蒙特卡罗方法在积分计算中的应用省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版样式,单击此处编辑幻灯片母版样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第七章,蒙特卡罗方法在积分计算中应用,蒙特卡罗方法求积分,主要抽样,俄国轮盘赌和分裂,半解析方法,系统抽样,分层抽样,1/19,第七章,蒙特卡罗方法在积分计算中应用,计算多重积分是蒙特卡罗方法主要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分蒙特卡罗方法各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用。,2/19,蒙特卡罗方法求积分,蒙特卡罗方法求积分普通规则以下：任何一个积分，都可看作某个随机变量期望值，所以，能够用这个随机变量平均值来近似它。,3/19,设欲求积分,其中，,P,P,(,x,1,，,x,2,，,x,s,)表示,s,维空间点，,V,s,表示积分区域。取,V,s,上任一联合概率密度函数,f,(,P,)，令,则,即,是随机变量,g,(,P,)数学期望，,P,分布密度函数为,f,(,P,)。现从,f,(,P,)中抽取随机向量,P,N,个样本：,P,i,，,i,1，2，,N,，则,就是,近似预计。,4/19,主要抽样,偏倚抽样和权重因子,取,V,s,上任一联合概率密度函数,f,1,(,P,)，令,则有,现从,f,1,(,P,)中抽样,N,个点：,P,i,，,i,1，2，,N,，则,就是,又一个无偏预计。,5/19,主要抽样和零方差技巧,要使 最小，就是使泛函If1 极小。,利用变分原理，能够得到最优,f,1,(,P,)为,6/19,尤其地，当,g,(,P,)0 时，有,这时,即,g,1,方差为零。实际上，这时有,不论那种情况，我们称从最优分布,f,l,(,P,)抽样为主要抽样，称函数|,g,(,P,)|为主要函数。,7/19,俄国轮盘赌和分裂,分裂,设整数,n,1，令,则,于是计算,问题，可化为计算,n,个,i,和来得到，而每个,g,i,(,P,)为原来,预计,g,(,P,)1/,n,，这就是分裂技巧。,8/19,俄国轮盘赌,令 0,q,1，,则,于是,变为一个两点分布随机变量期望值，,特征为：,这么就能够经过模拟这个概率模型来得到,，这就是俄国轮盘赌。,9/19,主要区域和不主要区域,我们往往称对积分,贡献大积分区域为主要区域，或感兴趣区域；称对积分,贡献小区域为不主要区域，或不感兴趣区域。,考虑二重积分,令,R,是,V,2,上,x,积分区域，表为,R,R,1,+,R,2,，其中,R,1,是主要区域，,R,2,是不主要区域，二者互不相交。又命,Q,为,V,2,上对应于,y,积分区域。则,10/19,通常蒙特卡罗方法，由,f,(,x,y,)抽样(,x,y,)步骤是：从,f,l,(,x,)中抽取,x,i,，再由,f,2,(,y,|,x,i,)中抽样确定,y,i,，然后用,作为,一个无偏预计。,现在，改变抽样方案以下：,当,x,R,1,时，定义一个整数,n,(,x,i,)1，对一个,x,i,，抽取,n,(,x,i,)个,y,ij,，,j,1，2，,n,(,x,i,)。以平均值,代替上述,预计式中,g,(,y,i,x,i,)。,11/19,当,x,R,2,时，定义一个函数,q,(,x,i,)，0,q,(,x,i,)1，,以抽样值,代替上述,预计式中,g,(,y,i,x,i,)。这里,是随机数。,显然，这种抽样预计技巧，就是对,x,R,1,时，利用分裂技巧，而对,x,R,2,时，利用俄国轮盘赌，而使预计期望值不变。因为对主要区域多抽样，对不主要区域少观察，所以能使预计有效性增高。,12/19,半解析（数值）方法,考虑二重积分,令,则,x,为,无偏预计。,13/19,x,方差为,而由,f,(,x,y,)抽样(,x,y,)，用,g,(,x,y,)作为,预计，其方差为,14/19,系统抽样,我们知道，由,f,(,x,y,)抽样(,x,y,)步骤是：,从,f,l,(,x,)中抽取,x,i,，,再由,f,2,(,y,|,x,i,)中抽样确定,y,i,，,现在改变,x,i,抽样方法以下：,15/19,y,i,抽样方法不变。,其方差为,与通常蒙特卡罗方法相比，方差降低了约,16/19,分层抽样,考虑积分,在（0，1）间插入,J,1个点,0,0,1,J,-1,J,1,令,17/19,则有,现在，用蒙特卡罗方法计算,j,，对每个,j,利用,f,j,(,x,)中,n,j,个样本,x,ij,，那么有,18/19,19/19,