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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,近世代数绪论,初等代数、线性代数、高等代数都称为,近世代数(modern algebra)也称为,经典代数(classical algebra),研究的对,象是代数方程和线性方程组。,抽象代数(abstract algebra),研究的,对象是代数系统(带有封闭运算的集合)。,6/1/2020 08:20,学习近世代数的意义,由于近世代数在数学的其他分支、近代,物理、近代化学、计算机科学、数字通信、,系统工程等许多领域都有重要应用,因而它,是现代科学技术的数学基础之一,是许多科,技人员需要掌握的基本内容和方法,因此近,世代数也是数学专业的专业基础课之一。,6/1/2020 08:20,几个有趣的应用实例,1.项链问题,2.分子结构的计数问题,3.正多面体着色问题,4.图的构造与计数问题,5.开关线路的构造与计数问题,6.数字通信的可靠性问题,7.几何作图问题,8.代数方程根式求解问题,6/1/2020 08:20,1.项链问题,问题的提法:,用,n,种颜色的珠子做成有,m,颗珠子的项链,,问可做成多少种不同类型的项链?,这里所说的不同类型的项链,指两个,项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。,6/1/2020 08:20,数学上的确切描述,设由m颗珠子做成一个项链,可用一个正m边形,来代表它,它的每个顶点代表一颗珠子。,1,2,3,5,4,6,7,8,沿逆时针方向给珠子标号,,由于每一颗珠子的颜色有n种选,择,因而用乘法原理,这些有标,号的项链共有n,m,种。,但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转180度使它们完全重合,我们称为是本质相同的,我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。,6/1/2020 08:20,例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链,利用枚举法,得到一共8种不同类型的项链。,随着n、m的增加,用枚举法解决越来越难,,采用群论方法解决是最简单、有效的方法。,6/1/2020 08:20,2.分子结构的计数问题,在化学中研究由某几种元素可合成多少种,不同物质的问题,由此可以指导人们在大自,然中寻找或人工合成这些物质。,例2,在一个苯环上结合H原子或CH,3,原子团,,问可能形成多少种不同的化合物?,C,C,C,C,C,C,CH,3,CH,3,H,H,H,H,如果假定苯环上相邻C原子之间的键是互相等价的,则此问题就是两种颜色6颗珠子的项链问题。,6/1/2020 08:20,3.正面体着色问题,对一个正多面体的顶点或面用n种颜色进,下面以六面体为例说明此问题的数学描述。,例3,用n种颜色对六面体的面着色,问有多,首先建立此问题的数学模,型,将问题中的一些概念给,以量化:,少种不同的着色方法?,行着色,问有多少种不同的着色方法?,6/1/2020 08:20,设n种颜色的集合为,A=a,1,,a,2,,a,n,正六面体的面集合为,B=b,1,,b,2,,b,3,,b,4,,b,5,,b,6,则每一种着色方法对应一个映射:f:B A,,反之,每一个映射对应一种着色法。由乘法,原理,全部着色法的总数为n,6,,但这样的着色,法与面的编号有关,其中有些着色法可适当旋,转正六面体使它们完全重合,称它们本质相同,,我们要求本质不同的着色法的数目。,6/1/2020 08:20,两种颜色(红、绿)n=2,6面红,5面红、1面绿,4面红、2面绿,3面红、3面绿,2面红、4面绿,1面红、5面绿,6面绿,利用枚举法,得到一共10种不同的着色法。,对于一般的情况,目前只能用群论方法解决。,1,1,2,2,2,1,1,6/1/2020 08:20,4.,图的构造与计数问题,图论的一些基本概念:,设V=v,1,v,2,v,n,称为,顶点,集(vertex,set),E是由V的一些2元子集构成的集合,称,为,边集,(edge set),则有序对,(V,E)称为一个,图,(graph),记作G=(V,E)。,作图:每一个顶点用圆圈表示,对边集中,的每一个元素i,j用一条直线或曲线连接顶,点i与j,顶点的位置及边的长短,形状均无关紧,要。,6/1/2020 08:20,例如,设V=1,2,10,E=1,2,2,3,3,4,4,5,1,5,1,6,2,7,3,8,4,9,5,10,6,8,7,9,8,10,6,9,7,10,图G=(V,E)为,1,2,3,4,5,6,8,7,9,10,此图为图论中有名的,彼得松(Petersen)图,6/1/2020 08:20,例4 画出所有点数为3的图,1,2,3,G,1,G,2,1,2,3,1,2,3,G,3,1,2,3,G,4,1,2,3,G,5,1,2,3,G,6,1,2,3,G,7,1,2,3,G,8,故可形成8个图。如果不考虑点号,有些图可以完全,重合,这样的图称它们是同构的。例如G,2,G,3,G,4,是同构的。可以看出这8个图中共有4个互不同构的,图。,问题:n个点的图中互不同构的图有多少个?,6/1/2020 08:20,5.开关线路的构造与计数问题,一个有两种状态的电子元件称为一个开关,,例如普通的电灯开关,二极管等。由一些开关,组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路,的两端也只有两种状态:通与不通。,问题:用n个开关可以构造出多少种不同的,开关线路?,首先必须对此问题建立一个数学模型,然,后用适当的数学工具来解决它。,6/1/2020 08:20,我们用n个变量x,1,,x,2,,x,n,代表n个开,关,每一个变量x,i,的取值只能是0或1,代表开关的,两个状态。开关线路的状态也用一个变量f来表示,,f的取值也是0或1,代表开关线路的两个状态。f是,x,1,,x,2,,x,n,的函数,称f为开关函数,记作,f(x,1,,x,2,,x,n,),令A=0,1,则f是AAA到A的一个,函数,反之f:AAA A对应一个开关线,路。因此,开关线路的数目就是开关函数的数目。,6/1/2020 08:20,f的定义域AAA中的元素个数为,2,n,,f在每个元素上的取值有两种可能,所以,全部开关函数的数目为2,2,n,,这也就是n个开,关的开关线路的数目。,如果不考虑开关的标号,则若开关线路结,构完全相同,称这些开关线路是本质相同的,。,要进一步解决本质上不同的开关线路的数目,问题,必须用群论的方法。,6/1/2020 08:20,6.数字通信的可靠性问题,现代通信中用数字代表信息,用电子设,备进行发送、传递和接收,并用计算机加以,处理。由于信息量大,在通信过程中难免会,出现错误。为了减少错误,除了改进设备,外,还可以从信息的表示方法上想办法。,用,数字表示信息的方法称为编码,。编码学就是,一门研究高效编码方法的学科。,下面用两个简单的例子来说明检错码与,纠错码的概念。,6/1/2020 08:20,例5 简单检错码奇偶性检错码,设用6位二进制码来表示26个英文字母,其中,前5位顺序表示字母,第6位做检错用,当前5位的,数码中1的个数为奇数时,第6位取1,否则第6位,是0。这样编出的码中1的个数始终是偶数个。例,如,,A:000011 B:000101 C:000110,D:001001 ,用这种码传递信息时可检查错误。当接收方收到的,码中含有奇数个1时,则可断定该信息是错的,可,要求发送者重发。因而,同样的设备,用这种编码,方法可提高通信的准确度。,6/1/2020 08:20,例6 简单纠错码重复码,设用3位二进制重复码表示A,B两个字母,如下:,A:000 B:111,则接收的一方对收到的信息码不管其中是否,有错,均可译码如下:,000 001 010 011 100 101 110 111,A A A B A B B B,这就意味着,对其中的错误信息做了纠正。,利用近世代数的方法可得到更高效的检,错码与纠错码。,6/1/2020 08:20,7.几何作图问题,古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题:用,圆规和直尺,能做出哪些图形?,而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上,做记号。为什么会提出这样的问题呢?,一方面是由于生产发展的需要,圆规、直尺是,丈量土地的基本工具,且最初的直尺是没有刻度,的;另一方面,从几何学观点看,古人认为直线与,圆弧是构成一切平面图形的要素。据说,古人还认,为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且,整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。,6/1/2020 08:20,历史上(困扰人们很久)的著名问题:,二倍立方体问题,:作一个立方体使其体,积为一已知立方体体积的两倍。,三等分任意角问题,:给定一个任意角,,将其三等分。,圆化方问题,:给定一个圆(已知半径为r),作一个正方形使其面积等于已知圆的面积。,n等分一个圆周,。,这些问题直到近世代数理论出现后才得到,完全的解决。,6/1/2020 08:20,8.代数方程根式求解问题,我们知道,任何一个一元二次代数方程,可用根式表示它的两个解。对于一元三次和,四次代数方程,古人们经过长期的努力也巧,妙地做到了这一点。于是人们自然要问:是,否任何次代数方程的根均可用根式表示?许,多努力都失败了,但这些努力促使了近世代,数的产生,并最终解决了这个问题:五次以,上代数方程没有根式解。,6/1/2020 08:20,伽罗华(variste Galois,公元1811年公元1832,年)是,法国,对函数论、方程式论和,数论,作出重要贡献的,数学,家,,他的工作为,群论,(一个他引进的名词)奠定了基础;所,有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根,数解(Solution by Radicals)的不可能性(其实当时,已为,阿贝尔,(,Abel,)所证明,只不过伽罗华并不知道),,和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他已,经发表了一些论文,但当他于1829年将论文送交,法兰西科,学院,时,第一次所交论文却被,柯西,(,Cauchy,)遗失了,第,二次则被,傅立叶,(,Fourier,)所遗失;他第三次送交科学院,的论文被,泊松,(,Poisson,)所拒绝。伽罗华死于一次决,斗,时年21岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色,彩的人物之一。后来的一些著名数学家们说,他的死使数学的发展被推迟,了几十年。,6/1/2020 08:20,伽利略死后,直到19世纪末期,他的理,论才由别的数学家加以进一步的发展和系统,的阐述。,这样一门具有悠久历史、充满许多有趣,问题和故事的数学分支,在近代又得到了蓬,勃发展和广发应用,出现了许多应用与某一,领域的专著,正吸引越来越多的科技人员和,学生来学习和掌握它。,6/1/2020 08:20,学习内容,第一章 基本概念,第二章 群论,第三章 环与域,第四章 整环里的因子分解,6/1/2020 08:20,
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