MATLAB在复变函数中的应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,MATLAB,在,复变函数中的应用,任宏伟，何雯，屠佳丽，胡柯庭，王丹丹，张燕,1,主 要 内 容,1,复数和复矩阵的生成,2,复数的运算,1.,复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角,2.,复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算,3.,复数的指数和对数运算、复数的三角运算、复数方程求根,3,复变函数的极限、导数与积分,4,复变函数的,Taylor,展开,5,Laplace,变换及其逆变换、,Fourier,变换及其逆变换,6,留数,7,复变函数的图像,2,1,复数的和复矩阵的生成,复变函数和实变函数有很深的联系，很多复变函数的定理和运算规则都是对实变函数理论的推广，明白了这一点对于学习复变函数有很大的帮助。但是复变函数又有它自身的特点，某些运算规则来源于对实变函数运算规则的推广，但又有明显不同于实变函数的特征。本章讲述的是,Maltab,在复变函数中的应用。正是因为复变函数和实变函数有如此深的联系，所以大多数处理复变函数的,Matlab,命令和处理实变函数的命令是同一个命令。,1.1,复数的生成,复数可以由,z=a+b*i,语句生成,也可以简写为,z=a+bi;,另一种生成复数的语句是,z=r*exp(i*theta),，也可以简写为,z=r*exp(theta i),，其中,theta,为复数辐角的弧度值，,r,为复数的模。,3,1.2,创建复矩阵,创建复矩阵有两种方法：,(1),同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵,例如,：,A=3+5*i,，,-2+3i,，,9*exp,（,i*6,）,23*exp(33i),(2),可将实矩阵和虚矩阵分开创建，再写成和的形式,例如：,re=rand(3,2);,im=rand(3,2);,com=re+i*im,结果为：,com=,0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i,0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i,0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i,4,2,复数的运算,2.1,复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角,1.,复数实部和虚部,real(X),返回复数,X,的实部,imag(X),返回复数,X,的虚部,2.,共轭复数,conj(X),返回复数,X,的共轭复数,3.,复数的模和辐角,abs(X),返回复数,X,的模,angle(X),返回复数,X,的辐角,例,1,求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模和辐角,5,%complex01.m,a=1/(3+2i),1/i-3i/(1-i),(3+4i)(2-5i)/2i,i9-4*i21+i,R=real(a),M=imag(a),Con=conj(a),Abs=abs(a),Ang=angle(a),%,计算结果,a,=0.2308-0.1538i 1.5000-2.5000i -3.5000-13.0000i 0-2.0000i,R=0.2308 1.5000 -3.5000 0,M=-0.1538 -2.5000 -13.0000 -2.0000,con=0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i -3.5000+13.0000i 0+2.0000i,abs=0.2774 2.9155 13.4629 2.0000,ang=-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.5708,6,2.2,复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算,1.,复数的乘除法运算由“,/”,和“*”实现。,2.,复数的平方根,sqrt(X),返回复数,X,的平方根值,3.,复数的幂运算,：,Xn,2.3,复数的指数和对数运算、复数方程求根、复数的三角运算,1.,复数的指数和对数运算,exp(X),返回复数,X,的以,e,为底的指数值,log(X),返回复数,X,的以,e,为底的对数值,2.,复数的方程求根,复数方程求根或是方程的复数根求解也由函数,solve,实现。,例,2,求方程,x,3,+8=0,的所有根。,roots=solve(x3+8=0),roots=-2,1-i*3(1/2),1+i*3(1/2),7,3.,复数的三角运算,复数的三角函数运算参见下面的复数三角函数表,函数名,函数功能,函数名,函数功能,sin(x),返回复数,x,的正弦函数值,asin(x),返回复数,x,的反正弦值,cos(x),返回复数,x,的余弦函数值,acos(x),返回复数,x,的反余弦值,tan(x),返回复数,x,的正切函数值,atan(x),返回复数,x,的反正切值,cot(x),返回复数,x,的余切函数值,acot(x),返回复数,x,的反余切值,sec(x),返回复数,x,的正割函数值,asec(x),返回复数,x,的反正割值,csc(x),返回复数,x,的余割函数值,acsc(x),返回复数,x,的反余割值,sinh(x),返回复数,x,的双曲正弦值,coth(x),返回复数,x,的双曲余切值,cosh(x),返回复数,x,的双曲余弦值,sech(x),返回复数,x,的双曲正割值,tanh(x),返回复数,x,的双曲正切值,csch(x),返回复数,x,的双曲余割值,8,3,复变函数的极限、导数和积分,3.1,复变函数的极限,求复变函数的极限仍然使用命令,limit(),只是复变函数的极限存在条件比实变函数更加苛刻。复变函数极限存在要求复变函数的实部和虚部同时存在极限。命令格式如下：,limit(F,x,a),例,3 z,为复数，有复变函数,f(z)=z/(1+z),求极限：,%complex02.m,clear,syms z,f=z/(1+z);,limit(f,z,1+5*i),9,3.,2,复变函数的导数,计算复变函数导数的命令仍然是,diff(),具体格式为：,diff(function,varriable,b),例,4,求,ln(1+sinz),在,z=i/2,处的导数,，,在,z=3+i/2,处的导数。,%complex03.m,clear,syms z,f1=log(1+sin(z);,f2=sqrt(z-1)*(z-2);,df1=diff(f1,z),df2=diff(f2,z),vdf1=subs(df1,z,i/2),vdf2=subs(df2,z,3+i/2),10,3.,3,复变函数的积分,复变函数的定积分在形式上和实变函数的定积分没有什么不同，只是积分限由原来的仅仅是实数变为可以是复数的情况了。具体格式为：,int(function,varriable,a,b),function,为被积分的复变函数表达式，,varibale,为积分变量，,a,和,b,为积分下上限。,例,5,计算定积分,%complex04.m,clear,syms z,f1=z*cos(z);,f2=log(z+1)/(z+1);,inf1=int(f1,z,0,i),inf2=int(f2,z,0,i),%,计算结果,inf1=cosh(1)-sinh(1)-1,Inf2=1/2*log(1+i)2-1/2*log(2)2,11,4,复变函数的,Taylor,展开,4.1,复变函数的,Taylor,展开,Taylor,级数展开在复变函数中有很重要的地位，比如复变函数的解析性等。函数,f(x),在,x=x0,点的,Taylor,级数展开如下：,在,Matlab,中可由函数,Taylor,来实现，具体格式为：,例,6,将后面的函数展开为复数变量,z,的幂级数,%complex05.m,clear,syms z,f=1/(1+z)2;,F=taylor(f,10,z,0);,%,计算结果,F=1-2*z+3*z2-4*z3+5*z4-6*z5+7*z6-8*z7+9*z8-10*z9,f,为需要展开的函数表达式，,n,声明输出展开式的前,n,项，,varibale,声明展开变量，,a,表示变量求导的取值点。,taylor(f,n,varriable,a),12,5 Laplace,变换及其逆变换,Fourier,变换及其逆变换,1.,Laplace,变换,L=laplace(F):,返回默认独立变量,t,的符号表达式,F,的拉普拉斯变换,函数返回默认为,s,的函数。如果,F=F(s),则,Laplace,函数返回,t,的函数,L=L(t),。其中,L=L(s)=int(F(t)*exp(-s*t),0,inf),L=laplace(F,t):,以,t,代替,s,的拉普拉斯变换。函数返回,t,的函数。其中,L=L(t)=int(F(s)*exp(-t*s),0,inf),L=laplace(F,w,z):,以,z,代替,s,的拉普拉斯变换,(,相对于,w,的积分,),。函数返回,t,的函数。其中,L=L(z)=int(F(w)*exp(-z*w),0,inf),5.1 Laplace,变换及其逆变换,13,%complex06.m,clear,syms a s t w z,L1=laplace(x5),L2=laplace(exp(a*s),L3=laplace(sin(w*x),t),L4=laplace(cos(x*w),t),L5=laplace(xsym(3/2),t),%,计算结果,L1=120/s6,L2=1/(t-a),L3=w/(t2+w2),L4=t/(t2+x2),L5=3/4*pi(1/2)/t(5/2),14,2.,Laplace,逆,变换,F=ilaplace(F):,返回默认独立变量,s,的符号表达式,L,的拉普拉斯变换,函数返回默认为,t,的函数。如果,F=F(t),则,iLaplace,函数返回,x,的函数,F=F(x),。这里,F=L(t)=int(L(s)*exp(s*t),s,c-i*inf,c+i*inf),其中,c,为选定的实数使得,L(s),的所有奇点都在直线,s=c,的左侧。,F=ilaplace(L,y):,以,y,代替默认的,t,的函数，且有,ilaplace(L,y)=F(y)=int(L(y)*exp(s*y),s,c-i*inf,c+i*inf),F=ilaplace(L,y,x):,以,x,代替,t,的函数。有,ilaplace(L,y,x)=F(y)=int(L(y)*exp(x*y),y,c-i*inf,c+i*inf),15,%complex07.m,clear,syms s t w x y,F1=ilaplace(1/(s-1),F2=ilaplace(1/(t2+1),F3=ilaplace(t(-sym(5/2),x),F4=ilaplace(y/y2+w2,y,x),F5=ilaplace(sym(laplace(F(x),x,s),s,x),%,计算结果,F1=exp(t),F2=sin(x),F3=4/3/pi(1/2)*x(3/2),F4=cos(w*x),F5=F(x),16,5.2 Fourier,变换及其逆变换,1,.Fourier,积分变换,F=fourier(f):,返回默认独立变量,x,的数量符号,f,的,fourier,变换,返回默认为,w,的函数。如果,f=f(w),则,fourier,函数返回,t,的函数,F=F(t),。其中,F=F(w)=int(f(x)*exp(-i*w*x),-inf,inf),F=fourier(f,v):,以,v,代替默认变量,w,的,fourier,变换。且,fourier(f,v)=F(v)=int(f(x)*exp(-i*v*x),x,-inf,inf),F=fourier(f,u,v):,以,v,代替,x,且对,u,积分。且有,fourier(f,u,v)=F(v)=int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf),%complex08.m,syms s v w x,F1=fourier(1/t),F2=fourier(exp(-x2),x,t),F3=fourier(exp(-t)*sym(Heaviside(t),v),F4=fourier(diff(sym(F(x),x,w),%,计算结果,F1=i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w),F2=pi(1/2)*exp(-1/4*t2),F3=1/(1+i*v),F4=I*w*fourier(F(x),x,w),17,2,.Fourier,逆变换,f=ifourier(F):,返回默认独立变量,w,的符号表达式,F,的,fourier,逆变换,返回,x,的函数。如果,F=F(x),则,ifourier,函数返回,t,的函数,f=f(t),。一般地,f(x)=1/(2*pi)*int(F(w)*exp(i*w*x),w,-inf,inf),f=ifourier(F,u):,以,u,代替,x,且,i,fourier(F,u)=f(u)=1/(2*pi)*int(F(w)*exp(i*w*u),w,-inf,inf),f=ifourier(F,v,u):,以,v,代替,w,的,fourier,逆变换，且有,i,fourier(f,v,u)=f(u)=1/(2*pi)*int(F(v)*exp(i*v*u),v,-inf,inf),%complex09.m,syms t u w x,f1=ifourier(w*exp(-3*w)*sym(Heaviside(w),f2=ifourier(1/(1+w2),u),f3=ifourier(v/(1+w2),v,u),f4=ifourier(sym(fourier(f(x),x,w),w,x),%,计算结果,f1=1/2/pi/(3-i*t)2,f2=1/2*exp(-u)*Heaviside(u)+1/2*exp(u)*Heaviside(-u),f3=i/(1+w2)*Dirac(1,-u),f4=f(x),18,6,留数,6.1,留数的定义,留数在复变函数中有着重要地位，利用它可以来计算复变函数的积分。下面对于复变函数的分子和分母都是多项式的情形，给出留数的计算方法。,称为,f,(,z,),在,a,点的留数或残数，记作,Resf(,z,),a,。,6.2,留数的计算,设,a,是,f(z),的孤立奇点，,C,是,a,的充分小的邻域内一条把,a,点包含在其内部的闭路，积分,19,Matlab,提供了计算留数的命令,residue(),，这个命令用来处理分子和分母都为多项式形式的复变函数。计算留数的命令的格式如下：,r,p,k=residue(B,A),参数,B,是由复变函数的分子的系数组成的向量，参数,A,是由复变函数的分母的系数组成的向量，,参数,r,返回留数，是由在不同奇点的留数组成的向量。,参数,p,返回奇点，也是一个向量。,参数,k,是个向量，由,B/A,的商的多项式系数组成，如果,length(B)length(A),，则,k,为空向量，否则，,length(k)=length(B)-length(A)+1,。,另外命令,residue(),还可以根据已知的奇点,p,、奇点的留数,r,和,k,来计算分式复变函数的系数,B,和,A,，格式如下：,B,A=residue(r,p,k,）,这个命令的各个参数的意义和上面的是完全一样的。,20,%complex10.m,clear,B=1,0;,A=1,0,0,0,-1;,R,P,K=residue(B,A),B,A=residue(r,p,k,）,例,7,计算下面复变函数的留数，然后根据计算的结果反求复变函数的分式,%,计算结果,R=0.2500,0.2500,-0.2500+0.0000i,-0.2500-0.0000i,P=-1.0000,1.0000,0.0000+1.0000i,0.0000-1.0000i,K=,B=0 0.0000 1.0000 0.0000,A=1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000,21,例,8,计算下面复变函数的留数,%complex11.m,clear,B=1,3,0,2;,A=1,6,-1;,R,P,K=residue(B,A),%,计算结果,R=18.6706,0.3294,P=-6.1623,0.1623,K=1-3,22,例,9,计算下面的积分,其中,C,为正向圆周,，,|z|=2,。,P=-1.0000,1.0000,0.0000+1.0000i,0.0000-1.0000i,K=,可见圆周,|z|=2,内有四个,奇,点，所以积分值等于,2*pi*i*(0.25+0.25-0.25-0.25)=0,%complex12.m,clear,B=1,0;,A=1,0,0,0,-1;,R,P,K=residue(B,A),%,计算结果,R=0.2500,0.2500,-0.2500+0.0000i,-0.2500-0.0000i,23,7,复变函数的图像,例,10,分别绘出下面复数所表示的图形：,z=cost+isint,和,z=e,it,+e,-it,，,t,为实数。,%complex13.m,clear,syms x y z t s,t=0:0.01*pi:pi;,x=cos(t);y=sin(t);,z1=x+i.*y,plot(z1),title(z1=cos(t)+i*sin(t);,s=-5:0.01:5;,z2=exp(i.*s)+exp(-i.*s);,Figure,plot(z2),title(z2=exp(i*s)+exp(-i*s),24,25,26,习题：复变函数练习题,1.,计算下列根式的值,2.,解方程组,3.,计算极限,4.,计算,f(z)=(z,2,-1),2,(z,2,+1),2,在点,z=i/2,处的一阶导数值。,5.,计算复变函数的积分,27,6.,对下面的表达式进行,10,项,Taylor,展开,7.,计算下列表达式在其奇点的留数,8.,绘出下面复数所表示的图象，,t,为实数,28,