垂径定理及其推论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,垂直,于弦的直径,平分,弦，并且平分弦所对的两条弧,知识要点,D,O,A,B,E,C,垂径定理,1,AE,BE,AC,BC,AD,BD,CD是直径，AB是弦，,CDAB,直径过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的优弧,平分弦所对的劣弧,题设,结论,D,O,A,B,E,C,垂径定理,将题设与结论调换过来，还成立吗？,这五条进行排列组合，会出现多少个命题？,2,直径过圆心,平分弦,垂直于弦,平分弦所对优弧,平分弦所对的劣弧,（1）,平分弦,（不是直径）的,直径,垂直于弦,，并且,平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1,D,O,A,B,E,C,已知：,CD,是直径，,AB,是弦，,CD,平分,AB,求证：,CD,AB,，,AD,BD,，,AC,BC,3,一个圆的任意两条,直径总是互相平分,，,但它们不一定互相垂直,因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立,O,A,B,M,N,C,D,注意,为什么强调这里的弦,不是直径,？,4,直径过圆心,平分弦所对优弧,平分弦,垂直于弦,平分弦所对的劣弧,垂径定理的推论1,（2）,平分弦所对的一条弧,的,直径,，,垂直平分弦,，并且,平分弦所对的另一条弧,已知：,CD,是直径，,AB,是弦，并且,AC,BC,求证：,CD,平分,AB,，,CD,AB,，,AD,BD,D,O,A,B,E,C,5,直径过圆心,平分弦所对的劣弧,平分弦,平分弦所对优弧,垂直于弦,垂径定理的推论1,（2）,平分弦所对的一条弧,的,直径,，,垂直平分弦,，并且,平分弦所对的另一条弧,已知：,CD,是直径，,AB,是弦，并且,AD,BD,求证：,CD,平分,AB,，,CD,AB,，,AC,BC,D,O,A,B,E,C,6,垂直于弦,平分弦,直径过圆心,平分弦所对优弧,平分弦所对的劣弧,（3）弦的,垂直平分,线 经,过圆心,，并且,平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1,已知：,AB,是弦，,CD,平分,AB,，,CD,AB,，,求证：,CD,是直径，,AD,BD,，,AC,BC,D,O,A,B,E,C,7,垂直于弦,平分弦所对优弧,直径过圆心,平分弦,平分弦所对的劣弧,推论1的其他命题.,垂直于弦,平分弦所对的劣弧,直径过圆心,平分弦,平分弦所对优弧,（4）,垂直于弦,并且,平分弦所对的一条弧,的,直径过圆心,，,并且,平分弦和所对的另一条弧,8,平分弦,平分弦所对优弧,直径过圆心,垂直于弦,平分弦所对的劣弧,（5）,平分弦,并且,平分弦所对的一条弧,的,直径过圆心,，,垂直于弦,，,并且,平分弦所对的另一条弧,平分弦,平分弦所对的劣弧,直径过圆心,垂直于弦,平分弦所对优弧,9,平分弦所对优弧,平分弦所对的劣弧,直径过圆心,垂直于弦,平分弦,（6）,平分弦所对的两条弧,的,直径过圆心,，,并且,垂直平分弦,10,AM,BM,，,CM,DM,垂径定理的推论2,圆的两条,平行弦,所夹的,弧相等,M,O,A,B,N,C,D,证明：作直径,MN,垂直于弦,AB,AB,CD,直径,MN,也垂直于弦,CD,AM,CM,BM,DM,即,AC,BD,11,A,B,C,D,两条弦在圆心的同侧,两条弦在圆心的两侧,垂径定理的推论2有这两种情况：,O,O,A,B,C,D,12,C,D,A,B,E,已知：,AB,求作：,AB,的,中点,点E就是所求,AB,的中点,作法：,1 连结,AB,2 作,AB,的垂直平分线,CD,，交,AB,于点E,小练习,13,A,B,C,D,E,已知：AB,求作：AB的四等分点,作法：,1 连结,AB,3 连结,AC,2 作,AB,的垂直平分线，交,AB,于点,E,4 作,AC,的垂直平分线，交,AC,于点,F,5 点,G,同理,点,D,、,C,、,E,就是,AB,的四等分点,14,A,B,C,作,AC,的垂直平分线,作,BC,的垂直平分线,这种方法对吗？,等分弧时一定要作,弧所夹弦,的垂直平分线,15,C,A,B,O,你能确定,AB,的圆心吗？,作法：,1 连结,AB,2 作,AB,的垂直平分线，交,AB,于点,C,3 作,AC,、,BC,的垂直平分线,4 三条垂直平分线交于一点,O,点,O,就是,AB,的圆心,16,17,你能破镜重,圆,吗？,A,B,C,m,n,O,作弦,AB,、,AC,及它们的垂直平分线,m,、,n,，交于,O,点；以,O,为圆心，,OA,为半径作圆,作法：,依据：,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,18,垂径定理三角形,d+h=r,d,h,a,r,有哪些等量关系？,在,a，d，r，h,中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量,19,课堂小结,1 圆是轴对称图形,任何一条直径,所在的直线,都是它的对称轴,O,20,垂直,于弦的直径,平分,弦，并且平分弦所对的两条弧,2 垂径定理,D,O,A,B,E,C,21,条件,结论,命题,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦,3垂径定理的推论,22,经常是过圆心作弦的,垂线,，或作,垂直于弦的直径,，,连结半径,等辅助线，为应用垂径定理创造条件,4,解决有关弦的问题,23,1 判断：,（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧 （）,（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧 （）,（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）,（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行,（）,（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧,（）,随堂练习,24,2 在,O,中，弦,AB,的长为8,cm,，圆心,O,到,AB,的距离为3,cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,解：,答：,O,的半径为5,cm,25,4 已知在,O,中，弦AB的长为16,cm,，圆心,O,到,AB,的距离为6,cm,，求,O,的半径,解：连结,OA,过,O,作,OE,AB,，垂足为,E,，,则,OE,3,cm,，,AE,BE,AB,16,cm,AE,8,cm,在,Rt,AOE,中，根据勾股定理有,OA,10,cm,O,的半径为10,cm,A,E,B,O,26,4、如图，CD是,O,的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,O,A,B,E,C,D,解：,连接OA，,CD是直径，OEAB,AE=1/2 AB=5,设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得,x,2,=5,2,+(x-1),2,解得：x=13,OA=13,CD=2OA=26,即直径CD的长为26.,27,9 在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于,C,，,D,两点,求证：,AC,BD,证明：过,O,作,OE,AB,，垂足为,E,，,则,AE,BE,，,CE,DE,AE,CE,BE,DE,所以，,AC,BD,E,A,C,D,B,O,28,29,