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逻辑函数及其简化,2.1,逻辑代数,2.2,逻辑函数简化,第1页,1849,年，英国数学家乔治,-,布尔，,布尔代数,描述客观事物逻辑关系数学方法,1938,年，克劳德,-,香农，,开关代数,将布尔代数应用到继电器开关电路设计，又称为,。,布尔代数成为数字逻辑电路分析和设计基础，又称为,逻辑代数,本章重点：逻辑函数化简,第2页,2.1,逻辑代数,2.1.1,基本逻辑,逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理数学描述。,含有,“,真,”,与,“,假,”,两种可能，而且能够判定其,“,真,”,、,“,假,”,陈说语句叫,逻辑变量,。普通用英文大写字母,A,，,B,，,C,表示。比如，,“,开关,A,闭合着,”,，,“,电灯,F,亮着,”,，,“,开关,D,开路着,”,等均为逻辑变量，可分别将其记作,A,，,F,，,D,；,“,开关,B,不太灵活,”,，“电灯,L,价格很贵”等均不是逻辑变量。,第3页,一个结论成立是否，取决于与其相关前提条件是否成立。结论与前提条件之间因果关系叫,逻辑函数,。通常记作：,F,=,f(A,B,C,),逻辑函数,F,也是一个逻辑变量，叫做因变量或输出变量。所以它们也只有,“,1,”,和,“,0,”两种取值，相对地把,A,，,B,，,C,，,叫做,自变量,或输入变量。,2.1.1,基本逻辑,第4页,1.,与逻辑,(,与运算、逻辑乘,),决定某一结论全部条件同时成立，结论才成立，这种因果关系叫,与逻辑,，也叫与运算或叫逻辑乘。,图,2-1,与门逻辑电路实例图,比如，对图,2-1,所表示电路功效作以下描述：“开关,A,闭合，而且开关,B,闭合，则电灯,F,亮”。,2.1.1,基本逻辑,第5页,这三个陈说语句均含有,“,真,”,、,“,假,”,两种可能，其对应关系如表,2-1(,a,),所表示。用,“,1,”代表逻辑,“,真,”,，用,“,0,”代表逻辑,“,假,”,，则表,2-1(,a,),可改为表,2-1(,b,),形式。这种表格叫真值表。所谓,真值表,，就是将输入变量全部可能取值组合对应输出变量值一一列出来表格。它是描述逻辑功效一个主要形式。,表,2-1,与逻辑真值表,(a),(b),A B,F,A B,F,假 假,假 真,真 假,真 真,假,假,假,真,0 0,0 1,1 0,1 1,0,0,0,1,1.,与逻辑,(,与运算、逻辑乘,),第6页,由表,2-1,可知，上述三个语句之间因果关系属于与逻辑。其逻辑表示式,(,也叫逻辑函数式,),为：,F=A,B,读作,“,F,等于,A,乘,B,”。在不致于混同情况下，能够把符号,“,”,省掉。在有些文件中，也采取、,&,等符号来表示逻辑乘。,由表,2-1,真值表可知，逻辑乘基本运算规则为：,0,0=0 0,1=0 1,0=0 1,1=1,0,A,=0 1,A,=,A,A,A,=,A,1.,与逻辑,(,与运算、逻辑乘,),第7页,实现,“,与运算,”,电路叫与门，其逻辑符号如图,2-2,所表示，其中图,(a),是我国惯用传统符号，图,(,b,),为国外流行符号，图,(,c,),为国家标准符号。,图,2-2,与门逻辑符号,1.,与逻辑,(,与运算、逻辑乘,),第8页,决定某一结论全部条件中，只要有一个成立，则结论就成立，这种因果关系叫,或逻辑,。,比如，对图,2-3,所表示电路功效，作以下描述：“开关,A,闭合，或者开关,B,闭合，则电灯,F,亮,”,。显然这三个语句都是逻辑变量，分别记作,A,，,B,，,F,。其真值表如表,2-2,所表示。,图,2-3,或门逻辑电路实例图,2.,或逻辑,(,或运算、逻辑加,),第9页,表,2-2,或逻辑真值表,(a),(b),A B,F,A B,F,假 假,假 真,真 假,真 真,假,真,真,真,0 0,0 1,1 0,1 1,0,1,1,1,由表,2-2,可知，上述三个语句之间因果关系属于或逻辑。其逻辑表示式为：,F=A+B,读作“,F,等于,A,加,B,”,。,有些文件也采取、等符号来表示逻辑加。,2.,或逻辑,(,或运算、逻辑加,),第10页,逻辑加运算规则为：,0+0=0 0+1=1,1+0=1 1+1=1,0+A=A 1+A=1,A+A=A,实现“或运算”电路叫,或门,，其逻辑符号如图,2-4,所表示。,图,2-4,或门逻辑符号,2.,或逻辑,(,或运算、逻辑加,),第11页,若前提条件为,“,真,”,，则结论为,“,假,”,；若前提条件为,“,假,”,，则结论为,“,真,”,。即结论是对前提条件否定，这种因果关系叫,非逻辑,。比如，对图,2-5,所表示电路功效作以下描述：,“,若开关,A,闭合，则电灯,F,就亮,”,。把以上两个陈说句分别记作,A,、,F,，则其真值表如表,2-3,所表示。,图,2-5,非门逻辑电路实例图,3.,非逻辑,(,非运算，逻辑反,),第12页,(a),(b),A,F,A,F,假,真,真,假,0,1,1,0,表,2-3,非逻辑真值表,3.,非逻辑,(,非运算，逻辑反,),由表,2-3,真值表可知，上述两个语句之间因果关系属于非逻辑，也叫非运算或者叫逻辑反。其逻辑表示式为：,读作,“,F,等于,A,非,”,。通常称,A,为原变量，为反变量，二者共同称为互补变量,第13页,完成“非运算”电路叫,非门,或者叫,反相器,，其逻辑符号如图,2-6,所表示。,3.,非逻辑,(,非运算，逻辑反,),非运算运算规则是：,图,2-6,非门逻辑符号,(a),惯用符号；,(b),国外流行符号；,(c),国家标准符号,第14页,2.1.2,基本逻辑运算,1.,逻辑加（或运算）,逻辑加意义是,A,或,B,只要有一个为,1,，则函数值,P,就为,1,。它表示或逻辑关系。在电路上可用或门实现逻辑加运算，又称为,或运算,。运算规则为：,A,0,A,A,1,1,A,A,A,推出,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1,第15页,2.,逻辑乘（与运算）,逻辑乘意义是,A,或,B,都为,1,时，函数值,P,才为,1,。它表示与逻辑关系。在电路上可用与门实现逻辑乘运算，又称为,与运算,。运算规则为：,推出,第16页,3.,逻辑非（非运算）,逻辑非意义是函数值为输入变量反。在电路上可用非门实现逻辑非运算，又称为,非运算,。运算规则为：,推出,第17页,4.,复合逻辑运算,（,1,）与非逻辑,“,与非,”,逻辑是,“,与,”,逻辑和,“,非,”,逻辑组合。先,“,与,”,再,“,非,”,。其表示式为,实现“与非”逻辑运算电路叫“与非门”。其逻辑符号如图,2-7,所表示。,惯用符号；,(b),国外流行符号；,(c),国家标准符号,图,2-7,与非门逻辑符号,第18页,（,2,）,“,或非,”,逻辑,“或非”逻辑是“或”逻辑和“非”逻辑组合。先“或”后“非”。其表示式为：,实现“或非”逻辑运算电路叫“或非门”。其逻辑符号如图,2-8,所表示。,惯用符号；,(b),国外流行符号；,(c),国家标准符号图,图,2-8,或非门逻辑符号,第19页,(3),“,与或非,”,逻辑,“,与或非,”,逻辑是,“,与,”,、,“,或,”,、,“,非,”,三种基本逻辑组合。其表示式为：,实现“与或非”逻辑运算电路叫“与或非门”。其逻辑符号如图,2-9,所表示。,惯用符号；,(b),国外流行符号；,(c),国家标准符号,图,2-9,与或非门逻辑符号,第20页,(4),“,异或,”,逻辑及,“,同或,”,逻辑,两变量“异或”及“同或”逻辑,若两个输入变量,A,、,B,取值相异，则输出变量,P,为,1,；若,A,、,B,取值相同，则,P,为,0,。这种逻辑关系叫,“异或”逻辑,，其逻辑表示式为：,读作“,P,等于,A,异或,B,”,。“异或”运算也叫“模,2,加”运算。,第21页,实现“异或”运算电路叫“,异或门,”。其逻辑符号如图,2-10,所表示。,惯用符号；,(b),国外流行符号；,(c),国家标准符号,图,2-10,异或门逻辑符号,第22页,若两个输入变量,A,、,B,取值相同，则输出变量,P,为,1,；若,A,、,B,取值相异，则,P,为,0,。这种逻辑关系叫,“同或”逻辑,，也叫,“,符合,”,逻辑。其逻辑表示式为：,实现“同或”运算电路叫“同或门”。其逻辑符号如图,2-11,所表示。,惯用符号；,(b),国外流行符号；,(c),国家标准符号,图,2-11,同或门逻辑符号,第23页,两变量“异或”及“同或”逻辑真值表如表,2-4,所表示。,表,2-4 “,异或”及“同或”逻辑真值表,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,0,1,1,0,1,0,0,1,第24页,“,异或”和“同或”运算规则：,00=1,01=0,10=0,11=1,A0=A,A1=A,AA=0,AA=1,AB=A,B,AB=A,B,A,B=AB,AB=A,B=A,B,A,B=AB=AB,第25页,定义：对于输入变量全部取值组合，函数,F,1,和,F,2,取值总是相反，则称,F,1,和,F,2,互为,反函数,。记作：,由表,2-4,可知，两变量“异或逻辑”和“同或逻辑”互为反函数。即,由对偶规则,(,见,2.1.5),可知，,A B,和,AB,互为对偶式。,A,B,A,B,反函数,第26页,多变量“异或”及“同或”逻辑,多变量,“,异或,”,或,“,同或,”,运算，要利用两变量,“,异或门,”,或,“,同或门,”,来实现。实现电路分别如图,2-12,和图,2-13,所表示。,(1)n,个变量“异或”逻辑输出值和输入变量取值对应关系是：输入变量取值组合中，有奇数个,1,时，“异或”逻辑输出值为,1,；反之，输出值为,0,。利用此特征，可作为奇偶校验码校验位产生电路。,(2),偶数个变量,“,同或,”,，等于这偶数个变量,“,异或,”,之非。奇数个变量,“,同或,”,，等于这奇数个变量,“,异或,”,。,第27页,图,2-12,多变量“异或”电路,由图,2-12(,a,),得：,由图,2-12(,b,),得：,第28页,图,2-13,多变量“同或”电路,由图,2-13(,a,),得：,由图,2-13(,b,),得：,Y,1,=A B,Y=Y,1,C=(A B)C,=A B C,Y,1,=A B Y,2,=C D,Y=Y,1,Y2,=(A B)(C D),=A B C D,第29页,2.1.3,真值表与逻辑函数,图,2-14,楼道灯开关示意图,A,B,a,d,b,c,在实际问题中，基本逻辑运算极少单独出现。,开关,A,开关,B,灯,c d,亮,c b,灭,a d,灭,a b,亮,第30页,设逻辑变量,开关,A,开关,B,灯,c d,亮,c b,灭,a d,灭,a b,亮,取,P=1,表示灯亮,P=0,表示灯灭,开关,A,和,B,接,a,b,时为,1,开关,A,和,B,接,c,d,时为,0,A B P,0 0 1,0 1 0,1 0 0,1 1 1,真值表,逻辑函数表示式：,第31页,与或表示式：,把每个输出变量,P=1,相对应一组输入变量组合状态以逻辑乘形式表示（用原变量表示变量取值,1,，反变量表示取,0,），再将全部,P=1,逻辑乘进行逻辑加，即得出,P,逻辑表示式，这种表示式又称为与或表示式，或称为“积之和”式。,或与表示式：,把每个输出变量,P=0,相对应一组输入变量组合状态以逻辑乘形式表示（用原变量表示变量取值,0,，反变量表示取,1,），再将全部,P=0,逻辑加进行逻辑乘，即得出,P,逻辑表示式，这种表示式又称为或与表示式，或称为“和之积”式。,第32页,例,2-1,列出下述问题真值表，并写出描述该问题逻辑函数表示式。,有,A,、,B,、,C3,个输入信号，当,3,个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出为高电平，其余情况下，均输出低电平。,解,A,、,B,、,C3,个输入信号共有,8,中可能输入组合，,000,，,001,，,010,，,011,，,100,，,101,，,110,，,111,依据问题要求，可得到真值表以下：,A 0 1 0 1 0 1 0 1,B 0 0 1 1 0 0 1 1,C 0 0 0 0 1 1 1 1,P 0 0 0 1 0 1 1 1,函数表示式为：,表,2-5,真值表,第33页,2.1.4,逻辑函数相等,假设，,F(A,1,A,2,A,n,),为变量,A,1,A,2,A,n,逻辑函数，,G(A,1,A,2,A,n,),为变量,A,1,A,2,A,n,另一逻辑函数，假如对应于,A,1,A,2,A,n,任一组状态组合，,F,和,G,值都相同，则称,F,和,G,是等值，或者说,F,和,G,相等，记作,F=G.,F,和,G,有相同真值表,F,G,第34页,例,2-2,设,F(A,B,C)=A(B+C),G(A,B,C)=AB+AC,试证实：,F=G,A B C F=A(B+C)G=AB+AC,0 0 0 0 0,0 0 1 0 0,0 1 0 0 0,0 1 1 0 0,1 0 0 0 0,1 0 1 1 1,1 1 0 1 1,1 1 1 1 1,证实：真值表,表,2-6,真值表,第35页,结论,:,在“相等”意义下，,A(B+C),和,AB+AC,是表示同一逻辑两种不一样表示式。,（,1,）关于变量和常量关系公式,p24,A+0=A,A+1=1,第36页,交换律,A+B=B+A,AB=BA,（,2,）交换律、结合律、分配律,p24,结合律,A+B+C=(A+B)+C,ABC=(AB)C,分配律,A(B+C)=AB+AC,A+BC=(A+B)(A+C),第37页,（,3,）逻辑代数一些特殊规律,p24-25,重合律,A+A=A,AA=A,反演律,第38页,2.1.5,三个规则,1,、代入规则,2,、反演规则,3,、对偶规则,1,、代入规则,任何一个含有变量,A,等式，假如将全部出现,A,地方都代之以一个逻辑函数,F,，则等式依然成立。,例,2-3,已知等式,A(B+E)=AB+AE,，试证实将全部出现,E,地方代之以,(C+D),，等式仍成立。,解：原式左边,AB+(C+D)=AB+A(C+D)=AB+AC+AD,原式右边,AB+A(C+D)=AB+AC+AD,所以等式成立：,AB+(C+D)=AB+A(C+D),第39页,2,、反演规则,（德摩根定理，互补规则）,例,2-4,已知 ，求,解：能够推导,直接用反演规则,设,F,是一个逻辑函数表示式，假如将,F,进行以下转换：,0,1,1,0,全部变量取反,得到新函数式 ，称为原函数,F,反函数，或称为补函数,第40页,3,、对偶规则,设,F,是一个逻辑函数表示式，假如将,F,进行以下转换：,0,1,1,0,得到新函数式 ，称为原函数,F,对偶式,F=A(B+C)G=AB+AC,则：,第41页,2.1.6,惯用公式,第42页,证实,：,推广之,：,C,A,AB,BC,C,A,AB,BCD(G+E),BC,C,A,AB,BCD(G+E),C,A,AB,+,=,+,+,=,+,+,+,=,+,+,1,吸收,吸收,证实,p28,惯用公式,4,C,A,AB,BC,A,ABC,C,A,AB,+,=,+,+,+,=,第43页,基本表示形式,按逻辑函数表示式中乘积项特点以及各乘积项之间关系，可分,5,种普通形式。,例,：,与或式,与非与非式,与或非式,或与式,或非或非式,2.1.7,逻辑函数标准形式,第44页,最小项及最小项表示式,假如一个含有,n,个变量函数“积”项包含,全部,n,个变量,每个变量都以,原变量,或,反变量,形式出现,且仅出现一次，则这个“积”项被称为,最小项,，也叫,标准积,。,假如一个函数完全由最小项和组成,那么该函数表示式称为,最小项表示式,。,最小项表示式,第45页,变量各组取值,A B C,000,001,010,011,100,101,110,111,对应最小项及其编号,最小项,编 号,编号规则,:,原变量取,1,反变量取,0,。,表,2-7,三变量函数最小项：,第46页,例,2-5,将 展开成最小项表示式,解：,第47页,即,n,个变量全部最小项之和恒等于1。,所以,=,m,2,+,m,3,+,m,6,+,m,7,注意：变量次序,.,=,m,(2,3,6,7),第48页,2,）当,时，,。,1,）只有一组取值使,m,i,1,。,3,）全部最小项之和等于,1,，即,mi,1,。,最小项性质：,第49页,5,）当函数以最小项之和形式表示时，可很轻易列出,函数及反函数真值表（在真值表中，函数所包含,最小项填“,1”,）。,4,）,n,变量最小项有,n,个相邻项。,一对相邻项之,和,能够消去一个变量,。,相邻项：只有一个变量不一样（以相反形式出现）。,第50页,普通表示式,：,除非号,去括号,补因子,真值表,除非号,去括号,补因子,方法,最小项表示式求法,第51页,例,2-6,：函数,F=AB+AC,A B C F,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,1,1,1,1,其余,补,0,0,0,0,0,表,2-8,用真值表求最小项表示式,第52页,例,2-7,：函数,F=AB+AC,所以,:,F=m(1,3,4,5),由普通表示式直接写出最小项表示式,第53页,最大项及最大项表示式,假如一个含有,n,个变量函数“和”项包含,全部,n,个变量,每个变量都以,原变量,或,反变量,形式,出现,且,仅,出现,一次,，则这个“和”项被称为,最大项,，也叫,标准和,。,假如一个函数完全由最大项,积,组成,那么该函数表示式称为,最大项表示式,。,最大项表示式,第54页,变量各组取值,A B C,000,001,010,011,100,101,110,111,对应最大项及其编号,最大项,编 号,编号规则,:,原变量取,0,反变量取,1,。,表,2-9,三变量函数最大项,第55页,所以与最小项类似，有,注意：变量次序,.,比如：,最大项表示式,:,F,第56页,两种标准形式转换,以最小项之,和,形式表示函数能够转换成最大项之,积,形式，反之亦然。,=,m,(2,3,6,7),F(A,B,C)=,m,(0,1,4,5),=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C),而,:,所以,有,F(A,B,C)=m(2,3,6,7)=,M(0,1,4,5),F,(A,B,C)=,m,(0,1,4,5),同理,第57页,例,2-8,A B C F,0 0 0 1,0 0 1 1,0 1 0 1,0 1 1 1,1 0 0 1,1 0 1 0,1 1 0 0,1 1 1 0,解,表,2-10,第58页,作业,2-1,P51,52,习题,1.(3),2.(2),3.(1)(3),4.(1)(3),5.(4)(7),7.(1),小结,2-1,重点：,惯用公式,三个规则（代入规则，反演规则，对偶规则）,难点：,反演规则,第59页,2.2,逻辑函数简化,逻辑函数与逻辑图,图,2-15,函数逻辑图,第60页,从逻辑问题概括出来逻辑函数式，不一定是最简式。化简电路，就是为了降低系统成本，提升电路可靠性，方便用最少门实现它们。比如函数,如直接由该函数式得到电路图，则如图,2-16,所表示。,图,2-16 F,原函数逻辑图,第61页,但假如将函数化简后其函数式为,F,=,AC,+,B,只要两个门就够了，如图,2-17,所表示。,图,2-17,函数化简后逻辑图,力争,“,表示式简单,”“,电路使用元器件少,”“,设备简单,”,第62页,逻辑函数化简标准,逻辑函数化简，并没有一个严格标准，通常遵照以下几条标准：,(1),逻辑电路所用门最少；,(2),各个门输入端要少；,(3),逻辑电路所用级数要少；,(4),逻辑电路能可靠地工作。,第63页,逻辑函数化简方法,逻辑函数化简，依据函数特点，主要有三种方法：,(1),公式法化简；,(2),卡诺图化简；,(3),计算机辅助系统化简。,第64页,该方法利用逻辑代数公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定步骤能够遵照，主要取决于对公理、定理和规则熟练掌握及灵活利用程度。,有时极难判定结果是否为最简。,2.2.1,公式化简法（代数法）,第65页,2.1.6,惯用公式,第66页,1.,应用吸收定律,1,任何两个相同变量逻辑项，只有一个变量取值不一样,(,一项以原变量形式出现，另一项以反变量形式出现,),，我们称为逻辑相邻项,(,简称相邻项,),。如,AB,与 ，,ABC,与,都是相邻关系。假如函数存在相邻项，可利用吸收定律,1,，将它们合并为一项，同时消去一个变量。,第67页,例,2-9,解,有时两个相邻项并非经典形式，应用代入法则能够扩大吸收定律,1,应用范围。,例,2-10,解,令 ，则,第68页,例,2-11,解,令,例,2-12,解,利用等幂律，一项能够重复用几次。,第69页,例,2-13,其中 与其余四项均是相邻关系，能够重复使用。,解,所以,第70页,2,.,应用吸收定律,2,、,3,利用它们，能够消去逻辑函数式中一些多出项和多出因子。若式中存在某单因子项，则包含该因子其它项为多出项，可消去。如其它项包含该因子“反”形式，则该项中“反”因子为多出变量，可消去。,例,2-14,解,第71页,例,2-15,解,令,则,第72页,例,2-16,解,令,第73页,3.,应用多出项定律,例,2-17,解,例,2-18,解,第74页,例,2-19,化简,解,第75页,4.,综合例子,例,2-20,化简,解,第76页,5.,拆项法,例,2-21,化简,解,直接用公式已无法再化简时，可采取拆项法。拆项法就是用 去乘某一项，将一项拆成两项，再利用公式与别项合并到达化简目标。,第77页,6.,添项法,在函数中加入零项因子 ，利用加进新项，深入化简函数。,例,2-22,化简,解,第78页,解：,例,2-23,第79页,例,2-24,第80页,反演,被吸收,被吸收,配项,例,2-25,第81页,作业,2-2,P52-53,习题,8.(1)(3)(5),小结,2-2,重点：,惯用公式了解与熟练应用,难点：,公式法化简怎样得到一个最简结果,第82页,2.2.2,图解法（卡诺图化简）,1,、卡诺图化简基本原理,卡诺图结构特点是需确保逻辑函数逻辑相邻关系，即图上几何相邻关系。卡诺图上每一个小方格代表一个最小项。为确保上述相邻关系，每相邻方格变量组合之间只允许一个变量取值不一样。为此，卡诺图变量标注均采取循环码。,第83页,如图所表示：,一变量卡诺图：有,2,1,=2,个最小项，所以有两个方格。外标,0,表示取,A,反变量，,1,表示取,A,原变量。,二变量卡诺图：有,2,=4,个最小项，所以有四个方格。外标,0,、,1,含义与前一样。,三变量卡诺图：有,2,3,=8,个最小项。,图,2-18 15,变量卡诺图,(1),第84页,四变量、五变量卡诺图分别有,2,4,=16,和,2,5,=32,个最小项，其卡诺图如图,2-18(,d,),和,2-184(,e,),所表示。,图,2-18 15,变量卡诺图,(2),第85页,2,、逻辑函数卡诺图表示法,若将逻辑函数式化成最小项表示式，则可在对应变量方格中填上,1,，其余填,0,，以下函数可用卡诺图表示成图,2-19,。如逻辑函数式是普通式，则应首先展开成最小项标准式。实际中，普通函数式可直接用卡诺图表示。,图,2-19,逻辑函数用卡诺图表示,第86页,例,2-,26,将 用卡诺图表示。,解,我们逐项用卡诺图表示，然后再合起来即可。,：在,B,=1,C,=0,对应方格,(,不论,A,，,D,取值,),填,1,；：在,C,=1,D,=0,所对应方格中填,1,；：在,B,=0,，,C,=,D,=1,对应方格中填,1,；：在,A,=,C,=0,D,=1,对应方格中填,1,；,ABCD,：填,1,。,图,2-20,逻辑函数直接用卡诺图表示,第87页,3,、相邻最小项合并规律,1.,两相邻项可合并为一项，消去一个取值不一样变量，保留相同变量；,2.,四相邻项可合并为一项，消去两个取值不一样变量，保留相同变量，标注为,1,原变量，,0,反变量；,3.,八相邻项可合并为一项，消去三个取值不一样变量，保留相同变量，标注与变量关系同上。,4.,按上规律，不难得,16,个相邻项合并规律。,第88页,图,2-21,相邻最小项合并规律,第89页,注意：,合并规律是,2,n,个最小项相邻项可合并，不满足,2,n,关系最小项不可合并。,如,2,、,4,、,8,、,16,个相邻项可合并，其它均不能合并；而且相邻关系应是封闭，如,m,0,、,m,1,、,m,3,、,m,2,四个最小项，,m,0,与,m,1,，,m,1,与,m,3,，,m,3,与,m,2,均相邻，且,m,2,和,m,0,还相邻。这么,2,n,个相邻最小项可合并。而,m,0,、,m,1,、,m,3,、,m,7,，因为,m,0,与,m,7,不相邻，因而这四个最小项不可合并为一项。,第90页,4,、与或逻辑化简,利用最小项标准式，在卡诺图上进行逻辑函数化简，得到基本形式是与或逻辑。其步骤以下：,(1),将原始函数用卡诺图表示；,(2),依据最小项合并规律画卡诺圈，圈住全部“”方格；,(3),将上述全部卡诺圈结果，“或”起来即得化简后新函数；,(4),由逻辑门电路，组成逻辑电路图。,第91页,例,2-,27,化简,解,第一步：用卡诺图表示该逻辑函数。,：对应,m,3,、,m,11,对应,m,4,、,m,5,、,m,12,、,m,13,对应,m,1,、,m,5,对应,m,10,、,m,11,图,2-22,例,2-27,函数卡诺图表示,第92页,第二步：画卡诺圈圈住全部“”方格。,详细化简过程见图,2-23,。为便于检验，每个卡诺圈化简结果应标在卡诺图上。,图,2-23,例,2-27,化简过程,第93页,第三步：组成新函数。每一个卡诺圈对应一个与项，然后再将各与项“或”起来得新函数。故化简结果为,第四步：画出逻辑电路。,图,2-24,例,2-27,化简后逻辑图,第94页,例,2-28,化简,解,其卡诺图及化简过程如图,2-11,所表示。在卡诺圈有各种圈法时，要注意怎样使卡诺圈数目最少，同时又要尽可能地使卡诺圈大。比较图,(,a,),、,(,b,),两种圈法，显然图,(,b,),圈法优于图,(,a,),圈法，因为它少一个卡诺圈，组成电路就少用一个与门。故化简结果应为图,(,b,),，逻辑图如图,2-12,所表示。其化简函数为,第95页,图,2-25,例,2-28,化简过程,第96页,图,2-26,例,2-28,逻辑图,第97页,例,2-,29,化简,解,该函数卡诺图如图,2-27(,a,),所表示，化简情况如图,(,b,),、,(,c,),所表示。图,(,b,),是初学者常圈成结果，图,(,c,),是正确结果，即,这二者差异在于图,(,b,),将,m,6,和,m,14,圈为二单元圈。图,(,c,),将,m,4,、,m,6,、,m,12,、,m,14,圈成四单元圈。前者化简结果为,BCD,，而后者为,BD,，少了一个变量。,第98页,图,2-27,例,2-29,化简过程,第99页,例,2-30,化简,解,其卡诺图及化简过程如图,2-28(,a,),所表示，逻辑图如图,(,b,),所表示，化简函数为,此例在圈过程中注意四个角,m,0,、,m,2,、,m,8,、,m,10,能够圈成四单元圈。,第100页,图,2-28,例,2-30,化简过程及逻辑图,第101页,例,2-,31,化简,解,化简过程如图,2-29(,a,),、,(,b,),所表示，,(,a,),中出现了多出圈。,m,5,、,m,7,、,m,13,、,m,15,即使可圈成四单元圈，但它每一个最小项均被别卡诺圈圈过，是多出圈，此时最正确结果应如图,(,b),所表示。化简结果逻辑电路图如图,2-29(,c,),所表示，化简函数为,第102页,图,2-29,例,2-31,化简过程及逻辑图,第103页,5,、其它逻辑形式化简,（,1,）与非逻辑形式,所谓与非式，就是全由与非门实现该逻辑，前面讲逻辑函数相互变换时已讲过，将与或式两次求反即得与非式。其化简步骤以下：,第一步：在卡诺图上圈“”方格，求得最简与或式；,第二步：将最简与或式两次求反，用求反律展开一次，得到与非表示式；,第三步：依据与非式，用与非门组成逻辑电路。,第104页,例,2-32,将例,2-272-31,用与非门实现。,解,例,2-27,与或结果为,图,2-30,例,2-27,用与非门实现,第105页,例,2-29,例,2-32,各与非式为,(,例,2-28),(,例,2-29),第106页,(,例,2-30),(,例,2-31),第107页,图,2-31,例,2-28,例,2-31,与非逻辑图,第108页,（,2,）或与逻辑形式,首先从卡诺图上求其反函数，其方法是圈“”方格，然后再用摩根定律取反即得或与式。,例,2-33,求,反函数和或与式。,图,2-32,求例,2-33,反函数,解,求反函数过程如图,2-32,所表示。,第109页,其次，再由反函数求得原函数，利用摩根定律就得或与式。,图,2-33,从卡诺图上直接圈得或与式,第110页,总结以下：,在卡诺图上圈“,0”,方格，其化简结果：变量为,0,原变量；变量为,1,反变量，然后变量再相“或”起来，就得每一或项，最终再将每一或项“与”起来而得或与式。故此例可不经过求反函数，直接由上述过程得到或与式,(,如图,2-33,所表示,),：,第111页,其逻辑图如图,2-34,所表示。,图,2-34,例,2-33,或与逻辑图,第112页,（,3,）或非逻辑形式,将或与逻辑两次求反即得或非表示式：,第113页,按逻辑表示式即可画出或非逻辑电路图，如图,2-35,所表示。,图,2-35,例,2-33,或非逻辑图,第114页,（,4,）与或非逻辑形式,与或非逻辑形式可从两种路径得到：一个是从与或式得到，例,2-27,将结果两次求反，不用摩根定律处理，即得与或非式。,另一个是求得反函数后，再求一次反，即不用摩根定律处理，也可得与或非式。例,2-33,结果求反即得。其逻辑图如图,2-36,所表示。普通前一个路径所得电路要多用一个反相器，所以惯用后一个方法得最简与或非式。,第115页,图,2-36,例,2-27,、例,2-33,与或非逻辑图,第116页,作业,2-3,P53,习题,9.(1)(4)(5)(7),小结,2-3,重点：,卡诺图化简四变量逻辑函数,难点：,怎样化简到最优状态,第117页,6,、无关项及无关项应用,逻辑问题分完全描述和非完全描述两种，对应于变量每一组取值，函数都有定义，即在每一组变量取值下，函数,F,都有确定值，不是“”就是“”，如表,2-5,所表示。逻辑函数与每个最小项均相关，这类问题称为完全描述问题。,在实际逻辑问题中，变量一些取值组合不允许出现，或者是变量之间含有一定制约关系。我们将这类问题称为非完全描述，如表,2-6,所表示。该函数只与部分最小项相关，而与另一些最小项无关，我们用,或者,d,或用,表示。,第118页,表,2-5,完全描述,A B C,F,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,表,2-6,非完全描述,A B C,F,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,X,1,X,X,X,第119页,对于含有没有关项逻辑函数可表示为,也可表示为,即不允许,AB,或,AC,或,BC,为,1,。,第120页,图,2-37,不考虑无关项化简,图,2-38,考虑无关项函数化简,1,1,AB,C,00,01,11,10,0,1,0,0,第121页,包含无关最小项逻辑函数化简,无关最小项,：,一个逻辑函数,假如它一些输入取值组合因受特殊原因制约而,不会再现,或者即使每种输入取值组合都可能出现,但此时函数取值为,1,还是为,0,无关紧要,那么这些输入取值组合所对应最小项称为,无关最小项,。无关最小项用“,d,”或者“,”,或者用,表示。,无关最小项能够随意加到函数表示式中，或不加到函数表示式中，并不影响函数实际逻辑功效。,其值能够取,1,，也能够取,0,。,第122页,例,2-34:,十字路口红绿灯,设控制信号,G=1,绿灯亮；,控制信号,R=1,红灯亮；,则,GR,能够为,GR=00,、,01,、,10,，但,GR 11,。,例,2-35:,电动机正反转控制,设控制信号,F=1,正转；,控制信号,R=1,反转；,则,FR,能够为,FR=00,、,01,、,10,，但,FR 11,。,例,2-36:,8421BCD,码中，从,1010,1111,六种编码不允许出现，可视为,无关最小项。,第123页,A B C DF,0 0 0 0,d,0 0 0 1,1,0 0 1 0,0,0 0 1 11,0 1 0 0,d,0 1 0 11,0 1 1 00,0 1 1 1,d,1 0 0 0,d,1 0 0 10,1 0 1 01,1 0 1 1,d,1 1 0 01,1 1 0 1,0,1 1 1 0,1,1 1 1 1,d,1,00 01 11 10,0001,11,10,AB,CD,1,1,1,1,1,解：,1),不考虑无关最小项,：,例,2-37,：,给定某电路逻辑函数真值表以下，求,F,
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