云南省丽江市2025届高中毕业生复习统一检测-数学试题（含答案）.docx

丽江市 2025 届高中毕业生复习统一检测
数学试卷
（
全卷四个大题，共 19 个小题，共 6 页；满分 150 分，考试用时 120 分钟）
注意事项：
1
．本卷为试题卷。考生必须在答题卡上解题作答。答案应书写在答题卡的相应位置上，在
试题卷、草稿纸上作答无效。
2
．考试结束后，请将答题卡交回。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
1
2
3
4
．若复数 z 满足(1- 3i)z = 3- i （i 为虚数单位），则 z 的模 z = （
）
3
A．
B．1
C． 10
D．5
5
．已知集合 A ={x∣ x +1 £ 2}， B = {-3,-1, 2,5}，则 AI B = （
A．{-1, 2} B．{-3,-1} C．{2}
）
D．{-3,-1, 2}
．已知向量a ，b 满足| a |= 2 ，| a - 2b |= 2 ，且(a - b) ^ a ，则 b = （
）
2
A．
B． 2
C．1
D．2
2
x
2
y
2
．“ 2 < m < 4”是“方程
+
=1表示椭圆”的（
）
4
- m m - 2
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．充要条件
2
- x
x
+
5
6
．已知函数 f (x) = ln
，则下列函数是奇函数的是（
）
x
x -1
A． f (x +1) +1
B． f (x -1) +1
C． f (x -1) -1
D． f (x +1) -1
1
1
．已知sin(a + b )= ,sin(a - b )= ，则cos2a - cos2b = （
）
2
3
数学试卷·第 1 页（共 6 页）

1
6
1
1
1
6
A． -
B． -
C．
D．
36
36
7
8
．某同学掷一枚正方体骰子 5 次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为 2，
方差为 0.4，可判断这组数据的众数为（
A．1 B．2
）
C．3
D．4
．如图，水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，
侧面CDD C 上有一个小孔 E ， E 点到CD 的距离为 3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD
1
1
始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面 CDD C 与桌面所成的锐二面角的正切值为
1
1
（
）
5
1
2
A．
B．
C．2
D． 5
5
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9
．下列说法正确的是（
）
A．样本数据 20,19,17,16,22,24,26 的下四分位数是 17
B．在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为 10，平均值为 9，第二层的样
本量为 20，平均值为 12，则所抽样本的平均值为 11
æ
è
1 ö
3 ø
8
X : Bç5， ÷
P(X = 2) =
C．若随机变量
，则
243
(
)(s > 0)，若 P(X ³ 2)= 0.8，则 P(X > 6)= 0.2
X ~ N 4,s
2
D．若随机变量
数学试卷·第 2 页（共 6 页）

1
0．已知函数 f (x)= 2sin xcos x - 2 3 sin2 x + 3
，则（
）
A．函数 f (x)的最小正周期为 π
π
B．直线 x = 是函数 f (x)的图象的一条对称轴
6
é
ë
πù
C．若 xÎ ê0, ú 时， m < f (x)恒成立，则实数 m 的取值范围为 -¥,- 3
2û
(
)
1
D．将函数 f (x)的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的 ，再将所得的图象向右平
2
π
( )
g x
xÎ[0,t]
( )
g x 有且仅有 5 个零点，
时，函数
移
个单位，得到函数
的图象，若
6
æ
è
13 4 ù
12 3 û
则实数 t 的取值范围为 ç
,
ú
x2
y2
1
1．已知点 P 是左、右焦点为 F ， F 的椭圆C ：
+
=1上的动点，则（
）
1
2
8
4
A．若ÐF PF = 90°，则VF PF 的面积为4 2
1
2
1
2
B．使VF PF 为直角三角形的点 P 有 6 个
1
2
C． PF - 2 PF 的最大值为6 - 2 2
1
2
æ
è
1 ö
2 ø
5
5
D．若 M ç1, ÷ ，则 PF + PM 的最大、最小值分别为 4 2 +
和 4 2 -
1
2
2
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
π
1
2．在VABC 中内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且 A = ，a =1，c = 3 ，则
6
cosC =
．
æ
è
y ö
1- ÷(x + y)8
1
3．
ç
的展开式中
x
2
y
6
的系数为
（用数字作答）．
x ø
(
)
- 2ln x对任意
x > 0
1
4．已知不等式
xe4x + 8- 2a x - 2x2 < ex2 +ax
恒成立，则实数 a 的取值范
围为
.
数学试卷·第 3 页（共 6 页）

四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
5．（本小题满分 13 分）
已知函数 ( )
f x = 2 x -1 ex - ax2
(
)
.
y = f x
( )在
x = 0
（
1）求曲线
2）若 a = e2 ，求函数
处的切线方程；
（
f (x)在[1, 3]
上的最值.
1
6．（本小题满分 15 分）
3
3an
2an +1
已知数列{a }的首项 a = ，且满足
=
a
n+1
．
n
1
5
ì
ü
1
（
（
1）求证：数列 í -1ý为等比数列．
an
î
þ
1
1
1
1
+
+
+L+ <100
求满足条件的最大整数 n．
2）若
a1 a2 a3
an
数学试卷·第 4 页（共 6 页）

-

1
7．（本小题满分 15 分）
如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形，且 FA＝FC ，ÐDAB＝ÐDBF＝60o
（
（
1）求证：平面 ABCD ^ 平面 BDEF
2）求直线 AD 与平面 ABF 所成角的正弦值．
1
8．（本小题满分 17 分）
甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积 2 分，负者积 0 分；
比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一
场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到 4 分者获得比赛胜利，比赛结束. 已知甲与乙
p
p
2
比赛时，甲获胜的概率为 ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 ，乙与丙比赛时，乙获胜
1
p
3
的概率为
.
p = p = p = 0.5
（
（
1）若
，求比赛结束时，三人总积分 X 的分布列与期望；
1
2
3
p + p >1
2）若
，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙
1
3
的最优指定策略.
数学试卷·第 5 页（共 6 页）

1
9．（本小题满分 17 分）
x
2
2
y
2
2
已知双曲线C :
-
=1(a > 0，b > 0) 的两条渐近线方程为 x ± 2y = 0，A(2 2，1) 为C 上
a
b
一点．
（
（
1）求双曲线C 的方程；
2）若过点 A 的直线l 与C 仅有 1 个公共点，求l 的方程；
（
3）过双曲线 C 的右焦点 F 作两条互相垂直的直线 l ， l ，且 l 与 C 交于 M，N 两点，
1
2
1
记 MN 的中点 B，l2 与C 交于 P，Q 两点，记 PQ 的中点为 D ．若G(0， 5) ，求点G 到
直线 BD 的距离的最大值．
数学试卷·第 6 页（共 6 页）

丽江市 2025 届高中毕业生复习统一检测
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
D
C
D
A
B
C
【
解析】
1
. 由(1-3i)z = 3- i
，
( - )( + )
3-
1-
i
3 i 1 3i
( - )( + )
3i 1 3i 1 3i
3 9i -i -3i2 6 8i
+
+
3
4
5
z =
=
=
=
=
+
i
得
，
1-9i2
10
5
2
æ ö2
æ
3
ö
4
所以 z = ç ÷ + ç ÷ =1.故选 B.
è
5 ø è 5 ø
x +1 £ 2，故0 £ x +1 £ 4 ，解得 -1 £ x £ 3，故 A = {x∣-1£ x £ 3}，
2
3
.
B = -3,-1, 2,5}，故
{
AI B = {-1, 2}.故选 A
又
. 由| a - 2b |= 2 两边平方得
2
2
2
4 ，b2
= a ×b
，
a
-
4a×b + 4b 4 4a b 4b
= - × +
=
2
由于(a - b) ^ a ，所以(a -b)×a =
- a×b = 4 - a×b = 0,a b 4，
× =
a
2
所以b 4, b 2 .故选 D
=
=
ì
4 - m > 0
ï
x
2
y
2
m - 2 >
0
2 < m < 4且m
3，
¹
+
=1表示椭圆，则
í
，解得
4
5
. 若方程
4
- m m - 2
ï
4 - m ¹ m - 2
î
x
2
y
2
所以“ 2 < m < 4”是“方程
+
=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选 C.
4
- m m - 2
2
-
( + )
x 1 x 1
+
1 x
1+ x
-
1
. 易知 f (x +1) = ln
+
= ln
+1+
，
x +1
x
x
所以 f (x +1)-1= ln 1
- x
+ x
1
+ (xÎ(-1, 0)U(0,1))，
1
x
数学参考答案·第 1 页（共 12 页）

-

1
- x
+ x
1
1+ x
，则 g (-x) = ln 1- x
1
令 g (x) = ln1
+
-
g(x)+ g(-x)= 0
，显然
，
x
x
所以 g (x)为奇函数.故选 D
1
+cos2a 1+cos2b
1
-
= (cos2a - cos2b )
6
7
．cos2a - cos2b =
2
2
2
1
=
écos( + + a - )- cos( +
-
+ )ù
û
ë
2
1
1
1
=
-sin(a + b )sin(a - b )= - ´ = - .故选 A.
2
3
6
x £ x £ x £ x £ x
5
. 不妨设五个点数为
，由题意平均数为 2，方差为 0.4，
1
2
3
4
知(x1 2)2 (x2 2)2 (x3 2)2 (x4 2)2 (x5 2)2 = 2，x + x2 x3 x4 x5 =10 .
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
+
1
可知五次的点数中最大点数不可能为 4，5，6.
五个点也不可能都是 2，则五个点数情况可能是 3，3，2，1，1，其方差为
(3
- )2 + ( - )2 + ( - )2 + ( - )2 + ( - )2
2
3 2
2 2
5
1 2
1 2
4
5
=
= 0.8 ，不合题意.
若五个点数情况为 3，2，2，2，1，其方差为
(3
- )2 + ( - )2 + ( - )2 + ( - )2 + ( - )2
2
2 2
2 2
5
2 2
1 2
2
=
= 0.4 ，符合题意，其众数为 2.故选 B.
5
8
. 由题意知，水的体积为 4´ 4´ 2 = 32 ，如图所示，
设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱
AA ,BB ,CC ,DD
交于
M,N,P,Q，
1
1
1
1
由题意知 PC = 3，水的体积为 SBCPN gCD = 32 ，
NB + PC
NB + 3
所以
´ BC ´ CD = 32 ，即
´ 4´ 4 = 32 ，解得 BN =1，
2
2
BCC1B
内，过点C
C H P NP
1
在平面
作
交于 H ，
1
1
数学参考答案·第 2 页（共 12 页）

NPC1H
是平行四边形，且
NH = PC1 =1，
则四边形
又侧面CDD C 与桌面所成的角即侧面CDD C 与水面
MNPQ
所成的角，
1
1
1
1
Ð
HC C = ÐB HC
即侧面CDD C 与平面 HD C 所成的角,其平面角为
，
1
1
1
1
1
1
1
B1C
B1H
4
2
B HC
tan ÐB HC =
1 =
= 2 .故选 C.
在直角三角形
中，
1
1
1
1
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号
答案
9
10
11
ABD
AC
BCD
【
解析】
7
9
. 对于 A.从小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由7´25% = =1.75 ，所以下
4
四分位数是 17 正确；
对于 B，1
0´9 + 20´12
=11正确；
3
0
2
æ ö3
æ
1
ö
2
80
对于 C，由二项分布可得： P(X = 2)= C5
2
ç ÷ ç ÷ =
，错误；
è ø è ø
3
3
243
对于 D，由正态分布的对称性可得： P(X > 6 =1- P X £ 2 = 0.2
)
(
)
，正确.故选 ABD.
æ
è
π ö
3 ø
1
0．因为 f (x)= 2sin xcos x - 2 3 sin2 x + 3 = sin 2x + 3 cos 2x = 2sinç2x +
÷
，
2
π
所以 f (x)的最小正周期为T =
= π
，故 A 正确；
2
æ
è
π ö
2π
f ç ÷ = 2sin
= 3 ¹ 2
又由
，故 B 错误；
6 ø
π ù
3
é
π
é π 4π ù
xÎ 0,
2x + Î ê ,
当
ê
ú 时，可得
2 û
ú
，
ë
3
ë 3 3 û
π
4π
π
4π
当 2x +
=
，即 x = 时，
( )
f x
取得最小值
= - 3
，
2sin
3
3
2
3
é
ë
π ù
2 û
xÎ 0,
m < f (x)
因为
ê
ú ，
恒成立，所以m < - 3 ，
即实数m 的取值范围为(-¥,- 3)，故 C 正确；
æ
è
π ö
由题意得函数 g (x)= 2sinç4x -
÷，因为
3 ø
xÎ[0,t]，
数学参考答案·第 3 页（共 12 页）

π
é π
ë 3
π ù
3 û
4
x - Î ê- ,4t -
g (x)
有且仅有 5 个零点，
所以
ú
，又因为函数
3
π
13π
4π
则满足 4π £ 4t - < 5π ，解得
£ t <
，
3
12
3
é
ë
13π 4π ö
12 3 ø
所以实数t的取值范围是
,
÷，故 D 错误.故选 AC.
ê
x
2
y
2
1
1．A 选项：由椭圆方程
+
=1，所以 a2 = 8，b2 = 4 ，所以c2 = a2 - b2 = 4 ，
8
4
Ð
F1PF
2
所以VF PF 的面积为
S = b2 tan
2
= 4，故 A 错误；
1
2
B 选项：当 PF ^ F F 或 PF ^ F F 时VF PF 为直角三角形，这样的点 P 有 4 个，
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
设椭圆的上下顶点分别为S ，T ，则 F F = 4, OS = 2,\ OS = F F ,同理 OT = F F ，
1
2
2
1
2
2
1
2
知ÐF SF = ÐFTF = 90° ，所以当 P 位于椭圆的上、下顶点时VF PF 也为直角三角形，
1
2
1
2
1
2
其他位置不满足，满足条件的点 P 有 6 个，故 B 正确；
C 选项：由于 PF - 2 PF = 2a - PF - 2 PF = 4 2 -3 PF ，
1
2
2
2
2
PF
PF2 = a - c = 2 2 - 2
PF1 - 2 PF
时， 取得最大值6 - 2 2 ，故C正确；
所以当
最小即
2
2
D 选项：因为 PF + PM = 2a - PF + PM = 4 2 + PM - PF ，
1
2
2
5
5
5
又 PM - PF £ MF =
，则 PF1 + PM 的最大、最小值分别为 4 2 +
和 4 2 -
，
2
2
2
2
2
当点 P 位于直线 MF2 与椭圆的交点时取等号，故 D 正确，故选 BCD.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号
答案
12
13
14
(3,+¥)
1
2
1
2
或-
-28
数学参考答案·第 4 页（共 12 页）

【
解析】
3
1
c
a
=
1
2．在V ABC 中由正弦定理可知
=
，所以
π ，
sin C
sinC sin A
sin
6
3
解得sinC =
，因为C 为V ABC 的内角，
2
所以C = 60° 或C = 120° ，
1
1
1
1
2
所以cosC = 或cosC = - ，故答案为 或-
．
2
2
2
æ
y ö
x ø
y
x
-
(x y)8 =(x y)8
+
+
-
(x + y)8 ，
1
1
3．因为 1
ç
÷
è
æ
y ö
y
1-
(x ) 的展开式中含 x2 y6 的项为
+
y
8
6
8
2
6
-
5
8
3
5
= -28x2 y6
所以
ç
÷
C
x
y
C
x
y
，
è
x ø
x
æ
è
y ö
1-
(x ) 的展开式中 x2 y6 的系数为
-28
+
y
8
-28
故
ç
÷
.故答案为
.
x ø
4．原不等式等价于
4x+ln x + 2 4x + ln x < ex2 +ax + 2 x2 + ax)，
xe4x +8x + 2ln x < ex2 +ax + 2 x2
(
+ ax)，
(
)
(
也就是e
因为 y = 2x, y = ex 均为R 上的增函数，故 f (x) = 2x + ex
为R 上的增函数，
故原不等式即为 (
f 4x + ln x < f x2
)
(
+ ax)，故 4x ln x x2 + ax 对任意
恒成立，
+
< x > 0
ln x
故 a > 4 - x +
对任意 x > 0 恒成立，
x
ln x
1- x2 -ln x
设 s(x) = 4 - x +
, x > 0 ，则 s¢(x) =
，
x
x
2
1
设 ( )
v x =1- x2 - ln x ，则v¢(x)= -2x - < 0
，
x
故v(x)=1- x2 - ln x 在(0, + ∞)上为减函数，而v(1) = 0
，
故当푥 ∈ (0,1)时，v(x)> 0 即 s¢(x)> 0，故 s(x)在(0,1)上为增函数；
当푥 ∈ (1, + ∞)时，v(x)< 0 即 s¢(x)< 0 ，故 s(x)在(1, + ∞)上为减函数，
故 s(x)max = s(1)= 3 ，故 a > 3.
数学参考答案·第 5 页（共 12 页）

四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
5.（本小题满分 13 分）
1
解：（1）由函数 f (x)= 2 x -1 ex -ax2
(
)
，可得
f ¢(x)= 2xex - 2ax = 2x(ex - a)
.....（1 分）
可得 f ¢(0)= 0
..................................（2 分）
且 f (0)= -2
..................................（3 分）
所以切线的斜率为 k = 0，切点为(0,-2)，
..................................（4 分）
则所求切线方程为 y= 2 .
..............................（5 分）
(
)
（
2）由（1），当a = e2 时，可得 f ¢(x)= 2x ex - e2 , xÎ[1, 3] ...............................（6 分）
当 xÎ[1, 2)时， f ¢(x)< 0
，函数
f (x)
在[1, 2)上单调递减， .......................（7 分）
在(2,3]上单调递增， .......................（8 分）
..................................（9 分）
xÎ 2, 3]时， f ¢(x)> 0，函数 f (x)
(
当
而 f (1)= -e2
，
(
)= -2e2 ，
..................................（10 分）
f 2
f (3)= 4e3 -9e2 ，
..................................（11 分）
故所求最大值为 4e3 -9e2 ，
..................................（12 分）
最小值为 -2e2 .
..................................（13 分）
1
6. （本小题满分 15 分）
3
an
1
2a +1 1 1
2
3
(
)Qan+1
=
,\
=
= ×
3 a
+
解: 1
n
，
.................................（2 分）
2
an +1 an+1
3an
n
ö
1
1 1
2
1 æ 1
-
1= × + -1= ç -1÷
可得
又由
，
.................................（3 分）
an+1
3 an
3
3è a
n
ø
3
1
2
3
a =
1
-1=
，所以
，
.................................（5 分）
5
a1
ì
ü
2
1
1
-1ý
í
表示首项为 ，公比为 的等比数列. ........................（6 分）
所以数列
3
3
an
î
þ
数学参考答案·第 6 页（共 12 页）

n
1
2
æ
1
ön-1
æ ön
1
1
æ
1
ö
-
1= ´ç ÷ = 2×ç ÷
=2×ç ÷ +1
（
2）由（1）可得
，所以
........（8 分）
an
3 è 3ø
è 3ø
an
è 3ø
ì
1 ü
1
1
1
1
æ 1
1
1
1 ö
设数列í ý的前n项和为S ,则S =
+
+
+×××+ = 2ç +
+
+×××+ ÷ + n
n
n
3
2
3
3
3n
an
a1 a2 a3
an
è
3
ø
î
þ
é
æ ön
ù
1
1
1-ç ÷ ú
êë è 3ø úû
ê
3
1
=
2´
+ n = n +1-
...............................................（11 分）
1
3n
1
-
3
1
3n
1
3x
若Sn <100，即n +1- <100 ，因为函数 y = x +1- 为单调递增函数，....（12 分）
............................（15 分）
所以满足Sn <100的最大整数n的值为99
1
7. （本小题满分 15 分）
解：（1）设 AC 与 BD 相交于点 O，连接 FO，
四边形 ABCD 为菱形，\ AC ^ BD ，
且 O 为 AC 中点， FA = FC ，\ AC ^ FO ，
FO,BD Ì
..................................（1 分）
..................................（2 分）
..................................（3 分）
∵
又 FO Ç BD＝O ，
AC ^平面 BDEF，
平面 BDEF，
∴
..................................（5 分）
又 AC Ì 平面 ABCD ，所以平面 ABCD 平面 BDEF .
............................（6 分）
（
2）
连接 DF，∵四边形 BDEF 为菱形，且ÐDBF＝60o ，
\VDBF 为等边三角形，
∵
O为BD中点，∴ FO ^ BD ，又 AC ^ FO ， AC I BD = O ，
AC,BD Ì
平面ABCD，
\
FO ^平面 ABCD．故 OA，OB，OF 两两垂直，
建立空间直角坐标系O- xyz
.................................（7 分）
∴
，如图所示，
..................................（8 分）
设 AB＝2，∵四边形 ABCD 为菱形，ÐDAB＝60o ，\BD＝2, AC＝2 3 ．
数学参考答案·第 7 页（共 12 页）

QVDBF 为等边三角形，∴OF = 3 ．
\
A( 3, 0, 0), B(0,1, 0), D(0,-1, 0), F(0, 0, 3)，
(- - ) AF = (- 3, 0, 3), AB = (- 3,1, 0)
3, 1,0 ， ............................（10
，
AD
=
∴
分）
r
ì
ïî AB×n = - 3x + y = 0
r
令 x = 1，解得
n
=
(1, 3,1)
，
...........................（12 分）
设 AD 与平面 ABF 所成角为 ，则 AD 与平面 ABF 所成角的正弦值为：
r
AD × n
- 3 - 3
u
uur r
1
5
5
sinq = cos AD,n = uuur r =
AD × n
=
．
.......................（15 分）
4 ´ 5
1
8.（本小题满分 17 分）
解：（1）由题意可知，X= 4 , 6 , 8.
..................................（1 分）
当两场比赛后结束，也即第一局的其中 1 人连续获得两场胜利，有两种情况，此时
X = 4 ， P(X = 4)= 0.5´0.5´2 = 0.5， ........................（2 分）
当三场比赛后结束，即第一局比赛的 2 人均未获胜，轮空者获胜，共有两种情况，
此时 X = 6， P(X = 6)= 0.5´0.5´0.5´2 = 0.25；
................................（3 分）
当四场比赛后结束，前三局比赛，甲乙丙三人各赢 1 场，进行第四场比赛，共有 2
种情况，
此时 X = 8， P(X = 8)= 0.5´0.5´0.5´2 = 0.25 ；
................................（4 分）
所以三人总积分 X 的分布列为:
X
4
6
8
0
.5 0.25 0.25
P
所以 E(X ) = 0.5´4 + 0.25´6 + 0.25´8 = 5.5 .
.................（6 分）
（
2）设事件A 为“第一局乙对丙最终乙获胜”， B 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，C 为“第
一局甲对丙而最终乙获胜”，则有：
已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 p1 ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 ，乙
p
2
p
3
.
与丙比赛时，乙获胜的概率为
数学参考答案·第 8 页（共 12 页）

其中A 包含三种情况:
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故 ( )
P A = p 1- p + p p 1- p p + 1- p p 1- p
(
)
(
)
(
)
(
)
； .......................（8 分）
p
3
3
1
3
1
2
3
3
2
1
同理可得
(
)= (1-
)
+ (1- )( -
)
( - p1 )+ ( -
)
( - p1 )；............（10 分）
p3 p 1 p 1 p2 p 1
P B
p1 p3
p1
1
2
1
3
(
)= ( -
)
+ (1-
)
( - p1 )= ( - p1 )；
p 1
P C
p 1 p1 p3
p2 p 1
...............（11 分）
2
3
3
显然 ( ) ( ) (
P B - P C = 1- p
)(1- p p 1- p + p 1- p p 1- p > 0
，
)
(
)
(
)
(
)
1
3
2
1
1
2
3
1
故 P(B) > P(C)，
..............（13 分）
(
)- ( )
P A P B
=
é
p p 1 p2 p3 p 1 p2 p 1 p û ë 1 p3 p 1 p1 p3
( -
)
-
( -
)
( - )ù + é( -
)
( -
)
p1
-(1- )( -
1
p3 p 1 p û
)
( - )ù
ë
3
1
1
3
1
2
2
1
=
(
+
- ) ( -
p1 p3 1 p 1 p2 p3 p1 p3 1 1 p3 p 1 p1
)
+ (
+
- )( -
)
( -
)
1
2
=
(
+
- )é ( -
p1 p3 1 ë p 1 p2 p3
)
+ (1-
p3 p 1 p û
)
( - )ù ，
........................（15 分）
1
2
1
p + p >1
由于
，
1
3
故 ( ) ( ) (
P A - P B = p + p -1 éë p 1- p p + 1- p p 1- p ùû > 0
)
(
)
(
)
(
)
，
1
3
1
2
3
3
2
1
所以 P(A)> P(B)；
故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局.
9.（本小题共 17 分）
.............................（17 分）
1
解：（1）由题意可得，
，解得
，
..................................（2 分）
所以双曲线 的方程为
.
..........................（3 分）
数学参考答案·第 9 页（共 12 页）

（
2）当直线 斜率存在时，设直线 的方程为
，
) - ( - 2k)2 +
é
ë
ù
û
(1-
4k x2 8k 1 2 k x 4ê 1 2
)
- ( -
2
1ú
=
0
2
代入
可得
，......（5
分）
当
时，即
时，直线 与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，
即直线 的方程为
x+2y-2-2 2 = 0
......（6 分）
，
当
即
时，
，可得
，
，此时直线 与双曲线相切，
； ...................................（8 分）
直线 的方程为
显然，当直线 斜率不存在时，直线 与双曲线有两个公共点，不满足；
综上所述，与双曲线 仅有 1 个公共点的直线有 3 条：
，
x + 2y - 2 - 2 2 = 0 ，
3）当直线 的斜率不存在时，则 重合，又
的方程为
.
...............（9 分）
（
与
，即
，
所以
则
，
，此时直线
；
，
到
的距离为
................................