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抽象函数与解题策略

育诚高级中学——黄 勇
一、教学目标
1、明白得抽象函数并把握抽象函数的一样解题策略；
2、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的明白得；
3、渗透专门值法，化抽象为具体、转化等数学思想方法。
二、教学重点
通过对抽象函数有关性质的研究来解决求函数值、求解方程和不等式等问题。
三、课 型：拓展研究课

四、教学过程
（一）对近年高考试题分析
1、 设奇函数的定义域为，若当时，的图像如图所示，求不等式的解。（2004年高考）
2、是定义在区间上的奇函数，其图像如图所示。令，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）（2003年高考）
（A）若，则函数的图像关于原点对称；
（B）若，则方程有大于2的实根；
（C）若，则方程有两个实根；
（D）若，则方程有三个实根。

（二）例题选讲
例1 已知是定义在上的增函数，且对任意都有。
（1）求的值； （2）若，求解不等式：。

求函数值练习：
1、定义在上的函数同时满足：（a）对任意；
(b) 对任意均有。求的值。
2、是定义在上的函数，且，若，求的值。

例2 定义在上单调函数满足且对任意都有：
。若对任意恒成立，求实数的取值范畴。

奇偶性练习：
1、已知函数对任意实数均有且，试判定的奇偶性。
2、已知函数均为定义在上的奇函数，且 在上的最大值为5，求在上的最小值。
3、已知函数是定义在上的不恒为零的函数，且关于任意的都满足。
（1）求的值； （2）判定的奇偶性并证明。

例3 设函数的定义域为，当时，，且对任意的有成立。数列满足
（1）求证：； （2）证明方程至多只有一解。
（3）求数列的通项公式。

单调性练习：
1 已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：
（a）对任意都有；（b）；（c）。
（1）运算的值； （2）证明在上为减函数；
（3）有集合，，则是否存在点，使？
2 已知定义在上的函数满足：（a）值域为，且当时有；(b)关于定义域内任意的实数均满足：。
（1）求的值； （2）判定并证明函数的单调性。

课后作业：
1、已知是定义在上的奇函数，且。若，则有。
（1）判定在上的单调性并证明；
（2）若对所有恒成立，求实数的取值范畴。

2、已知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
（a）当是定义域中的数时，有；
（b）是定义域中的一个数；
（c）当时，。
试问：（1）的奇偶性如何？说明理由。
（2）在区间上，的单调性如何？说明理由。
3、定义在上的函数满足：，且当时。
（1）判定在上的奇偶性，并说明理由；
（2）判定在上的单调性，并说明理由；
（3）若，求的值。