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圆的切线证明
1（2011中考）。如图，PA为。。的切线,A为切点，过A作OP的垂线AB,足为点C,交。0于点B,延长B0与交于点D,与PA的延长线交于点E,
（1）求证:PB为。。的切线;
2已知。0中，AB是直径，过B点作。0的切线，连结CO，若AD II 0C交。0于D,求证：CD是。
0的切线.

3 如图,AB=AC
,
,AB是。O的直径,。0交BC于D
DM 1AC于M求证：DM与。O相切。

4 （28年厦门市）已知：如图，△如C中，^ = AC,以R3为直径的巳。交谬C于点P,D.LAC于点 .

（宛23题）（1）求证：尹是巳。的切线;
5已知：如图。。是△ ABC的外接圆，P为圆外一点,PA II BC,且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交。
0于另一点D,连结CD.
(1 )试判断直线PA与。0的位置关系，并证明你的结论.
⑵当AB=13, BC=24时，求。。的半径及CD的长.
6如图，点B、C、D都在半径为6的。0上，过点C作AC II BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知NCDB=Z0BD=30o . (1 )求证:AC是。。的切线；(2)求弦BD的长；⑶求图中阴影部分的面积.

7. (2010北京中考)已知：如图，在△ ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C 三点，DOC =2 ACD =90。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
⑵如果ACB=75 ,圆O的半径为2，求BD的长。
8、(2011北京)如图，在△ ABC，AB=AC ，以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E，点F在
1
AC的延长线上，且ZCBF^ZCAB .(1)求证:直线BF是。O的切线；
A

BF

9已知。0的半径OA 10B，点P在OB的延长线上，连结AP交。0于D,过D作。0的切线CE交OP 于 C,求证:PC =CD。

10 （201 浑广东省 9 分）如图,。。是 RtAABC 的外接圆,ZABC=90°，弦 BD=BA ,AB=12 ,BC=5,BE 1DC交DC的延长线于点E。
⑴求证：ZBCA= ZBAD ; (3)求证：BE是。0的切线。

11 (7分)(2013珠海)如图，。。经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A
(1) 求证：BC为。0的切线；
(2) 求NB的度数.

细说如何证明圆的切线
1、证切线90° （垂直）
2、有90°证全等
3、有上证//, 错过来
4、利用角+角=90°关注：等腰等边）三线合一；中位线;直角三角形
1 （2011中考）.如图，PA为。O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交。O于点B,延长BO与。O交于点D,与PA的延长线交于点E, （ 1）求证：PB为。O的切线；
2已知。0中，AB是直径，过B点作。0的切线，连结CO，若AD II 0C交。0于D,求证:CD是。0的切线。

点悟：要证CD是。0的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结0D。
证明：连结0D .
•.•AD II 0C ,
/. ZC0B = ZA 及NC0D = Z0DA
•/OA =0D , .••NODA = ZOAD
/. ZCOB = ZCOD
••CO为公用边，OD =0B
/. A COB ACOD，即 ZB = ZODC
••BC是切线，AB是直径，
/.ZB = 90° , ZODC = 90° ,
「.CD是。0的切线.
点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形"两个基本图形，先用切线的性质定理,后用判定定理。
3如图,AB=AC , AB是。0的直径，。。交BC于D, DM 1AC于M
求证：DM与。0相切.
3 （28年厦门市）已知:如图，中，，以』月为直径的己O交EG于点产1, PD1 AC于点。

p
B

f第23题］
(1) 求证：尹是E。的切线；
(2) 若匕为3二12伊，AB = 2,求吕C的值.
(1)证明:Q AB = j4C ,
又 OP — OB ,£OPB = ^B
-OP II AD
又qPDLAC于日,I.匕WF = 5俨,
..4—。= 90。
..功是巳。的切线

4已知：如图。0是^ABC的外接圆，P为圆外一点，PA//BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心、，交。0于另一点D,连结CD.
(1)试判断直线PA与。0的位置关系，并证明你的结论.
⑵当AB=13, BC=24时，求。。的半径及CD的长.
如图，点B、C、D都在半径为6的。0上，过点C作AC II BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知ZCDB=Z0BD=30o .
(1)求证：AC是。。的切线；
⑵求弦BD的长；
(3) 求图中阴影部分的面积.

5。 (2010北京中考)已知：如图，在△ ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC =2 ACD =90 。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
(2) 如果ACB =75，圆O的半径为2，求BD的长。

6、（2011北京）如图，在AABC , AB=AC ,以AB为直径的。0分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，且ZCBF= jzCAB .
（1）求证：直线BF是。0的切线；
A

例6。已知。0的半径OA 1OB，点P在OB的延长线上，连结AP交。0于D ,过D作。0的切线CE 交 OP 于 C,求证：PC =CD。

点悟：要证PC =CD，可证它们所对的角等，即证ZP = ZCDP，又OA 1OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题.
证明：连结OD，则OD 1CE。
.•.ZEDA +ZODA = 90°
•.•OA 1OB
.•.ZA +ZP = 90°，
又'/OA =OD，
.•.ZODA =ZA,ZP = ZEDA
• ZEDA =ZCDP，
.ZP = ZCDP，.PC =CD
点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系.
7 (2013年广东省9分)如图，。。是RtAABC
的外接圆，ZABC=90° ,弦BD=BA
,AB=12
BC=5 ,
,「.NBDA= ZBAD。

BE 1DC交DC的延长线于点Eo
(1 )求证：ZBCA= ZBAD ;
(2) 求DE的长；
(3) 求证：BE是。0的切线。
【答案】解：(1)证明：•.•BD=BA
..NBCA= ZBDA(圆周角定理)，•.•ZBCA= ZBAD.

(2) •/ZBDE= ZCAB (圆周角定理)，ZBED= ZCBA=90° ,
/. ABED ACBA ,
BD DE
IT AB

•.•BD=BA =12 , BC=5 ,.••根据勾股定理得：AC=13。
12
13
DE
—，解得：de
144
石
(3)证明:连接OB,OD ,
AB DB
在^ ABO 和^ DBO 中，：BO BO ,
OA OD
.•.△ABO ^ADBO (SSS )。
/.ZDBO= ZABO。
锦元数学工作室绘制

•.•ZABO= ZOAB= ZBDC ,.ZDBO= ZBDC o .OB II ED o•.•BE 1ED ,.EB 1BO o .OB 1BE。
• OB是。O的半径,..BE是。O的切线。
8. (7分)(2013珠海)如图,。。经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A
(1) 求证：BC为。O的切线；
(2) 求ZB的度数.

考点：切线的判定与性质;菱形的性质.
分析：(1)连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA 1AB，即ZOAB=90。，再根据菱
形的性质得BA=BC ,然后根据SSS”可判断△ ABC ^△CBO ,则ZBOC= ZOAC=90 °,
于是可根据切线的判定方法即可得到结论；
(2)由^ ABC ^△CBO得ZAOB= ZCOB，则ZAOB= ZCOB，由于菱形的对角线
平分对角,所以点。在BD上，利用三角形外角性质有ZBOC= ZODC+ ZOCD，则Z
BOC=2 ZODC ,
由于 CB=CD，则 ZOBC= ZODC，所以 ZBOC=2 ZOBC，根据ZBOC+ ZOBC=90 °
可计算出ZOBC=30。，然后利用ZABC=2 ZOBC计算即可.
解答：(1)证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，
•AB与。切于A点，
•••OA 1AB，即 ZOAB=90 °,
••四边形ABCD为菱形，
•.•BA=BC ,
10
在^ ABC和^ CBO中rAB=CB
OA=OC ,lOB=OB.•.△ABC ^ACBO ,/.ZBOC= ZOAC=90 °,.•.OC 1BC ,•••BC为。O的切线；
(2)解:•••△ABC ^△CBO ,•.•NAOB= ZCOB ,
••四边形ABCD为菱形，
• BD 平分 ZABC , CB=CD,点O在BD上，
•.NBOC= ZODC+ NOCD,而 OD=OC,
•••NODC= ZOCD,•••NBOC=2 ZODC ,而 CB=CD ,•••NOBC= ZODC ,•.•NBOC=2 ZOBC ,•.•ZBOC+ ZOBC=90 °,•••ZOBC=30 °,•.•ZABC=2 ZOBC=60 °.

点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质.
11
BC=3, AC=4,则它的内切圆半径是（B）
（19） （08长春中考试题）在Z^ABC中，已知ZC=90°

A.
B. 1
C. 2
D.
12