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为幂等矩阵,6,、向量,行向量,是一个 的矩阵而,列向量,是一个 的 矩阵,向量,x,和向量,y,间的欧几里德距离：,第二节 行列式,引言,行列式：，,1,、情形,2,、情形,利用代数余子式对行列式进行展开,定义,如果去掉 的一行一列，我们可以得到一个 的 阶,子矩阵,。取该子矩阵的行列式，我们就得到 的一个,子行列式,。,用 表示去除 行 列后矩阵 的子行列式。,的,代数余子,式记为 ，。,例,则,定理,令 为 矩阵，有,（,1.1,）,（,1.2,）,将（,1.1,）完整的写出，有：,将（,1.2,）完整的写出，有：,例,在上例中,步骤,如果矩阵的某一行或者某一列中有多个零，可以用此行或者此列对行列式进行展开。,行列式的性质,1,、,2,、任意两行或者两列进行交换会使得行列式的符号发生改变。,有,3,、如果 的某行（列）中的每个元素都乘以一个实数 而得到 ，有：,有,4,、,有,5,、,如果 和 都是 阶的，,6,、将一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变。,性质（,6,）使得我们能够回答在本节前面所提出的问题。,步骤,如果 中没有零，则用一行（列）的倍数加到另一行（列）上以使得其出现尽可能多的零。,例,1,例,2,定理,令 为 矩阵，为 的代数余子式，有,该结论经常被称为“利用异代数余子式进行展开”,1.3,矩阵的逆,在实数体系中，对于任意实数 ，总存在一个数 ，的倒数，使得,那么这种性质在矩阵中是否存在呢？对于给定矩阵 ，是否存在矩阵 使得：,注意,：,（,i,）如果 是方阵的话，其才可能存在逆,（,ii,）,定义,令 为 的方阵，如果存在某个 方阵 使得：,则 就是 的,逆,。,例,考虑,则,定理,方阵 有逆的充分必要条件是 。,对于上例中的 ，有,因此该矩阵具有逆。,定义,如果方阵 有逆，则其为,非奇异,的；如果方阵 没有逆，则其为,奇异,的。,逆的性质,（,i,）如果 有逆，则其逆唯一。,（,ii,）如果 和 都是非奇异的，,（,iii,）,（,iv,）,下面证明其唯一性，而其他性质可以很容易得出,设 有两个逆 和 ，那么 ，。有,利用代数余子式求逆。,定义,令 ，我们将 中所有元素用其代数余子式来代替可得到一个新的矩阵。的伴随矩阵，记作 ，是所形成新的矩阵的转置。,即，令 的代数余子式，有：,例,定理,令 为一非奇异方阵，那么：,证明：,考虑 的第 个元素，,如果 ，其等于 ，而 其等于零，因此,类似的，,从而,利用基本行（列）运算求逆,基本行运算,包括一下几种：,（,i,）矩阵的任意两行互换。,（,ii,）将矩阵中任意一行乘上一个非零系数。,（,iii,）将一行的倍数加到另一行上。,基本列运算,的定义与此类似。,关于基本行运算需要注意的第一件事是每种运算都可以通过将所考察矩阵乘上某个特定的矩阵而实现。而后者被称为,初等矩阵,例,考虑,（,i,）假设我们将,1,，,3,行交换而得到：,有,（,ii,）假设我们将第二行乘上,-3,而得到：,有：,（,iii,）假设我们在第二行上加上,7,倍的第三行而得到：,有,值得我们注意的是所有的初等矩阵本身是非奇异的。,现在假设我们使用基本行运算将一个非奇异矩阵 变换为单位矩阵，并假设我们需要 步才能达到目的。假设第一步可以通过用初等矩阵 前乘而实现，第二步则用 前乘上一步运算所得新的矩阵，如此等等。那么很明显有,。,现在令 则有 。,由于矩阵逆的唯一性我们有 。但,于是有：,后一个等式的语言表述就是我们的方法。我们用对 进行基本行运算将其转换为单位矩阵，同样的基本行运算将单位矩阵转换为 的逆。,例 找出下列矩阵的逆：,首先应该保证 ，下面我们使用标记 ，表明 是通过对 施以基本行（列）运算而得到的。,那么就有：,需要提醒的是，也可以用基本列运算来求逆。假设要将矩阵 转换为单位矩阵需要 步基本列运算。回忆基本列运算可以通过将矩阵后乘某个合适的初等矩阵而得到，有：,因此，,即基本列运算在将 转换为 的同时也将 转换为 。,最后在使用这种方法时，我们可以选择使用基本行运算还是基本列运算，但是我们不能将其混合起来使用。,1.4,向量线性关系和矩阵的秩,定义,个 阶的列向量，是,线性相关,的，如果存在不全为零的系数 使得下式成立：,对于行向量而言，也存在类似的定义。,向量 是向量 的线性组合，如果存在系数 使得 。,注意,向量线性相关表明这些向量中至少有一个可以写作其他向量的线性组合。,例,明显，,因此，,定义,个列向量是,线性无关,的,如果,也就是说，这些向量的线性组合得到零向量的唯一情形是所有的系数等于零。,注意,如果向量集合中包括零向量，则该集合中的向量是线性相关的。,例,有 而 ，从而这些向量是线性相关的。,矩阵的秩,定义,矩阵 的秩，记作 ，是矩阵中线性无关行向量的最大数目。,定理,矩阵 的秩同时也是 中线性无关列向量的最大数目。,明显从定理和该定理中可以看出，矩阵的秩小于或等于其行数和列数中较小的一个。,即，。,求矩阵秩的方法,1,利用行列式求秩,定理,的秩为 ，当且仅当 的子矩阵的每个子行列式，只要阶等于或高于 都为零，而至少才能存在一个阶,的子矩阵，其子行列式不为零。,需要注意的是，如果 为方阵，我们所能得到的最大的子矩阵就是 本身，因此在应用这个定理时候我们应该从 开始。,例 找出下列矩阵的秩：,但是,因此,2,用基本行运算或者列运算来求秩,定理,对于任意两个矩阵 和 ，,推论,当 前乘或者后乘一个非奇异的矩阵时，其秩不变。,应用基本行运算或者列运算将 简化至可轻易看出其秩为止。一般而言，对于任意矩阵 ，基本行或者列运算会使得矩阵 简化至如下形式：,从而,例,有,因而,然而在求给定矩阵的秩时我们并不需要做到这样。我们只需运用基本行和,/,或列运算将 简化到梯阵式即可。,定义,矩阵 的梯阵式可以通过运用基本行和,/,或列运算将其简化至一些列阶梯而得到，这些阶梯从矩阵的左上角延续至右下角，而每一步下面元素都为零。,例,如下矩阵就是梯阵式,需要注意的是每步长度并不需要相同,.,定理,矩阵 的秩就是其梯阵式中非零行的个数。,例,那么，。,*1.5,克罗内克乘积和矩阵的向量化,定义,令 为一 矩阵，我们将 分为各列：,其中 是 的第 列。为一 列向量，其定义为：,令 为 的矩阵而 为 的矩阵。下面 矩阵就是 和 的克罗内克乘积，记作 ：,例,则,则,需要注意的是，在此例中，,也就是说，克罗内克乘法并不遵循交换律，即,克罗内克乘积的性质：,（,i,）,（,ii,）,（,iii,）如果 和 存在，,（,iv,）,（,v,）,另外，如果 是 方阵而 是 方阵，有：,（,vi,）,（,vii,）,如果 和 是非奇异的，那么还有：,（,viii,）,通过这些性质我们又可知：,第二章,联立线性方程组,在本章中，我们将介绍联立线性方程组，介绍其定义并且详细介绍其求解方法，分齐次和非齐次两种情形加以介绍，而在最后介绍方程个数和求解变量个数相同时的特殊情形。,第一节 定义,定义,元（）线性方程是,其中 和 是常数（给定实数）。,例,注意：,（,i,）在线性方程中所有的变量都是一次的。,（,ii,）我们会关注 个这样的 元线性方程。其中,将此系统写作：,其中所有 和 都是常数而 为变量。,在矩阵标记方法里，记为：,例,有,注意：,下面的运算不会影响解：,（,i,）方程之间两两交换。,交换 两行的初等行变换。,（,ii,）在一个方程两边同时乘上一个非零系数,将 中一行乘上一个非零系数的初等行变换。,（,iii,）将一个方程的倍数加到另一个方程上,将 中一行的倍数加到另一行的初等行变换。,注意,的梯阵式中每步下方都为零。如果 为 的梯阵式，那么：就很容易求解了，如果解存在的话，就跟 具有相同的解。,在下面就利用这一性质求线性方程组的解。,第二节 齐次情形,齐次情形的两个性质：,（,i,）总是存在平凡解，令 ，则 。,（,ii,）如果存在一个非平凡解，则存在无穷多个非平凡解，如果 是解，那么 也是解。,非平凡解是否存在取决于 。,前面说过 ，因此,同时 矩阵 梯阵式 中非零行向量的个数。,情形,1,：,此时，具有 个非零向量，意味着 个 元方程而 。可以将 个变量设置为任意值，具有无穷多个解。,例 解,此时，,在矩阵标记法中，有,对 施行初等行变换将其简化至其梯阵式。,有,和,上述方程和原方程具有相同的解。有,令 ，为任意实数。那么,为方程组的解，其代表了无穷多的解。,情形,2,：,此时，有 个非零行向量。只有平凡解的存在。,例,解,令,因此 ，并且,其解和原方程一样，明显,小结,令 为 矩阵。如果 ，其中 为变量的个数，那么线性方程组 具有非平凡解。在这种情况下存在无穷多个解。,注意,如果 ，方程的个数小于变量的个数；则 ，总是存在无穷多个解。,第三节 非齐次情形,定义,如果解不存在，我们称该方程组,不相容,。,相容性检验,定理,如果 ，方程组不相容。,方程组相容的情形,定理,假设 有一个特解 ，而 具有一个通解,。那么 的所有解都可以写作：,小结,（,i,）如果 ，方程组不相容，无解。,（,ii,）如果 ，只有一个解。,（,iii,）如果 ，存在无穷多个解。,例 方程组,在此方程组中，而且,因此，从而该方程组是相容的，另,和原方程具有相同的解，对此齐次方程组的一个特解是,而 的通解由如下方程组给出：,其通解为,，为任意实数,从而该非齐次方程组的通解为,第四节 特殊情形,考虑 的情形，此时,从而有,也就是说，为该方程组的唯一解,注意,由于 ，该唯一解可以写作：,例 求解,在此,而 ，故 存在，有唯一解：,则该唯一解为：,表示符号,令,=,的第 行,=,的第 列,这样就可以将该唯一解的第 个元素写作,克拉默法则,解的第 个元素可写作,（,2.1,）,在（,2.1,）式计算时将 的第 列用向量 代替，然后计算行列式。,例 解方程组,在我们的标记法下，有,从而,存在唯一解，为,理由克拉默法则，有,第,3,章 线性经济模型,在本章我们将介绍线性经济模型的一些基本概念，并用两个例子来加以说明，在本章的最后将介绍矩阵代数在统计学和计量经济学中的应用,第,1,节 引言与定义,定义,线性经济模型,就是一个联立线性方程组。这些方程可分为两类：第一类为,定义方程,，其所表达的变量之间的关系根据定义而成立。第二类为,行为方程,其旨在告诉我们关于某些“经济实体”行为的某种信息。,两类变量：内生变量和外生变量。,内生变量,是模型的焦点。构建模型的全部目的首先是深入了解：内生变量值的决定因素以及这些内生变量如何随给定环境变化而变化；,外生变量,则是那些就我们经济分析目的而言视为给定的变量，其通常可分为三类：一，非经济变量，二，非经济力量确定的经济变量，三，不是本模型所决定，而是由其他经济力量所决定的经济变量。,模型形式可分为两类：结构形式和简化形式。,结构形式,是模型的原始形式而,简化形式,是模型的解，是我们用外生变量求解内生变量所得的结果。,完备模型，如果：,（,i,）结构形式中方程的个数等于内生变量的数目，,（,ii,）存在唯一解。,简化形式的解或者所得内生变量的值被称作内生变量的,均衡值。,比较静态分析：当外生变量变动时内生变量如何发生变动。,小结,结构形式：,简化形式：,比较静态分析：,第,2,节 线性经济模型示例,例,1,简单供求模型,结构形式：,需求函数：,供给函数：,简化形式：,用外生变量求解内生变量有：,在经济学基础课程中,即：,比较静态分析,分析政府增加补贴对均衡价格数量的影响。,此时，,则,变量变化方向：,补贴使得均衡数量增加而降低了均衡价格,图解法,克拉默法则,如果只对数量感兴趣，则可以运用克拉默法则，,例,2,凯恩斯宏观经济模型,结构形式：,在此模型中，一个定义方程，两个行为方程，内生变量为 ，外生变量为 ，。,外生变量分离在方程的右边可得到：,其中,E,表示外生支出。,矩阵表示法中,由于存在三个方程和三个内生变量，模型完备，且,简化形式,:,因,从而,比较静态分析,：,出口增加 对均衡收入、消费、进口的影响,此时,从而,克拉默法则,政府支出对进口的影响,若 增加 ，则 也增加 ，有,第,3,节,矩阵代数在统计学和计量经济学中的应用,个随机变量 ，组成的 向量 叫着随机向量,令 ，,A,和,B,都是幂等矩阵，考虑,，有,那么,为样本均值列向量,则,为样本均值偏差的列向量,样本方差,但,由于 为幂等矩阵，有,则可将上述统计量写作,假设 为总体均值，考虑,利用 ，和矩阵代数规则可知，,上式可写作,那么,现在考虑,根据,A,的定义和,A,为幂等矩阵的性质，也有,幂等矩阵在线性回归分析中的应用,考虑受控试验的产量方程组,用矩阵表示法写为,的最小二乘估计量为,那么,考虑矩阵,为对称矩阵，因为,另外，为幂等矩阵，因为,为预测值，则预测误差为,其中 而 为 的矩阵，那么,则误差向量可写作,另外,误差平方之和可写作,第四章 二次型和正定矩阵,在本章中，我们将介绍特征值和特征向量，然后介绍由特征向量组成的矩阵，并且运用这些知识来判断二次型的正定性，与此同时，我们也介绍特征值与行列式、秩、迹的关系，最后我们介绍用行列式来判断二次型正定性的方法，作为特征值方法的补充。,第一节 引言,二次型,完整形式：,其中 代表变量而 为常数,矩阵表示法：,常要求 为对称矩阵。,例,二次型,用矩阵表示为,问题,1,：,我们能否通过对变量的一些技巧性变换而化简二次型？,问题,2,：,是否存在这样的情况，不论我们为变量赋以何值，二次型总是取同一个正负号？,定义,关于问题,2,，我们有如下定义：,（,i,）矩阵 为,正定,的，如果对于所有非零实向量 ，,（,ii,）矩阵 为,半正定,的，如果对于所有实向量 ，,（,iii,）矩阵 为,负定,的，如果对于所有非零实向量 ，,（,iv,）矩阵 为,半负定,的，如果对于所有实向量 ，,（,v,）矩阵 为,不定,的，如果对于某些向量 为正，而对于某些向量 为负。,第,2,节 对称矩阵的特征值,定义,A,为 矩阵，的,特征值,是一个数 ，对应存在着一个非零向量 ，满足：,该向量 被称为 的特征向量。有如下定义式：,为保证非平凡解的存在，要求,一般而言，上式表达的是 的,次多项式方程,：,定理,如果 为对称矩阵，那么其所有特征值都为实数。,例,则 为二次方程,其两个特征值为 和,第,3,节 特殊矩阵的特征值,相似矩阵,定义,令,A,和,B,为,nXn,矩阵。,A,和,B,是相似矩阵，如果存在一非奇异矩阵,C,使得,定理,如果,A,和,B,是相似矩阵，其具有相同的特征值。,证明,令,A,和,B,相似，考虑,因此 和 是同一方程。,幂等矩阵,定理,幂等矩阵的特征值为,1,或,0,。,证明,令,A,为幂等矩阵，考虑,上下两式想减可得,由于 ，则 或者,第,4,节 对称矩阵的特征向量,定义,向量集 （两两）,正交,，如果对于 ，有,向量 是,标准化,的，如果,向量组 为,规范正交的,，如果,定理,如果,A,为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量正交。,证明,令 和 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 和 。那么有,分别左乘 和 ，有,由于 是数量，同理，,而,A,对称，故 ，则,由于 ，则,定理,如果 为,K,重的特征值，存在着,K,个对应着 的特征向量，它们和其他特征向量一起构成一个规范正交集。,求特征向量,求解方法：将下列两式联立求解,例,求矩阵 特征向量的规范正交向量组。,已知,A,的两特征值为 和,由 得到,即,由方程可得 ，那么,作为特征向量我们取,由 可得,即,标准化条件要求 ，从而,即,因此我们取第二个特征向量为,第,5,节 列为对称矩阵特征向量的矩阵,的列为对称矩阵,A,特征向量，,A,的特征值为,的性质,定义,矩阵,B,是正交的，如果,定理,是正交矩阵,证明,显然,那么,因此，,定理,矩阵 为对角矩阵，其对角线上的元素为,A,的特征值。,证明,第,6,节 二次型的对角化,引言所提第一个问题：能否对二次型进行简化？,令 是列为,A,的特征向量的规范正交向量组的矩阵。考虑,非奇异替换：,或者,则,其中 为对角矩阵,引言所提第二个问题，我们有如下定理：,定理,（,i,）当且仅当 的每个特征值都为正（负）时，二次型,为正（负）定,（,ii,）当且仅当 的所有特征值都非负（非正）且至少一个为零时，二次型 为半正（半负）定,（,iii,）当且仅当的 的特征值有正有负时，二次型 不定,例,的特征值为,0,和,3,，故 为半正定的，因此对,于任意 ，,第,7,节 特征值与 ，和,因为,而,故有如下定理：,对于对称矩阵 ，,A,的非零特征值的个数,考虑到一个矩阵左乘或者右乘一个非奇异矩阵时，其秩保持不变，故,定理,对于对称矩阵 ，等于其非零特征值的个数,而,则有如下定理：,定理,对于对称矩阵 ，,第,8,节 另一种方法：运用行列式,定义,的顺序主子式为,，。,定理,当 为 对称矩阵，则,（,i,）当且仅当 的 个顺序主子式都为正时，其为正定矩阵。,（,ii,）当且仅当 的顺序主子式正负符号交替变化：第一个为负，下一个为负，依此类推，其为负定矩阵,例,考虑,其顺序主子式为,-1,，,这些顺序主子式符号交替变化，其第一个为负，则 为负定矩阵。,定义,的主子式为 剔除同号行列后形成的子方阵的行列式,定理,令 为对称矩阵，则,（,i,）当且仅当所有的主子式大于等于零时，其为半正定。,（,ii,）当且仅当所有奇阶数主子式小于等于零而所有的偶阶数主子式大于等于零时，其为半负定。,例,其主子式为,1,，,1,，,3,都大于等于零,，都大于等于零,，,故 为半负定,第五章 多元函数,在本章中我们将介绍函数的一般概念，并介绍一些特殊的函数，然后介绍导数、偏导数和微分，最后讲授这些概念的具体应用,比较静态分析和泰勒逼近,第,1,节 函数的一般概念,函数,是一种将一个集合 中元素与另一个集合 中元素对应起来的规则，其使得 中的每个元素有且仅有一个 中元素与之对应。,中任一元素 被称作,自变量,。如果对应着 中的 ，我们写作 而 被称作 的,映射,或者,因变量,。集合 被称作函数的,定义域,而 则被称作函数的,目标空间,。这些映射的集合被称作函数的,值域,。,表示符号,或者,函数可用图形表示为,必须适用于,S,中每个元素，下面这种规则则不是函,数：,T,集合中仅有一个元素与,S,中元素对应，下面规则也,不是函数,定义域，目标空间与值域,多元（实）函数,：定义域为 或者 的一个子集，目标空间为实数集 ，,常见的二元函数的经济例子,柯布,道格拉斯函数,为常数,不变替代弹性（）生产函数,其定义域为 （或者 ）的,非负象限,，即集合,第,2,节 偏导数,定义,导数 一元函数,偏导数 多元函数,表示符号,，。,链式法则的推广,偏导数的含义,（,i,）偏导数 给出了当 发生细微变动而所有其他变量保持不变时 变化率的近似值。,（,ii,）如果 为正，其意味着 增加会导致 的增加；减少会导致 的减少。如果其为负，这两个变量变化方向相反。,（,iii,）用于经济学中的边际分析,生产函数 ，投入品,1,的边际产品为,效用函数 ，商品,2,的边际效用为,二阶偏导数,偏导数的偏导数即为,二阶偏导数,：,，依此类推,杨格定理,如果函数 的偏导数都连续，则,例,柯布,道格拉斯函数,一阶偏导数：,二阶偏导数：,梯度向量与海赛矩阵,定义,梯度向量：函数一阶偏导数的 向量，记作,，其中,海赛矩阵：函数二阶偏导数组成的矩阵，记作,注意：根据杨格定理，海赛矩阵为对称矩阵,例,则梯度向量为,海赛矩阵为,第,3,节 函数中的特殊类,连续函数,函数在点 连续：数列 ，收敛于 ，这些点的像将就收敛于 的映射。,连续函数：函数在其定义域内的每一点都连续。,函数 为,次多项式,如果,函数 为有理函数，如果,其中 和 都是多项式,一元连续函数,函数在某处不连续,绝对值函数,连续函数之和仍是连续函数，连续函数之积也是连续函数,复合函数：,复合函数 定义为 ，,连续函数的复合函数也是连续函数。,可导必定连续，连续未必可导。,齐次函数,定义,函数 为,次齐次函数,，如果对于所有的 ，有,定理,如果 为 次齐次函数，其一阶偏导数则为 次齐次函数。,欧拉定理,如果 为 次齐次函数且可导，则,例,其为三次其次函数。,偏导数,其一阶偏导数 为二次齐次函数,同时,凸函数和凹函数,凸集,线段：为 中两点，连接 的线段为集合,凸集：对于所有 ，,凸函数,凸函数：，,严格凸函数：，,凹函数：，,严格凹函数：，,非凸集,凸集,二元严格凸函数与二元凸函数,严格凹函数与凹函数,定理：,函数 是凸集 上的严格凸（凹）函数，如果其海赛矩阵 对于所有属于 的 为正（负）定。,当且仅当 对于所有属于 的 为半正（负）定时，函数 为凸集 上的凸（凹）函数。,例,证明 为凹函数,，。,海赛矩阵一阶主子式,-2,、,0,小于等于零，二阶主子式,故该函数为凹函数,第,4,节,比较静态和非线性模型,引言,在线性经济模型中，均衡值 或者,比较静态分析结果,如果在模型方程是非线性的，比较静态分析应该如何进行呢？,隐函数定理,隐函数：由非线性方程 所定义的函数,隐函数定理,1,假设非线性函数 具有连续的偏导数 ，考虑任意满足方程 的点 。如果偏导数 在此点不为零，那么至少在此点邻域存在一个隐函数。不仅如此，偏导数 也存在且连续。,例,在哪些点上方程 存在 关于 的隐函数,此时,明显 存在且连续，在任意使得,而 的点 上隐函数都存在。,对原方程两点同时关于 求导，有,那么,经济应用,封闭经济的简单凯恩斯宏观经济模型,均衡条件,或者,根据隐函数定理，在 上存在均衡解,从而,隐函数定理的推广,两非线性方程,什么情况下才能解成 是 函数的形式？,定义,雅克比行列式：,隐函数定理,2,假设 和 关于 有着连续的偏导数。那么在满足该方程组而雅克比行列式不为零的任意点上隐函数,和 都存在。另外，这些隐函数具有连续的偏导数。,例,模型,产品市场,货币市场,均衡条件,均衡条件可写作,问题：什么条件下存在隐函数 和,雅克比行列式为,则在 成立的任何点上都存在,问题：比较静态分析求,在均衡条件成立的情况下对其求偏导,用矩阵表示为,利用克拉默法则，有,第,5,节,微分和泰勒逼近,一元函数的泰勒定理,一元函数 ，定义域内一点,其中 为余项,次泰勒近似值,代表 的细微改变而 ，越来越小,例,其三次泰勒近似值为,泰勒逼近方法用函数的梯度向量和海赛矩阵来表示,或者,的微分,定义：,微分是一近似值,的全微分,一元函数,二元函数,微分之比即为导数,一元函数,二元函数,后者被称为全导数,例,则,作为验证,第六章 最优化,在本章我们将介绍最优化的一些基本概念：无约束最优与有约束最优；局部最优与全局最优；有约束局部最优与有约束局部最优，然后介绍其一般解决思路，在本章的最后将简单介绍矩阵微积分的一些内容,第,1,节 无约束最优化,局部最优与全局最优,定义,邻域：点 的 邻域为如下点集,函数 在 取得,局部最大点，,如果在 的某个邻域内的所有点上都有 。,函数 在 取得,局部最小点，,如果在 的某个邻域内的所有点上都有 。,函数 在 取得,全局最大点，,如果在定义域内所有点上都有 。,函数 在 取得,全局最小点，,如果在定义域内所有点上都有 。,邻域,要得到严格最优的相关概念，只需将上述最优概念中的不等号变为严格不等号即可,临界点：任意满足 的点都叫做函数 的临界点,定理,如果 为 的局部最大点或最小点，那么 为临界点,鞍点,严格局部最大点与严格全局最大点,临界点与鞍点,定理,1,令 为 的临界点,（,i,）如果海赛矩阵 在 取值时为负定矩阵，则 为 的严格局部最大点。,（,ii,）如果海赛矩阵 在 取值时为正定矩阵，则 为 的严格局部最小 点。,定理,2,如果 为 的临界点而 在 为不定的，则 为鞍点。,例,其一阶条件为,临界点为,海赛矩阵为,临界点 ，,此处,其主子式为,0,，,0,，,81,，故 为不定的而点 为鞍点。,临界点,，此处,其顺序主子式为,18,，,243,，故 为正定矩阵而点 为严格局部最小点,第,2,节 局部最优与全局最优,定理,3,：全局性定理,I,令 以及 为 的一凸子集,（,i,）如果 为 上的凹函数而 为一临界点，则 为全局最大,（,ii,）如果 为 上的凸函数而 为一临界点，则 为全局最小点。,例,生产函数,总利润函数,一阶条件,临界点,海赛矩阵,利润函数定义域,的一次主子数为,在定义域内两者都小于等于零，二次主子式为,在定义域内其大于等于零，故海赛矩阵为半负定的，那么，该两临界点为全局最大点，厂商的投入品需求函数为,第,3,节 有约束最优化,目标函数与约束函数,最优化,约束条件,或者,optimize,拉格朗日乘子法,拉格朗日函数：,其中 为拉格朗日乘子,有约束最大值点与无约束最大值点,定理,设 为下面问题的解,则存在一个数 使得 为拉格朗日函数,的临界点，而最优化的一阶条件可写作,二阶条件,定义,拉格朗日函数,相关的加边海赛矩阵为,的顺序主子式为：,定理,4,令 为拉格朗日函数的临界点，则,（,i,）为该有约束问题的局部最大点，如果在此点取值时,（,ii,）为该有约束问题的局部最小点，如果在此点取值时,例,拉格朗日函数为,一阶条件：,临界点：,加边海赛矩阵,顺序主子式,故 为其有约束局部最大点。,第,4,节 有约束局部最优和有约束全局最优,定理,4 II,如果可行解集为凸集而目标函数在此集合上为连续凹（凸）函数，则任意局部最大点（最小点）也是全局最大点（最小点）。如果目标函数在此可行集上为严格凹（凸）函数，则该全局最大点（最小点）只有一个。,定义,闭集,：所有边界点都包含在集合中的集合。,边界点,：集合 中的一点 为的边界点，如果 的任意 邻域中既有属于 的点也有不属于 的点。,超平面：,例,消费用效用函数,预算约束,拉格朗日函数,一阶条件,临界点,加边海赛矩阵,对于所有正的 ，都有 ，故该两临界点为局部最大点和全局最大点，也为消费者的需求函数,第,5,节 矩阵微积分简介,定义,向量函数 ：为 向量，其元素为 向量,元素的可微函数,关于 的,导数,，：,为 矩阵：,而规定,例,则,定理,令 为 向量而 为一常数矩阵，则,为 矩阵,为 矩阵,为 矩阵,定理：后向链式法则,令 ，和 分别为 ，和 的向量,设 为 的向量函数而 为 的向量函数，则,推广链式法则,令 为 向量 和 向量 的 向量函数。设 和 又都是 向量 的向量函数，有 。那么,定理：乘法原则,令 为 矩阵而 为 矩阵，假设两矩阵的元素都是向量 的系数矩阵。,那么,矩阵计算在计量经济学中的应用,模型,对数似然函数,其中 等于 ，。,而,综合起来，则,将这两个导数等于,0,矩阵即可得极大似然估计,第七章 最优化问题中的比较静态分析,第,1,节 引言,在最优化问题中，最优解为参数的函数，在经济模型中，参数常常是外生变量而最优解为内生变量，在最优化问题相关联的比较静态分析中我们感兴趣的是：一，当某一个参数或者外生变量变化时，最优解或者均衡值如何发生变动？二，当某一个参数变动时，目标函数的最优值如何变动？,本章在无约束最优化和有约束最优化框架下对其进行探讨,第,2,节 无约束最优化,为最优（最大或者最小）值函数,定理：包络定理,I,变动对 产生影响的两种途径：,（,i,）直接影响，由于 是 的一个元素而 包含在 中，,（,ii,）间接影响，通过,包络定理：,证明：,而由最优化一阶条件可知,那么,例,厂商利润函数,最优点,最大值函数,对其关于 求导,而利用包络定理,第,3,节 有约束最优化,有约束最优化问题,拉格朗日函数,最优解,最优值函数,包络定理,II,其中 和 为拉格朗日函数的临界点,证明,将最优点代入拉格朗日函数,由于最优解满足约束条件从而 以及,求导可得,由一阶条件可知,另外,从而得证,作为影子价格的拉格朗日乘子,故 告诉我们的是参数 增加一单位对目标函数最优值所产生的影响，经济学上将其称作该参数的影子价格。,第,4,节 斯拉斯基方程,消费者面临的效用最大化问题,拉格朗日函数,一阶条件,马歇尔需求函数,拉格朗日乘子,对一阶条件关于 求导,用矩阵表示为,也即,为加边海赛矩阵,由克拉默法则可得,若对一阶条件等式两边取微分，则,整理可得,1,、,变化而 和 保持不变,利用克拉默法则求,从而,这就是斯拉斯基方程，第一部分为“替代效应”而第二部分为“收入效应”,2,、收入效应,价格不变而收入变动,利用克拉默法则,那么,3,、替代效应,收入随价格变化而变化使得消费者的效用水平保持不变,或者,有一阶条件可知，均衡时,那么,或者,前面已知,则外生变量的变化必须使得,只有商品,1,价格变化时，有,由克拉默法则,则,就有,替代效应和收入效应的正负符号,替代效应,由二阶条件可知 ，而,由一阶条件可知,在非饱和假定下 从而,收入效应,，但,可正可负，分三种情况分析,替代效应,情形,1,：正常物品,此时，从而,情形,2,：低档物品,此时，从而,情形,3,：吉芬物品,此时，从而,正常物品,低档物品,吉芬物品,第,5,节 包络定理在经济学中的应用,马歇尔需求函数,间接效用函数,定理：罗伊等式,如果 为马歇尔需求函数，那么,证明,效用最大化问题的拉格朗日函数为,由包络定理可知,两式相除即可得欲证结论,支出最小化问题,所得最优点 为,希克斯需求函数，,代入目标函数所得最小值函数为支出函数,例,拉格朗日函数为,一阶条件,最优点（希克斯需求函数）,代入目标函数可得支出函数,谢泼德引理,令 为商品 的希克斯需求函数，则,证明,支出最小化问题的拉格朗日函数为,由包络定理可得,例 支出函数为 ，求希克斯需求函数,由谢泼德引理可知,与上例吻合,一致性,例 间接效用函数为,一致性,求支出函数,由一致性,可知,解之得,其为欲求的支出函数。,斯拉斯基方程再讨论,由一致性可知,令 ，则,对其求导可得,而根据谢泼德引理,则,或者,成本最小化问题,所得最优点 为厂商的,条件需求函数,，代入目标函数所得最小值函数则为厂商的,成本函数,谢泼德引理,令 为厂商投入品的条件需求函数而 为厂商的成本函数，有,证明,成本最小化问题的拉格朗日函数为,由包络定理可知,例,成本最小化问题,拉格朗日函数,一阶条件,最优点,成本函数,成本函数关于要素价格求导并加以整理可得,利润最大化问题,最优点,这被称作厂商的,供给函数,，,代入目标函数可得利润函数,定理：霍特林引理,令 为竞争性厂商的供给函数，为厂商对投入品的需求函数而 为厂商的总利润函数。,有,证明,利润最大化问题,拉格朗日函数好,由包络定理可得,例 竞争性厂商成本函数为,令 ，则总利润函数为,一阶条件,供给函数,总利润函数,总利润函数关于产量和要素价格求导，整理可得,第八章 积分,第,1,节 引言,连续时间与离散时间,连续时间：经济变量连续变动 研究方法为积分和微分方程,离散时间：经济变量只在时间离散区间的终点才发生变化 研究方法为差分方程,第,2,节 定积分,单调递增函数,闭区间 的分割,第 个子区间图形下方的面积明显介于 和 之间：,当分割无穷细时,由夹逼定理可知,如果 ，则有,该公共极限被称为 在界限 和 之间关于 的定积分。,如果该极限存在，则称其在该区间黎曼可积,性质：,第,3,节 作为微分逆过程的积分,均值定理,令 为定义在闭区间 上的连续函数。那么存在一点 使得,微积分基本定理,令 ，并设 是一个连续一元函数，则,标准形式,：，其中,求定积分在本质上是求导的逆过程：我们需要找到使得,的,表示符号,第,4,节 不定积分,定义,不定积分,：，为任意常数，记作,不定积分法则,.,换元积分法和分部积分法,换元积分法：，由链式法则有,两边取不定积分：,例,令 ，则 ，,分部积分法：乘积法则，两边 同时求不定积分有,或者,例,令 ，则,第,5,节 进一步的思考,反常积分：,积分区域由 扩展到积分上限为 或者积分下限为 的情形,当极限存在时，该反常积分为收敛的，否则其为发散的。,反常函数的另一种类型：被积函数在积分区间内趋于无穷,如 在 上连续而在 处趋于无穷，则当且仅当 存在时，其为收敛，否则为发散；,如果 在 上连续而在 处趋于无穷，那么当且仅当 存在时，我们称反常积分收敛，否则其为发散,最后，如果 在闭区间 上连续，而在 处趋于无穷，其中 ，考虑,当右边的两个积分都收敛时我们称积分收敛。,例,考虑,因此,该积分发散,多重积分,对多远函数进行积分的情形，如,处理方法：先将函数 关于 积分而将 看作一个常数，然后将该积分在 和 间取值。这就得到了一个 的函数。又将该函数关于 积分而在 和 间对其取值。,例,第,6,节 经济学应用,价格变化引起的消费者福利变化的侧定,消费者福利损失,：,补偿变动,为消费者福利保持和价格上涨之前一样所需要的额外收入,等价变动 为要使消费者在初始价格水平下福利水平和新价格水平下保持一致时，我们需要从消费者身上取走的收入数额。,三种测量方法之间的比较,由一致性可知,从而,由谢泼德引理可知,两边取定积分有,类似的,即消费者剩余测量的是马歇尔需求函数下方区域的面积。补偿变量和等价变量测量的是希克斯需求函数下方区域的面积，不过它们曲线之间效用水平不同。,由斯拉斯基方程可知,对于正常品，马歇尔需求函数的斜率小于希克斯需求函数的斜率，有,补偿变量是要使在新的较低价格下消费者的效用保持在原先最大效用水平而需要从消费者收入中扣除的数额，而等价变量为要使消费者在之前价格水平下达到新的最大化效用水平需要增加的收入数额。,洛伦兹曲线和基尼系数,洛伦兹曲线,基尼系数：,洛伦兹曲线,现值,离散情形,计算可得,则,时期 现值为,整个项目
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