工程数学(复变函数积分变换场论)59355.doc

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第五章 留数
第一节 留数
第二节 留数的应用
第三节 对数留数与辐角定理

第一节 留数
第一节 留数
第五章 一 留数的定义及留数定理
留数二 留数的计算规则
三 在无穷远点的留数
吴新民
- 2 -

第一节 留数
一 留数的定义及留数定理
设z0 是函数 f (z)的孤立奇点, 那么在 z0 的某个
去心领域 0 <| z - z |< d
内函数 f (z) 能够展开成洛朗
第五章
级数, 即
留数
f (z) =L+ -
c (z z0)-1 c c (z z )
+ + - +L
-1
0
1
0
其中
1
2 i (z z )
p -
f (z)n+1 dz
Ñ
ò
cn =
0
C
C为0 <| z - z |< d 内的一条环绕z0的正向简单闭曲线。
如果我们取n = -1则有
吴新民
- 3 -

第一节 留数
1
Ñ
c-1 =
ò f (z)dz (5.1.1)
2pi
C
定义 设z0为函数 f (z)的孤立奇点, 称 f (z)在 z0
0 <| z - z0 |< d
的某个去心领域
第五章
内的洛朗级数中的
(z - z0)-1
的系数 c-1 为函数 f (z)在点 z0处的留数,
留数记作Res[ f (z),z0]。即
Res[ f (z),z0]= c-1
(5.1.2)
1
2pi
Ñ
ò f (z)dz (5.1.3)
从而有 Res[ f (z),z0]=
C
其中 C为 0 <| z - z0 |< d 内的环绕 z0正向简单闭曲线。
吴新民
- 4 -

第一节 留数
定理1( 留数定理) 设函数f (z)
在有向简单闭曲线
z ,z ,L,zn
C上解析, 在 C 的内部除有限个孤立奇点
1 2
处处解析, 则
n
Ñ
ò
å
f (z)dz = 2pi Res[ f (z),zk] (5.1.4)
第五章
k=1
C
留数 证 将函数 f (z)在 C的内部
孤立奇点 z (k = 1,2,L,n)用互不 C
k
C
1
·zC
·z
2
1
2
相交, 互不包含的正向简单闭曲
线Ck围绕起来, 由复合闭路定理
·z
Ck
Cn
· zn
k
n
有
Ñ Ñ
å
ò ò
f (z)dz = f (z)dz
k=1
C
C
k
吴新民
- 5 -

第一节 留数
由 (5.1.3)式则有 (5.1.4) 成立。 证明完毕
根据留数定理可得: 计算在函数在封闭曲线 C上的
积分能够转化成计算此函数在C 内部的各奇点的留数。
第五章
函数 f (z) 在孤立奇点 z0处的留数除了用 (5.1.2)计
算外, 还能够用下面规则计算。
留数
吴新民
- 6 -

第一节 留数
二 留数的计算规则
如果 z0是函数 f (z)的可去奇点, 则 f (z)在 z0 的
某个去心领域内的洛朗级数不含有 z - z0的负幂次,
即 的系数 c 为零, 因此
-
-1
(z z )
第五章
-1
0
如果 z0 是函数的可去奇点, 则 Res[ f (z),z0]= 0
留数规则I
如果 z0是函数 f (z)的一级极点, 则
Res[ f (z),z0] = lim(z - z0) f (z)
(5.1.5)
(5.1.6)
z®z
0
规则II 如果 z0
f (z) m
是函数 的 级极点, 则
Res[ f (z),z0]
m-1
lim m-1 [(z - z0)m f (z)]
1
d
= (m -1)! dz
z®z
0
吴新民
- 7 -

第一节 留数
事实上, 由于
f (z) = c (z - z0)-m
-m
c (z z0)-1
+L+ -
-1
+L
c ¹ 0, 因此
其中
-m
第五章
(z - z0)m f (z) = c-m +L+ c-1(z - z0)m-1 +L
d m-1
dzm-1
[(z - z0)m f (z)] (m 1)!c- {z z0的正幂项}
= - + -
留数
1
因此
m-1
d
(m -1)! dz
1
c-1 =
lim m-1 [(z - z0)m f (z)]
z®z
0
即 (5.2.6) 成立, 特别 m = 1 时, 就是 (5.1.5) 式。
吴新民
- 8 -

第一节 留数
Q(z)
f (z) = ,其中 P(z),Q(z)在z0处解
规则III
设
P(z)
析, 且 P(z0) = 0, P¢(z0) ¹ 0, 则
Q(z ) 0,
¹
0
Q(z0)
Res[ f (z),z0] =
P¢(z0)
(5.1.7)
第五章
留数 事实上, 根据条件可知 z0是函数 f (z)的一级极点,
根据规则I可得:
Q(z)
= lim[(z - z0) ]
Res[ f (z),z0]
P(z)
z®z
0
Q(z)
Q(z0)
P(z)- P(z0) = ¢
P (z0)
z - z0
= lim
z®z
0
吴新民
- 9 -

第一节 留数
例1 求下列函数在各孤立奇点的留数。
z
z
1
z(z -1)
1)
sinz; 2) z2 +1
; 3)
2 ;
z
第五章解 1) z = 0 是函数 的可去奇点, 因此
sinz
z
= 0
Res[ ,0]
sinz
留数
z
z = kp (k = ±1,±2,L) 是函数 的一级极点, 由规
sinz
则III得
z
z
Res[ ,kp] =
sinz
= (-1)kkp
cosz z=kp
吴新民
- 10 -

第一节 留数
z
1
z(z -1)
2)
z2 +1;
3)
2 ;
z
z 1
+
z 1
z = ±i 是函数 一级极点, 由规则III
2)
2
z
z
= z
, Res[ ,-i]
2
+
z 1
= 1
2
第五章
= =
Res[ ,i]
2
+
2z
2z z=-i
z 1
2
z=i
1
z(z -1)2
留数
3) z = 0 是函数
的一级极点, z = 1是函
数的二级极点,由规则I
1
-
z(z 1)2
1
,0] = limz z(z -1)
Res[
= 1
2
z®0
1
1
z z(zz-
-11
2
lim ]
¢
¢
1
2 ,1]= lliimm[((z)-1=)
由规则II Res[z(z -1)
1)
= -
2
2
zz®11
®
z®1
吴新民
- 11 -

第一节 留数
1
4) e z-1
1
是函数 e 的本性奇点, 利用留数的定义
z 1
-
z = 1
4)
第五章
计算函数的留数, 由于
¥
=
n1!(z -1)-n
1
z-1
å
e
留数
n=0
1
z -1 2(z -1)
1
2 +L 0 <| z -1|< +¥
= 1+ +
1
因此
Res[e z-1,1] = 1
吴新民
- 12 -

第一节 留数
例2
1)
计算下列围道积分
z
(z2 +1)
z
Ñ
Ñ
ò
ò
2dz;
sinz dz;
ez
2)
|z|=2
|z-1|=p
ez -1
Ñ
Ñ
ò
ò
4)
z2(z2 + 2z + 2)dz
z(z -1)2 dz
第五章3)
|z|=2
|z|=2
z
解 1) 落在| z -1|= p 内部函数 的奇点有z = 0,
sinz
留数
z = p, 且z = 0为可去奇点, z = p 为一级极点, 因此
z
z
dz = 2pi[Res[ ,0]
sinz
z
+ Res[ ,p]]
sinz
Ñ
ò
sinz
|z-1|=p
z
= 2pi[0 + cosz z=p ] = - p
2 2i
吴新民
- 13 -

第一节 留数
z
(z2 +1)
Ñ
ò
2dz;
2)
|z|=2
z
2) 落在| z |= 2 的内部函数 2 的奇点有z = ±i,
2
+
(z 1)
因此
且是二级极点,
第五章
z
Ñ
ò
2 dz
(z2 +1)
|z|=2
留数
z
z
(z2 +1)
= 2pi[Res[(z2 +1)
2 ,i] + Res[
2 ,-i]]
z
+
(z i)2
z
)¢ + zlim(®-i (z - i)
2 )¢]
= 2pi[lim(
z®i
= 2pi[lim -z + i
-i - z ] = 0
(z i)2
®-
i
+ lim
(z i)2
+
+
z®i
z
吴新民
- 14 -

第一节 留数
ez
z(z -1)
Ñ
ò
2 dz
3)
|z|=2
z
e
落在| z |= 2内部的奇点有 z = 0,
3)
函数 z(z -1)2
第五章z = 1, z 0
=
=
z 1
且 为一级极点, 为二级极点, 因此
ez
Ñ
ò
z(z -1)2 dz
留数
|z|=2
ez
= 2pi[Res[z(z -1)
ez
ez
z(z -1)
2 ,0]+ Res[
2 ,1]]
z
e
2 + lim[ z ]¢]
= 2pi[limz®0 (z -1)
z®1
ez(z -1)] = 2pi
= 2pi[1+
lim
z2
z®1
吴新民
- 15 -

第一节 留数
| z |= 2 的奇点有 z = 0, z = -1± i,
4)
被积函数落在
且全部为一级极点。因此
ez -1
Ñ
ò
z2(z2 + 2z + 2)dz = 2pi[Res[ f (z),0]
+Res[ f (z),-1+ i] +Res[ f (z),-1- i]]
第五章
|z|=2
ez -1
ez -1
留数
= 2pi[limz®0 z(z2 + 2z + 2) + z®lim-1+i z2(z +1+ i)
ez -1
+ lim z2(z +1- i)]
z®-1-i
z
e 1
1
- + - + (e-1-i -1)] = pe-1icos1
4)= 2pi[ (e 1)
dz
+ +
z (z 2z 2)
2 4 4
-
1 i
1 1
2
Ñ
ò
+
|z|=2
吴新民
- 16 -

第一节 留数
说明: 利用留数的计算规则计算留数, 在大多数
下非常方便, 但有时也是十分繁琐的, 例如z = 0是
函数 1- cosz
的五级极点, 如果我们用规则II计算则
z7
第五章
有
1 d 4 1- cosz
,0] = lim
4! dz4 z2
Res[1- cosz
留数
z7
z®0
这样要求一个分式的四阶导数, 显然是十分复杂的,
如此问题我们能够用留数的定义求留数, 由于
-
n
¥
(-1)n
2n-7
z
1- cosz = z17 (1-
z7
¥
( 1)
å å
2n
= -
z )
(2n)!
(2n)!
n=1
n=0
1 1 1 z
= - + - +L 0 <| z |< +¥
5
3
2!z 4!z 6!z 8!
吴新民
- 17 -

第一节 留数
因此 Res[1- cosz ,0] = 1
6!
7
z
1- cosz
Ñ
1- cosz
在计算积分 ò
dz, 我们又可用高阶导数公式
z7
|z|=1
2pi
第五章
Ñ
ò
dz =
(1- cosz)(6)
z=0
z7
6!
|z|=1
留数
2pi
= cosz =
6!
2pi
z 0
=
6!
吴新民
- 18 -

第一节 留数
设无零点函数f (z) 在正向简单闭曲线 C 上解
例3
析, 在 C的内部除一个 n 级极点 z0外也解析, 计算
f ¢(z)dz
Ñ
ò
f (z)
第五章
C
解 由于z0是函数 f (z)的 n级极点, 且在 C上及 C
留数
的内部 f (z) 无其它的奇点, 且无零点, 因此在C及
C内部有
j(z)
(z z )
-
0
(z) 0.
j ¹
f (z) =
n
其中j(z) 解析, 且 因此有
j¢(z)(z - z0)- nj(z)
(z - z0)n+1
f ¢(z) =
吴新民
- 19 -

第一节 留数
f ¢(z)
f (z)
-n ¢
j (z)
= z - z0 j(z)
+
¢
-
z - z
j¢(z)
j(z)dz = -2npi
+
f (z)
n
dz
Ñ Ñ Ñ
ò ò ò
=
dz
f (z)
第五章
留数
0
C
C
C
j¢(z)(z - z0)- nj(z)
(z - z0)n+1
f ¢(z) =
f (z) = (z - z0)n
吴新民
- 20 -

第一节 留数
三 在无穷远点的留数
设函数 f (z)在圆环域 R <| z |< +¥解析, C 为此园
环域内一条环绕原点的正向简单闭曲线, 称积分
第五章
1
Ñ
ò
f (z)dz
2pi C
-
为函数 f (z) 在无穷远点的留数, 记作
留数
Res[ f (z),¥]
即
1
Ñ
ò
Res[ f (z),¥]= 2pi
f (z)dz
(5.1.8)
-
C
由于
1
2pi C
1
2 i
p
Ñ Ñ
ò
ò f (z)dz = -c-1
C
f (z)dz = -
-
吴新民
- 21 -

第一节 留数
其中 c-1为函数 f (z)在圆环域 R <| z |< +¥ 内的洛朗
级数中 z-1 的系数, 因此
Res[ f (z),¥]= -c-1
(5.1.9)
第五章
设函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个
定理2
孤立奇点, 则 f (z)在所有的奇点( 包含无穷远点) 的
留数
留数的和为零。
证 设除 ¥ 点外, f (z)的所有奇点为 z1,z2,L,zn,
作包围原点的而且包围zk(k = 1,2,L,n)的正向简单闭
曲线C,利用函数在无穷远点的留数的定义与留数定理
有
吴新民
- 22 -

n第一节 留数
å
Res[ f (z),¥]+ Res[ f (z),zk]
k=1
1
1
2pi
Ñ Ñ
ò ò f (z)dz = 0
= 2pi
f (z)dz +
-
C
C
第五章规则Ⅳ 如果无穷远点是函数 f (z)的孤立奇点,
1 1
(5.1.10)
则 Res[ f (z),¥]= -Res[ f ( ) ,0]
z z2
事实上,由于f (z)在圆环域R <| z |< +¥解析, 作正向
圆周 C :| z |= r(r > R),
留数
根据在无穷原点留数的定义得
1
Res[ f (z),¥]= 2pi
1
Ñ
ò
f (z)dz
令q = -j
-2p f (reij )rieijdj
ò
0
-
C
令 z = reij
= 2pi
吴新民
- 23 -

第一节 留数
-1
2p f (re-iq )rie-iqdq
ò
= 2pi
1
r
q = 1 ds
s = eiq ,d
0
is
1
1 1
f ( ) ds
s s2
Ñ
ò
|s|=
第五章 = - 2pi
1
r
f (z) R <| z |< +¥ 解析,因此
因为函数 在
留数
f ( ) 0 <| s |< R1 解析, 而 0 < r < R
1 1 ,
1 1
在
函数
2
s s
由留数的定义
1 1
= -Res[ f ( ) ,0]
z z2
吴新民
- 24 -

第一节 留数
例4
计算下列积分
1
1
1+ z
z12e
z
Ñ
Ñ
ò
ò
1)
4 dz
2)
12 dz
|z|=3(z - 4)(z +1)
|z|=2
1
1+ z4的四个奇点 2
2 (1± i), 22 (-1± i)
第五章
解
1) 函数
留数全部在| z |= 2 的内部, 由定理2和规则IV知
1
1+ z
1
4 dz = -2piRes[ 4 ,¥]
1+ z
Ñ
ò
|z|=2
1 1 ,0]
= 2piRes[1+ z z
-4 2
2
z
= 2piRes[ 4 ,0] = 0
1 z
+
吴新民
- 25 -

第一节 留数
1
12
z e z
1
z12e z
Ñ
ò
2)
2)
(z - 4)(z +1)12 dz.
除 以外, 函数的奇点为 z = 4,z = -1,z = 0,
f (z) = (z - 4)(z +1)12
|z|=3
¥
且
z = -1,z = 0位于| z |= 3 的内部。根据定理1与定理2知
第五章
Ñ
ò f (z)dz= 2pi[Res[ f (z),-1]+ Res[ f (z),0]]
|z|=3
= -2pi[Res[ f (z),¥]+ Res[ f (z),4]]
留数
1
1 1
z12e z
= 2piRes[ f ( ) 2 ,0] -
2pilimz®4 (z +1)12
,0] -2pi 412e
z z
ez
1
4
= 2piRes[z(1- 4z)(z +1)12
512
1
= 2pi - 2pi 412e
4
512
吴新民
- 26 -

第二节 留数的应用
第二节 留数的应用
2p R(cosj,sinj)dj 的积分
ò
第五章
一 形如
0
留数二 形如 ò-¥+¥
R(x)dx 的积分
+¥ R(x)eia xdx(a > 0)的积分
三 形如ò
-¥
吴新民
- 27 -

第二节 留数的应用
2p
ò
一 形如 R(cos ,sin )d
j j j 的积分
0
其中 R(cosj,sinj) cosj sinj
为 和 的有理函数, 即
由cosj,sinj和常数经过有限次四则运算所得的函数,
第五章
且对[0,2p]上的每个j, R(cosj,sinj) 都有定义。
对此我们有
留数
2p R(cosj,sinj)dj
ò
0
n
2
2
z 1 z 1 1
+ -
å
= 2pi Res[R( , ) ,zk]
(5.2.1)
2z 2iz iz
z 1 z 1 1
n为函数R( , )
2z 2iz iz
k=1
2
+
2
-
其中 z1,z2,L,z
=
| z | 1
在 内部
的所有奇点。
吴新民
- 28 -

第二节 留数的应用
dz
iz
dz = ieijdj izd ,
= j dj =
事实上如果令z = e ij , 则
= eij + e-ij
eij - e-ij = z2 -1,
2iz
2i
= z2 +1
2z
cosj
sinj =
,
2
第五章
j 从 0 到 2p变成正向圆周| z |= 1
因此
留数
2
+
2
-
ò02p
z 1 z 1 dz
Ñ
R(cosj,sinj)dj = ò R( , )
2z 2iz iz
|z|=1
利用留数定理( 定理1) 即可得 (5.2.1) 式。
吴新民
- 29 -

第二节 留数的应用
1
2p
例1 计算积分ò
解 令 z = eij,
2+ cosj dj
0
z2 +1
2z
dz
dj = , cosj =
iz
第五章
1 dz 2
1
Ñ Ñ
ò
|z|=1
ò
原式 =
=
z 1 iz i 4z + z2 +1dz
+
2
2
+
|z|=1
留数
2z
= 2pi 2 Res[
1
i z2 + 4z +1,-2+ 3]
奇点为-2± 3,
2 3p
1
= 落在| z |= 1内部为
= 4p 2z + 4 z=-2+ 3
3
-2+ 3.
吴新民
- 30 -

第二节 留数的应用
1
(5 + 3cosj)
2p
计算积分 ò
例2
2 dj
0
z2 +1
2z
dz
dj = , cosj =
解 令 z = eij,
iz
第五章
1 1
Ñ
ò
原式 =
iz dz
(5+ 3 z 1
2+ 2
)
2z
|z|=1
= 4
z
i (10z + 3z2 + 3)2
dz = 4
Ñ
ò
9i (z )
z
2
+ +
1
(z 3)
留数
Ñ
ò
2 dz
|z|=1
|z|=1
3
4
z
3)2(z + 3)2 3
1
= 2pi Res[
9i (z +
,- ]
1
8p 3- z
= 5 p
= 8p lim(
9 (z + 3)
2 ) ¢ =
z
9 (z + 3)3 z=- 1
32
®- 1
z
3
3
吴新民
- 31 -

第二节 留数的应用
+¥
ò
二 形如 R(x)dx
的积分
-¥
Pn(x)
其中R(x) = Qm(x), Pn(x),Qm(x)分别为n,m次多
项式, m - n ³ 2,且 Qm(x) = 0 无实根。
第五章
对此我们有
h
å
+¥
ò
= 2pi Res[R(z),zk] (5.2.2)
R(x)dx
留数
-¥
k=1
z ,z ,L,z
其中 h为R(z)位于在上半复平面的所有奇点,
1 2
事实上,不失一般性设
+L+ an
R(z) = zn + a1zn-1
m-1
1
- ³
为已约分式, 且 m n 2.
(a0 ¹ 0,b0 ¹ 0)
z b z +L+ bm
+
m
吴新民
- 32 -

第二节 留数的应用
事实上, 我们定义CR
y
为以原点为心, R为半径
CR
·z2
在上半平面的半圆周, IR
·z
·zk ·z
1
第五章
-
为实轴的 R到 R 一段,
h
o
并选取适当大的R使得
留数R(z)在上半平面的所有奇点
-R
z ,z ,L,z
R x
h全部落在CR + IR
1 2
的内部, 且当| z |³ R 时
| a1 a2 +L+ an 1
+
|<
n
z 2
z z2
| b1 b2 +L+ bm 1
+
|<
m
z 2
(5.2.3)
z z2
吴新民
- 33 -

第二节 留数的应用
利用留数定理(定理1)得
Ñ
R
ò
-R
ò ò
R(z)dz = R(z)dz + R(z)dz
C +I
C
R
R
R
h
å
= 2pi Res[R(z),zk] (5.2.4)
第五章
k=1
由于当 | z |= R时
| zn + a1zn-1 +L+ an |
留数 | R(z)| = | zm + b1zm-1 +L+ bm |
1 |1 a z
+ -1 +L+
anz-n |
= | z |m-n |1+ b1z-1 +L+ bmz-m |
1
1 1 |a z
+ -1 +L+
anz-n | 3
3
£ | z |m-n 1- |b1z-1 +L+ bmz-m | | z |m-n = Rm-n
£
1
吴新民
- 34 -

第二节 留数的应用
ò ò
| R(z)dz |£ | R(z)|ds
因此
C
C
R
R
3
3p
£ p R =
m-n
R
m-n-1
R
第五章
由于m - n-1³ 1,
因此
ò
lim R(z)dz = 0
留数
®¥
R
CR
在 (5.2.4)中, 令R ® ¥可得 (5.2.2).
特别, 如果 R(x)又是偶函数的话, 则
h
+¥
ò0
å
R(x)dx = pi Res[R(z),zk] (5.2.5)
k=1
吴新民
- 35 -

第二节 留数的应用
1
例3 计算积分ò +¥
-¥ (2 + 2x + x2)2 dx
1
解 函数 (2 + 2z + z2)2
位于在上半复平面的奇点为
第五章z = -1+ i, 且为二级极点, 由公式(5.3.2) 得
1
原式 = 2piRes[
2 ,-1+ i]
(z2 + 2z + 2)
留数
1
2 )¢
= 2pi z®lim-1+i((z +1+ i)
1
= -4pi (z +1+ i)3
z=-1+i
= p
2
吴新民
- 36 -

第二节 留数的应用
1
+¥
ò
1+ x4 dx
例4 计算积分
0
1
解 为偶函数, 且位于在上半平面的奇点为
+
1 z
4
2 2
第五章
± + i,且为一级极点, 由公式 (5.2.5)得
2 2
原式 = pi[Res[ , (1+ i)]
1 2
+
4
留数
1 z 2
1 2
+ Res[ , (-1+ i)]]
+
4
1 z 2
= pi[ 1
4z3
1
+ 4z3
z= 22(1+i)
z= 22(-1+i)
2p
=
4
吴新民
- 37 -

第二节 留数的应用
+¥
ò
三
形如 R(x)e dx(a > 0)
i x
a
的积分
-¥
Pn(x)
其中R(x) = Qm(x), Pn(x),Qm(x)分别为n,m次多
项式, m - n ³ 1,且 无实根。
=
第五章
Q (x) 0
m
对此我们有
h
+¥
å
ò
留数
a
i x
(5.2.6)
R(x)e dx = 2pi Res[R(z)eiaz,zk]
-¥
k=1
其中 h为R(z)位于在上半复平面的所有奇点,
z ,z ,L,z
1 2
事实上, 像(5.2.2) 推导一样, 对于充分大的 R, 当
zÎCR时
3
Rm-n
| R(z)|£
吴新民
- 38 -

第二节 留数的应用
ò
£ ò
CR
| R(z)eiazdz |
| R(z)||eiaz |ds
CR
3
3
p
ò
ò
Rm-n C e-a yds= Rm-n-1
e-aRsinjdj
£
0
第五章
留数
R
p
6
Rm-n-1
ò
=
2 e-aRsinjdj
0
p
2Raj
p
6
3p
m-n (1- e-aR)
2 e-
£ Rm-n-1 ò
dj = aR
0
由于m - n ³ 1,因此
ò
lim R(z)eiazdz = 0
sinj ³ (0 £ j £ p2)
2j
p
R®¥
CR
即有 (5.3.6) 成立。
吴新民
- 39 -

第二节 留数的应用
特别, 由于
eia x = cosax + isina x
因此利用 (5.2.6)可得
第五章
+¥ R(x)cosaxdx
ò
-¥
h
å
= 2p Re{i Res[R(z)eiaz,zk]}
留数
(5.2.7)
(5.2.8)
k=1
+¥
ò
R(x)sin zdx
-¥
h
å
= 2p Im{i Res[R(z)eiaz,zk]}
k=1
吴新民
- 40 -

第二节 留数的应用
例5 计算积分
cos2x
sin2x
+ +
1
z2 + 2z + 2 在上
+¥
+¥
ò
ò
1)
-¥ x2 + 2x + 2dx ; 2) -¥ x2 2x 2
dx
第五章解 利用(5.3.6)式, 由于 为
= - +
z 1 i
半复平面的奇点, 且为一级极点。因此
留数
e2ix
e2iz
+¥
ò
-¥ x2 + 2x + 2dx = 2piRes[z2 + 2z + 2,-1+ i]
e2iz
2i(-1+i)
= 2pi e
= 2pi 2z + 2 z=-1+i
2i
= pe-2(cos2- isin2)
吴新民
- 41 -

第二节 留数的应用
利用 (5.2.7),(5.2.8)
有
cos2x
-¥ x2 + 2x + 2dx = Re[pe-2(cos2- isin2)]
= pe-2cos2
+¥
ò
第五章
留数
sin2x
+¥
ò
-¥ x2 + 2x + 2dx = Im[pe-2(cos2- isin2)]
= -pe-2sin2
吴新民
- 42 -

第二节 留数的应用
+¥ sin x
y
例6 计算积分ò
dx
CR
x
0
iz
e
Cr
第五章闭曲线的积分, 注意到, 此函数 -R -ro r
有一个奇点z = 0, 且为一级极点, 为了使闭曲线不经过
解 我们考察函数 z 沿某正向
x
R
留数
>
r( 0),
R
原点, 我们对适当大的 适当小的 作如图所示
的正向简单闭曲线, 由于此函数在曲线的内部无奇点,
因此