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资源描述

1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,91 概述,92 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,93 薄壁圆筒的扭转,94 等直圆杆在扭转时的应力 强度条件,95 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,96 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形,第九章 扭 转,1,扭转,91 概 述,轴:,工程中以扭转为主要变形的构件。如:机器中的传动轴、,石油钻机中的钻杆等。,扭转:,外力的合力为一力偶,且力偶的作用面与直杆的轴线,垂直,杆发生的变形为扭转变形。,A,B,O,m,m,O,B,A,2,扭转,扭转角(,):,任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。,剪应变(

2、直角的改变量。,m,m,O,B,A,3,扭转,工 程 实 例,4,扭转,92 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,一、传动轴的外力偶矩,传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系:,其中:,P,功率,千瓦(kW),n,转速,转/分(rpm),其中:,P,功率,马力(PS),n,转速,转/分(rpm),其中:,P,功率,马力(HP),n,转速,转/分(rpm),1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm/s,1kW=1.36PS,5,3 扭矩的符号规定:,“,T,”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正,反之为负。,扭转,二、扭矩及扭矩图,1 扭矩:,构件受扭时,横截面上的内力偶矩,

3、记作“,T,”。,2 截面法求扭矩,m,m,m,T,x,6,扭转,4 扭矩,图,:表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,扭矩变化规律;,|,T,|,max,值及其截面位置 强度计算(危险截面)。,x,T,7,扭转,例1,已知:一传动轴,,n,=300r/min,主动轮输入,P,1,=500kW,从动轮输出,P,2,=150kW,,P,3,=150kW,,P,4,=200kW,试绘制扭矩图。,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,解:计算外力偶矩,8,扭转,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,1,1,2,2,3,3,求扭矩(扭矩按正方向设),x,9,

4、扭转,绘制扭矩图,BC,段为危险截面。,x,T,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,4.78,9.56,6.37,10,扭转,93 薄壁圆筒的扭转,薄壁圆筒:,壁厚,(,r,0,:,为平均半径),一、实验:,1.实验前:,绘纵向线,圆周线;,施加一对外力偶,m,。,11,扭转,2.实验后:,圆周线不变;,纵向线变成斜直线。,3.结论:,圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改,变,只是绕轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度,。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,12,扭转,a,c,d,d,x,b,d,y,无正应力,横截面上各点处,只产生垂直于半径的均匀分

5、布的剪应力,,沿周向大小不变,方向与该截面的扭矩方向一致。,4.,与 的关系:,微小矩形单元体如图所示:,13,扭转,二、薄壁圆筒剪应力,大小:,A,0,:平均半径所作圆的面积。,14,扭转,三、剪应力互等定理:,上式称,为剪应力互等定理,。,该定理表明:,在单元体相互垂直的两个平面上,剪应力必然成对出现,且数值相等,两者都垂直于两平面的交线,其方向则共同指向或共同背离该交线。,a,c,d,d,x,b,d,y,t,z,15,扭转,四、剪切虎克定律:,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用,这种应力状态称为,纯剪切应力状态。,l,16,扭转,T=m,剪切虎克定律:,当剪应力不超过材料的剪切比

6、例极限时(,p,),剪应力与剪应变成正比关系。,17,扭转,式中:,G,是材料的一个弹性常数,称为剪切弹性模量,因,无量纲,故,G,的量纲与,相同,不同材料的,G,值可通过实验确定,钢材的,G,值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料,这三个弹性常数之间存在下列关系(推导详见后面章节):,可见,在三个弹性常数中,只要知道任意两个,第三个量就可以推算出来。,18,扭转,94 等直圆杆在扭转时的应力 强度条件,等直圆杆横截面应力,变形几何方面,物理关系方面,静力学方面,1.横截面变形后,仍为平面;,2.轴向无伸缩;,3.纵向线变形后仍为平行。,

7、一、等直圆杆扭转实验观察:,19,扭转,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力:,1.变形几何关系:,距圆心为,任一点处的,与该点到圆心的距离,成正比。,扭转角沿长度方向变化率。,20,扭转,max,max,2.物理关系:,虎克定律:,代入上式得:,21,扭转,3.静力学关系:,令,代入物理关系式 得:,O,p,d,A,22,扭转,横截面上距圆心为,处任一点剪应力计算公式。,4.公式讨论:,仅适用于各向同性、线弹性材料,在小变形时的等圆截面,直杆。,式中:,T,横截面上的扭矩,由截面法通过外力偶矩求得。,该点到圆心的距离。,I,p,截面极惯性矩,纯几何量,无物理意义。,23,扭转,单位:mm,4,,

8、m,4,。,尽管由实心圆截面杆推出,但同样适用于空心圆截面杆,,只是,I,p,值不同。,a.对于实心圆截面:,D,d,O,24,扭转,b.对于空心圆截面:,d,D,O,d,25,扭转,应力分布,max,max,max,max,(实心截面),(空心截面),工程上采用空心截面构件:提高强度,节约材料,重量轻,,结构轻便,应用广泛。,26,扭转,确定最大剪应力:,由,知:当,W,t,抗扭截面系数(抗扭截面模量),,几何量,单位:mm,3,或m,3,。,对于实心圆截面:,对于空心圆截面:,27,扭转,三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件:,沿横截面断开。,铸铁试件:,沿与轴线约成45,的螺旋线

9、断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,28,扭转,1.点,M,的应力单元体如图(,b,):,(,a,),M,(,b,),(,c,),2.斜截面上的应力;,取分离体如图(,d,):,(,d,),x,29,扭转,(,d,),x,n,t,转角规定:,x轴正向转至截面外法线,逆时针:为“+”,顺时针:为“”,由平衡方程:,解得:,30,扭转,分析:,当,=0,时,,当,=45,时,,当,=45,时,,当,=90,时,,max,min,45,由此可见:圆轴扭转时,在横截面和纵截面上的剪应力为最大值;在方向角,=,45,的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论,就可解释前述的破坏现象。,31

10、扭转,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件:,对于等截面圆轴:,(,称为许用剪应力。),强度计算三方面:,校核强度:,设计截面尺寸:,计算许可载荷:,32,扭转,例2,功率为150,kW,,转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图,许用剪应力,=30,M,Pa,试校核其强度。,T,m,解:求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,此轴满足强度要求。,D,3,=135,D,2,=75,D,1,=70,A,B,C,m,m,x,33,扭转,95,等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,一、扭转时的变形,由公式,知:,长为,l,一段杆两截面间相对扭转角,为,34,扭转,二、单位长度扭转角,:,或,三、刚度条件,或

11、GI,p,反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力,称为圆轴,的抗扭刚度,。,称为许用单位长度扭转角。,35,扭转,刚度计算的三方面:,校核刚度:,设计截面尺寸:,计算许可载荷:,有时,还可依据此条件进行选材。,36,扭转,例3,长为,L,=2m,的圆杆受均布力偶,m,=,20Nm/m,的作用,如图,若杆的内外径之比为,=0.8,,G,=80,GPa,,许用剪应力,=30,MPa,,试设计杆的外径;若,=2/,m,,试校核此杆的刚度,并求右端面转角。,解:,设计杆的外径,37,扭转,40Nm,x,T,代入数值得:,D,0.0226m。,由扭转刚度条件校核刚度,38,扭转,40Nm,x,T,

12、右端面转角,为:,39,例4,某传动轴设计要求转速,n,=500 r/min,,输入功率,N,1,=500,马力,输出功率分别,N,2,=200,马力及,N,3,=300,马力,已知:,G,=80GPa,,=70M Pa,,=1/m,,试确定:,AB,段直径,d,1,和,BC,段直径,d,2,?,若全轴选同一直径,应为多少?,主动轮与从动轮如何安排合理?,扭转,解:,图示状态下,扭矩如,图,,由强度条件得:,500,400,N,1,N,3,N,2,A,C,B,T,x,7.024,4.21,(kNm),40,扭转,由刚度条件得:,500,400,N,1,N,3,N,2,A,C,B,T,x,7.0

13、24,4.21,(kNm),41,扭转,综上:,全轴选同一直径时,42,扭转,轴上的,绝对值,最大的扭矩,越小越,合理,所以,,1,轮和,2,轮应 该换位。,换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75,mm,。,T,x,4.21,(kNm),2.814,43,扭转,96,非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形,非圆截面等直杆:,平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此,由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用,须由弹性力学方法求解。,44,扭转,一,、自由扭转,:杆件扭转时,横截面的翘曲不受限制,任意两相,邻截面的翘曲程度完全相同。,二,、约束扭转:,杆件扭转时,横截面

14、的翘曲受到限制,相邻截面,的翘曲程度不同。,三,、矩形杆横截面上的剪应力:,h,b,h,t,1,T,t,max,注意!,b,1.剪应力分布如图:,(角点、形心、长短边中点),45,扭转,2,.最大剪应力及单位扭转角,h,b,h,t,1,T,t,max,注意!,b,其中:,其中:,I,t,相当极惯性矩。,46,扭转,注意!,对于,W,t,和,I,t,,,多数教材与手册上有如下定义,:,查表求,和,时一定要,注意,表中,和,与那套公式对应。,h,b,h,t,1,T,t,max,注意!,b,47,扭转,例8,一矩形截面等直钢杆,其横截面尺寸为:,h,=100 mm,,b,=50mm,,长度,L,=2

15、m,,杆的两端受扭转力偶,T,=4000Nm,的,作用,钢的,G,=80GPa,,,=,100M Pa,,,=,1/m,,试校核,此杆的强度和刚度。,解:,查表求,、,校核强度,48,扭转,校核刚度,综上,此杆满足强度和刚度要求。,49,第三章 练习题,一、在变速箱中,为什么低速轴比高速轴粗?,二、当单元体上同时存在剪应力和正应力时,剪应力互等定理是否成立?为什么?,三、铝制空心圆管,外径D100mm,内径d80mm,长度L2.5m。铝的剪切弹性模量G28GPa。,若圆管两端受力偶矩作用产生纯扭转,试求当最大剪应力为50MPa时的扭转角。,对于承受相同力偶矩并产生相同最大剪应力的铝制实心轴,其直径 应为多大?,求空心管与实心轴的重量之比。,扭转,50,解:,两者材料、长度相同,重量之比等于横截面面积之比:,扭转,51,扭转,第三章结束,52,

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