07第七章-埃尔米特多项式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,西安理工大学应用数学系,西安理工大学应用数学系,第七章 埃尔米特（,Hermite,）多项式,特殊函数之三,1,7.1,Hermite,多项式的定义,1.,n,阶,Hermite,方程的解,n,阶,Hermite,方程,用幂级数法求解该方程，设方程的解为,代入方程，整理，得,从而有,由上式知,2,3,从而得方程的解为,4,其中是任意常数，又是方程的两个线性无关的解，故上式是方程的通解。,两个级数在实数域内收敛。,5,考察系数递推关系式,为了了解上述多项式的系数形式，改写递推关系式为,2.Hermite,多项式,当,n,是正整数（包括零）时，,进一步知，,当,n,是偶数（包括零）时，变成了多项式，,仍为无穷级数；当,n,是奇数时，变成了多项式，仍为无穷级数。,则,6,则,7,取则,当,n,为,偶数时，有系数，对应多项式,为关于,x,的偶次方的多项式,当,n,为,奇数时，有系数，对应多项式,为关于,x,的奇次方的多项式,n,次,Hermite,多项式,8,统一写法，有,前几次,Hermite,多项式,9,7.2,Hermite,多项式的母函数与递推公式,令,将其展开成变量,t,的,Taylor,级数，则有,则是,n,次,Hermite,多项式。,证明：,10,比较同次幂系数有,即,11,即,比较同次幂系数有,即,12,是,Hermite,方程的解，故是,Hermite,多项式。,定义：称是,Hermite,多项式的母函数。,Hermite,多项式的微分形式：,13,Hermite,多项式的微分形式：,Hermite,多项式的递推公式：,14,证明从略。,7.3,Hermite,多项式的正交性及其应用,结论：,Hermite,多项式在上关于权函数 正交，即,结论：,设,f,(,x,),为定义在上的函数，且满足,（,1,）,f,(,x,),在任何有限区间内都是分段光滑的函,数；,（,2,）,15,则,f,(,x,),必能展成如下形式的级数：,其中,在不连续处有,在连续处有,16,解,：,设,则,注：,例,2,：,将 在 内展成,Hermite,多项式,的级数形式,17,故,18,