的运动路程为 x，PO 的长为 y，y 与 x 的函数图象如图 2 所示，当点 P 运动到 BC 中点时，PO的长为 ( )

5
2
A. 2 B. 3 C. D. 2

26. (2024• 长沙) 如图，在菱形 ABCD 中，AB = 6，∠B = 30°，点 E 是 BC 边上的动点，连接 AE，DE，过点 A 作 AF ⊥ DE 于点 F．设 DE = x，AF = y，则 y 与 x 之间的函数解析式为(不考虑自变量 x 的取值范围) ( )

13

A. y = 9
x
B. y = 12
x
C. y = 18
x
D. y = 36
x

27. (2024• 绵阳) 如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，连接 BE，点 H 在 BE 上运动，点 G 为 EF 的中点，当 △AGH 的周长最小时，AH + GH = ( )
A. 2 B. C. 12 D. 13

3
13
28. (2024• 自贡) 如图，在 ▱ ABCD 中，∠B = 60°，AB = 6cm，BC = 12cm．点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 A → D 运动，同时点 Q 从点 C 出发，以 3cm/s 的速度沿 C → B → C →⋯ 往复运动，当点 P 到达端点 D 时，点 Q 随之停止运动．在此运动过程中，线段 PQ = CD 出现的次数是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
29. (2024• 泸州) 如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别是边 AB，BC 上的动点，且满足 AE

= BF ，AF 与 DE 交于点 O，点 M 是 DF 的中点，G 是边 AB 上的点，AG = 2GB，则 OM + 1 FG 的最
2
小值是 ( )

A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
30. (2024• 乐山) 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 60°，AB = 1，点 P 是 BC 边上一个动点，在 BC 延长线
上找一点 Q，使得点 P 和点 Q 关于点 C 对称，连结 DP、AQ 交于点 M ．当点 P 从 B 点运动到 C 点时，点 M 的运动路径长为 ( )

14

A. 3
6
二．填 (共 小 )
B. 3
3
C. 3 D.
3
2

31. (2024• 甘南州) 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不
断地移动，每移动一个单位，得到点 A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，⋯ 那么点 A2020 的坐标为
．

32. (2024• 广东) 如图，菱形 ABCD 的面积为 24，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 上的动点．若△BEF 的面积为 4，则图中阴影部分的面积为 ．

33. (2024• 内江) 如图，在 △ABC 中，∠ABC = 60°，BC = 8，E 是 BC 边上一点，且 BE = 2，点 I 是△ABC

的内心，BI 的延长线交 AC 于点 D ，P 是 BD 上一动点，连接 PE 、PC ，则 PE + PC 的最小值为
．

34. (2024• 凉山州) 如图，⊙ M 的圆心为 M (4，0)，半径为 2，P 是直线 y = x + 4 上的一个动点，过点 P 作
◉ M 的切线，切点为 Q，则 PQ 的最小值为 ．
35. (2024• 扬州) 如图，已知两条平行线 l1、l2，点 A 是 l1 上的定点，AB ⊥ l2 于点 B，点 C、D 分别是 l1，l2 上的动点，且满足 AC = BD ，连接 CD 交线段 AB 于点 E ，BH ⊥ CD 于点 H ，则当 ∠BAH 最大时， sin∠BAH 的值为 ．

36. (2024• 宜宾) 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 2，AD = 4，E、F 分别是边 CD、AD 上的动点，且
CE = DF．当 AE + CF 的值最小时，则 CE = ．

37. (2024• 宜宾) 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，M 、N 是边 BC 、CD 上的动点．若∠MAN = 45° ，则
MN 的最小值为 ．

15

38. (2024• 广安) 如图，在 ▱ ABCD 中，AB = 4，AD = 5，∠ABC = 30°，点 M 为直线 BC 上一动点，则 MA
+ MD 的最小值为 ．
三．解 题(共 6 小
39. (2024• 威海) 如图，在菱形 ABCD 中，AB = 10cm，∠ABC = 60°，E 为对角线 AC 上一动点，以 DE 为一边作∠DEF = 60°，EF 交射线 BC 于点 F ，连接 BE，DF．点 E 从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 2cm的速度运动至点 A 处停止．设△BEF 的面积为 y cm2 ，点 E 的运动时间为 x 秒．
(1) 求证：BE = EF ；
(2) 求 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
(3) 求 x 为何值时，线段 DF 的长度最短．

16

40. (2024• 黑龙江) 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 OAB 的边 OB 在 x 轴上，点 A 在第一象限， OA 的长度是一元二次方程 x2 - 5x - 6 = 0 的根，动点 P 从点 O 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿折 线 OA - AB 运动，动点 Q 从点 O 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 OB - BA 运动，P、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为 t 秒(0 < t < 3.6)，△OPQ 的面积为 S．
(1) 求点 A 的坐标；
(2) 求 S 与 t 的函数关系式；
(3) 在(2) 的条件下，当 S = 6 3 时，点 M 在 y 轴上，坐标平面内是否存在点 N ，使得以点 O、P、M 、N
为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，说明理由．

17

41. (2024• 无锡) 如图，AB 为半圆 O 的直径，AB = 1，BM 为半圆 O 的切线，点 C 为 BM 上的一个动点，连接 AC 交半圆 O 于点 D，作 DE ⊥ BM 于点 E．
(1) 当点 O 关于 AC 的对称点 O′ 恰好在半圆上时，求 BC 的长；
(2) 设 DE = x，CE = y，求 y 关于 x 的函数表达式．

18

42. (2024• 兰州) 综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在
△ABC 中，点 M ，N 分别为 AB，AC 上的动点(不含端点)，且 AN = BM ．
【初步尝试】(1) 如图 1 ，当 △ABC 为等边三角形时，小颜发现：将 MA 绕点 M 逆时针旋转 120° 得到
MD，连接 BD，则 MN = DB，请思考并证明；
【类比探究】(2) 小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图 2，在 △ABC 中，AB = AC ，∠BAC =
90°，AE ⊥ MN 于点 E，交 BC 于点 F ，将 MA 绕点 M 逆时针旋转 90° 得到 MD，连接 DA，DB．试猜想
四边形 AFBD 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】(3) 孙老师提出新的探究方向：如图 3 ，在 △ABC 中，AB = AC = 4 ，∠BAC = 90° ，连接
BN ，CM ，请直接写出 BN + CM 的最小值．

19

43. (2024• 吉林) 如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AC = 3cm，AD 是△ABC 的角平分线．动点 P 从点 A 出发，以 3 cm/s 的速度沿折线 AD - DB 向终点 B 运动．过点 P 作 PQ ∥ AB，交 AC 于点 Q，以 PQ 为边作等边三角形 PQE，且点 C ，E 在 PQ 同侧．设点 P 的运动时间为 t(s) (t > 0)，△PQE与△ABC 重合部分图形的面积为 S(cm2)．
(1) 当点 P 在线段 AD 上运动时，判断 △APQ 的形状(不必证明)，并直接写出 AQ 的长(用含 t 的代数式表示)．
(2) 当点 E 与点 C 重合时，求 t 的值．
(3) 求 S 关于 t 的函数解析式，并写出自变量 t 的取值范围．

20

44. (2024• 河北) 已知⊙ O 的半径为 3，弦 MN = 2 5 ． △ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 3 2 ．在平面上，先将 △ABC 和⊙ O 按图 1 位置摆放(点 B 与点 N 重合，点 A 在⊙ O 上，点 C 在⊙ O 内)，随后移动△ABC ，使点 B 在弦 MN 上移动，点 A 始终在⊙ O 上随之移动．设 BN = x．
’
(1) 当点 B 与点 N 重合时，求劣弧 AN 的长；
(2) 当 OA ∥ MN 时，如图 2，求点 B 到 OA 的距离，并求此时 x 的值；
(3) 设点 O 到 BC 的距离为 d．
’
①当点 A 在劣弧 MN 上，且过点 A 的切线与 AC 垂直时，求 d 的值；
②直接写出 d 的最小值．

21