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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,91 概述,92 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,93 薄壁圆筒的扭转,94 等直圆杆在扭转时的应力 强度条件,95 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,96 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形,第九章 扭 转,1,扭转,91 概 述,轴：,工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、,石油钻机中的钻杆等。,扭转：,外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线,垂直，杆发生的变形为扭转变形。,A,B,O,m,m,O,B,A,2,扭转,扭转角（,）：,任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。,剪应变（,）：,直角的改变量。,m,m,O,B,A,3,扭转,工 程 实 例,4,扭转,92 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,一、传动轴的外力偶矩,传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：,其中：,P,功率，千瓦（kW）,n,转速，转/分（rpm）,其中：,P,功率，马力（PS）,n,转速，转/分（rpm）,其中：,P,功率，马力（HP）,n,转速，转/分（rpm）,1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm/s,1kW=1.36PS,5,3 扭矩的符号规定：,“,T,”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,扭转,二、扭矩及扭矩图,1 扭矩：,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“,T,”。,2 截面法求扭矩,m,m,m,T,x,6,扭转,4 扭矩,图,：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,扭矩变化规律；,|,T,|,max,值及其截面位置 强度计算（危险截面）。,x,T,7,扭转,例1,已知：一传动轴，,n,=300r/min，主动轮输入,P,1,=500kW，从动轮输出,P,2,=150kW，,P,3,=150kW，,P,4,=200kW，试绘制扭矩图。,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,解：计算外力偶矩,8,扭转,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,1,1,2,2,3,3,求扭矩（扭矩按正方向设）,x,9,扭转,绘制扭矩图,BC,段为危险截面。,x,T,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,4.78,9.56,6.37,10,扭转,93 薄壁圆筒的扭转,薄壁圆筒：,壁厚,（,r,0,：,为平均半径）,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线；,施加一对外力偶,m,。,11,扭转,2.实验后：,圆周线不变；,纵向线变成斜直线。,3.结论：,圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改,变，只是绕轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度,。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,12,扭转,a,c,d,d,x,b,d,y,无正应力,横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力,，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,4.,与 的关系：,微小矩形单元体如图所示：,13,扭转,二、薄壁圆筒剪应力,大小：,A,0,：平均半径所作圆的面积。,14,扭转,三、剪应力互等定理：,上式称,为剪应力互等定理,。,该定理表明：,在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,a,c,d,d,x,b,d,y,t,z,15,扭转,四、剪切虎克定律：,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为,纯剪切应力状态。,l,16,扭转,T=m,剪切虎克定律：,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（,p,)，剪应力与剪应变成正比关系。,17,扭转,式中：,G,是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因,无量纲，故,G,的量纲与,相同，不同材料的,G,值可通过实验确定，钢材的,G,值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,18,扭转,94 等直圆杆在扭转时的应力 强度条件,等直圆杆横截面应力,变形几何方面,物理关系方面,静力学方面,1.横截面变形后,仍为平面；,2.轴向无伸缩；,3.纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆杆扭转实验观察：,19,扭转,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1.变形几何关系：,距圆心为,任一点处的,与该点到圆心的距离,成正比。,扭转角沿长度方向变化率。,20,扭转,max,max,2.物理关系：,虎克定律：,代入上式得：,21,扭转,3.静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,O,p,d,A,22,扭转,横截面上距圆心为,处任一点剪应力计算公式。,4.公式讨论：,仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面,直杆。,式中：,T,横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。,该点到圆心的距离。,I,p,截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,23,扭转,单位：mm,4,，m,4,。,尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，,只是,I,p,值不同。,a.对于实心圆截面：,D,d,O,24,扭转,b.对于空心圆截面：,d,D,O,d,25,扭转,应力分布,max,max,max,max,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，,结构轻便，应用广泛。,26,扭转,确定最大剪应力：,由,知：当,W,t,抗扭截面系数（抗扭截面模量），,几何量，单位：mm,3,或m,3,。,对于实心圆截面：,对于空心圆截面：,27,扭转,三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件：,沿横截面断开。,铸铁试件：,沿与轴线约成45,的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,28,扭转,1.点,M,的应力单元体如图(,b,)：,(,a,),M,(,b,),(,c,),2.斜截面上的应力；,取分离体如图(,d,)：,(,d,),x,29,扭转,(,d,),x,n,t,转角规定：,x轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+”,顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,30,扭转,分析：,当,=0,时，,当,=45,时，,当,=45,时，,当,=90,时，,max,min,45,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角,=,45,的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,31,扭转,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,(,称为许用剪应力。),强度计算三方面：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,32,扭转,例2,功率为150,kW,，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力,=30,M,Pa,试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,此轴满足强度要求。,D,3,=135,D,2,=75,D,1,=70,A,B,C,m,m,x,33,扭转,95,等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,一、扭转时的变形,由公式,知：,长为,l,一段杆两截面间相对扭转角,为,34,扭转,二、单位长度扭转角,：,或,三、刚度条件,或,GI,p,反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴,的抗扭刚度,。,称为许用单位长度扭转角。,35,扭转,刚度计算的三方面：,校核刚度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,36,扭转,例3,长为,L,=2m,的圆杆受均布力偶,m,=,20Nm/m,的作用，如图，若杆的内外径之比为,=0.8，,G,=80,GPa,，许用剪应力,=30,MPa,，试设计杆的外径；若,=2/,m,，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：,设计杆的外径,37,扭转,40Nm,x,T,代入数值得：,D,0.0226m。,由扭转刚度条件校核刚度,38,扭转,40Nm,x,T,右端面转角,为：,39,例4,某传动轴设计要求转速,n,=500 r/min,，输入功率,N,1,=500,马力，输出功率分别,N,2,=200,马力及,N,3,=300,马力，已知：,G,=80GPa，,=70M Pa，,=1/m,，试确定：,AB,段直径,d,1,和,BC,段直径,d,2,？,若全轴选同一直径，应为多少？,主动轮与从动轮如何安排合理？,扭转,解：,图示状态下,扭矩如,图,，由强度条件得：,500,400,N,1,N,3,N,2,A,C,B,T,x,7.024,4.21,(kNm),40,扭转,由刚度条件得：,500,400,N,1,N,3,N,2,A,C,B,T,x,7.024,4.21,(kNm),41,扭转,综上：,全轴选同一直径时,42,扭转,轴上的,绝对值,最大的扭矩,越小越,合理，所以，,1,轮和,2,轮应 该换位。,换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75,mm,。,T,x,4.21,(kNm),2.814,43,扭转,96,非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形,非圆截面等直杆：,平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,44,扭转,一,、自由扭转,：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相,邻截面的翘曲程度完全相同。,二,、约束扭转：,杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面,的翘曲程度不同。,三,、矩形杆横截面上的剪应力:,h,b,h,t,1,T,t,max,注意！,b,1.剪应力分布如图：,（角点、形心、长短边中点）,45,扭转,2,.最大剪应力及单位扭转角,h,b,h,t,1,T,t,max,注意！,b,其中：,其中：,I,t,相当极惯性矩。,46,扭转,注意！,对于,W,t,和,I,t,，,多数教材与手册上有如下定义,：,查表求,和,时一定要,注意，表中,和,与那套公式对应。,h,b,h,t,1,T,t,max,注意！,b,47,扭转,例8,一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：,h,=100 mm，,b,=50mm,，长度,L,=2m,，杆的两端受扭转力偶,T,=4000Nm,的,作用，钢的,G,=80GPa,，,=,100M Pa,，,=,1/m,，试校核,此杆的强度和刚度。,解：,查表求,、,校核强度,48,扭转,校核刚度,综上,此杆满足强度和刚度要求。,49,第三章 练习题,一、在变速箱中，为什么低速轴比高速轴粗？,二、当单元体上同时存在剪应力和正应力时，剪应力互等定理是否成立？为什么？,三、铝制空心圆管，外径D100mm，内径d80mm，长度L2.5m。铝的剪切弹性模量G28GPa。,若圆管两端受力偶矩作用产生纯扭转，试求当最大剪应力为50MPa时的扭转角。,对于承受相同力偶矩并产生相同最大剪应力的铝制实心轴，其直径 应为多大？,求空心管与实心轴的重量之比。,扭转,50,解：,两者材料、长度相同，重量之比等于横截面面积之比：,扭转,51,扭转,第三章结束,52,