3.2--立体几何中的向量方法(全).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.1,立体几何中的向量方法,方向向量与法向量,l,A,P,、直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量,叫做,直线的,方向向量,.,一、方向向量与法向量,2,、平面的法向量,A,l,P,平面,的向量式方程,换句话说,与平面垂直的,非零向量,叫做平面,的,法,向量,.,o,x,y,z,A,B,C,O1,A1,B1,C1,例,1.,如图所示,正方体的棱长为,1,直线OA的一个方向向量坐标为_,平面,OABC,的一个法向量坐标为,_,平面,AB,1,C,的一个法向量坐标为,_,(-1,-11),(0,0,1),(1,0,0),练习 如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是,正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC=1,E,是,PC,的中点，求平面,EDB,的一个法向量,.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立空间直角坐标系,.,X,Y,Z,设平面,EDB,的法向量为,练习,设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系,.,垂直,平行,相交,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的,方向向量,与平面的,法向量,表示空间直线、平面间的,平行、垂直、夹角、距离,等位置关系,.,用向量方法解决几何问题,3.2.2,立体几何中的向量方法,平行关系,m,l,一,.,平行关系：,例,1.,用向量方法证明,定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,.,已知 直线,l,与,m,相交,例,2,四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方,形,PD,底面,ABCD,，,PD=DC=6,E,是,PB,的,中点，,DF:FB=CG:GP=1:2,.,求证：,AE/FG.,A,B,C,D,P,G,X,Y,Z,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG.,证：如图所示,建立,空间直角坐标系,.,/,AE,与,FG不共线,，,立体几何法呢？,M,N,例,3四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正,方形，,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的,中点，,(1),求证：,PA/,平面,EDB.,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,G,解,1,立体,几何法,连结,AC,交,BD,于点,G,，再连结,GE.,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,G,解,2,：如图所示建立空间直角坐标系，点,D,为坐标原点，设,DC=1,(1),证明：连结,AC,AC,交,BD,于点,G,连结,EG,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,解,3,：如图所示建立空间直角坐标系，点,D,为坐标原点，设,DC=1,(1),证明：,设平面,EDB,的法向量为A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,解,4,：如图所示建立空间直角坐标系，点,D,为坐标原点，设,DC=1,(1),证明：,解得,x,三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,D是A,1,C,1,中点.,求证,:BC,1,面AB,1,D.,练习题,O,立体几何法呢？,例 四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形,PD,底面,ABCD,，,PD=DC=6,E,是,PB,的中点，,PF=FG=GC,.,求证：面,AEF/,面,BDG.,A,B,C,D,P,G,x,y,z,F,E,立体几何呢？,O,3.2.3,立体几何中的向量方法,垂直关系,二、垂直关系：,l,m,l,A,B,C,例,1,四面体,ABCD的六条棱长相等,AB、CD,的中点分别是M、N,求证MN,AB,MN,CD.,证,1 立,体,几,何,法,MN,就是异面直线,AB,与,CD,的,公垂线，,故异面直线,AB,与,CD,的,距离,就是,MN.,例,1,四面体,ABCD的六条棱长相等,AB、CD,的中点分别是M、N,求证MN,AB,MN,CD.,MN,AB,同理,MN,CD.,证,2,向量法,例,1,四面体,ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是,M、N,求证MN,AB,MN,CD.,证,3,如图所示建立空间直角坐标系，设,AB=2.,x,y,Z,x,y,练习,棱长为,a,的正方体 中,E、F,分别是棱AB,OA,上的动点，且,AF=BE,求证：,O,C,A,B,O,A,B,C,E,F,z,x,y,证明：如图所示建立空间直角坐标系，设,AF=BE=b.,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,证,1,：如图所示建立空间直角坐标系，设,DC=1.,A,B,C,D,P,E,F,x,y,z,证,2,：,立体,几,何,法,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,是,BB,1,，,CD,中点，求证：,D,1,F,练习 正方体,中，,E,、,F,分别,平面,ADE.,证明：设正方体棱长为,1,，为单位正交 基底，建立如图所示坐标系,D,-,xyz,，,所以,x,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,是,BB,1,，,CD,中点，求证：,D,1,F,练习 正方体,中，,E,、,F,分别,平面,ADE.,证明,2,：,立,体,几,何,法,P,E,是,AA,1,中点，,例,3,正方体,平面,C,1,BD.,证明：,E,求证：,平面,EBD,设正方体棱长为,2,建立如图所示坐标系,平面,C,1,BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面,EBD的一个法向量是,平面,C,1,BD.,平面,EBD,证明,2,：,立,体,几,何,法,E,E,是,AA,1,中点，,例,3,正方体,平面,C,1,BD.,求证：,平面,EBD,O,3.2.4,立体几何中的向量方法,夹角问题,夹角问题：,l,m,l,m,1.,异面直线所成角,2,、二面角,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,2,、二面角,夹角问题：,P,P,A,l,夹角问题：,l,l,2,、线面角,解,1,：以点,C,为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以 与 所成角的余弦值为,解,2,立,体,几,何,法,例：,的棱长为,1,.,解,1,建立直角坐标系,.,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,例：,的棱长为,1,.,解,2,立,体,几,何,法,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,P,例,4,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是,正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的,中点，作,EFPB,交,PB,于点,F.,(1),求证：,PA/,平面,EDB;,(2),(3),求二面角,C-PB-D,的大小。,A,B,C,D,P,E,F,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,(3)解,建立空间直角坐标系，设,DC=1.,例,4,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是,正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的,中点，作,EFPB,交,PB,于点,F.(3),求二面角,C-PB-D,的大小。,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,平面,PBC的一个法向量为,：,解,2,如图所示建立,空间直角坐标系，设,DC=1.,平面,PBD的一个法向量为,：,G,例,4,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的中点，作,EFPB,交,PB,于点,F.(3),求二面角,C-PB-D,的大小。,A,B,C,D,P,E,F,解,3,立体几何法：,设,DC=1,，,练习,的棱长为,1,.,解,1,建立直角坐标系,.,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,平面,ABD,1,的一个法向量为,平面,CBD,1,的一个法向量为,的棱长为,1,.,解,2,立,体,几,何,法,A,1,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,P,3.2.4,立体几何中的向量方法,距离问题,(1)A(x,1,y,1,z,1,),B(x,2,y,2,z,2,),则,距离问题：,(2),点P与直线l的距离为d,则,距离问题：,距离问题：,(3),点P与平面的距离为d,则,d,d,距离问题：,(4),平面与的,距离,为d,则,m,D,C,P,A,例,1,如图,1,：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点,A,为端点,的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是,60,，那么以这,个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,图,1,解：,如图,1,，,所以,答,:,这个晶体的对角线,AC,1,的长是棱长的 倍。,练习,.(,P107.2,),如图，,60,的二面角的棱上,有,A,、,B,两点，直线,AC,、,BD,分别在这个二面角的,两个半平面内,且都垂直,AB,已知,AB,4,AC,6,，,BD,8,，求,CD,的长,.,B,A,C,D,解,1,练习,.(P107.2),如图，,60,的二面角的棱上,有,A,、,B,两点，直线,AC,、,BD,分别在这个二面角的,两个半平面内,且都垂直,AB,已知,AB,4,AC,6BD,8,，求,CD,的长,.,B,A,C,D,解,2,立体几何法,P,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求点,E,到直线,A,1,B,的距离,.,点,E,到直线,A,1,B,的距离为,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求点,E,到直线,A,1,B,的距离,.,解,2,立,体,几,何,法,面积,法,P,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求,B,1,到面A,1,BE,的距离,.,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求,B,1,到面,A,1,BE,的距离,.,等体积法,解,2,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求,D,1,C,到面,A,1,BE,的距离,.,解,1:D,1,C,面,A,1,BE,D,1,到面,A,1,BE,的距离,即为,D,1,C,到面,A,1,BE,的距离,.,仿上例求得,D,1,C,到,面,A,1,BE,的距离为,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求,D,1,C,到面,A,1,BE,的距离,.,等体积法,解,2,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，求面,A,1,DB,与面,D,1,CB,1,的距离,.,解,1:,面,D,1,CB,1,面,A,1,BD,D,1,到面,A,1,BD,的距离,即,为面,D,1,CB,1,到面,A,1,BD,的距离,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，求面,A,1,DB,与面,D,1,CB,1,的距离,.,等体积法,解,2,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，求面,A,1,DB,与面,D,1,CB,1,的距离,.,解,3,立,体,几,何,法,P,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求异面直线,D,1,B,与,A,1,E,的距离,.,