余弦定理上课用.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？,已知三角形的,两角和一边,，或者是已知,两边和其中一边的对角,。,思考：,如果在一个斜三角形中，已知,两边及这两边的夹角,，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？,正弦定理：,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。,不能，在正弦定理 中，已知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两个未知量。,复习回顾,那么，怎么解这个三角形呢？,环校越野赛时，选手要划船从南湖穿过，从,B,点到达对面的小岛,C,点。至少要划多远的距离呢？,A=120,0,20cm,35cm,B,C,新知引入,在锐角三角形,ABC,中，已知,AB=c,AC=b,和,A,求,a,A,B,C,c,b,a,同理有：,同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个等式成立的，课后请同学们自己证明。,D,学生活动,余弦定理：,用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和,再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,新课讲解,注,:,利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：,(1),已知,三边,，求三个角,(2),已知,两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角,若已知,b=8,c=3,A=,能求,a,吗？,建构数学,例,1.,如图，在,ABC,中，已知,a,=5,，,b,=4,，,C,=120,，求,c,.,解：由余弦定理，得,因此,数学应用：,知识应用,例,2,思考：余弦定理还有别的用途吗？若已知,a,b,c,可以求什么？,8,再练：,3,、已知,ABC,中,AB=2,、,AC=3,、,A=,，求,BC,的长。,解：由余弦定理可知,BC,2,=AB,2,+AC,2,-2ABACcosA,=4+9-223,=7,BC=,例,4,变式,1,、已知：,a=3,，,c=7,，,b=5,，求最大角,变式,2,、在,ABC,中，若,sinA:sinB:sinC=3:2:4,求,cosC,的值,自主练习与展示：,(3),在,ABC,中，已知,sinA,：,sinB,：,sinC,57,：,8,，,则,B,.,o,120,高考资源网,(4).,在,ABC,中,若,(sin,A,+sin,B,):,(,sin,B,+sin,C,):(sin,C,+sin,A,)=4:5:6,求,C,的值,(4),解：,.,在,ABC,中,若,(sin,A,+sin,B,):,(,sin,B,+sin,C,):,(sin,C,+sin,A,)=4:5:6,则,C,的值为,(),A.B.C.D.,解析,由题意可知,:(,a,+,b,):(,b,+,c,):(,c,+,a,)=4:5:6,则,a,:,b,:,c,=5:3:7,令,a,=5,k,b,=3,k,c,=7,k,(,k,0),C,动动脑,思考一定要求出三个角才能判定三角形的形状吗,?,如果知道三边还有其它用途吗,？,推论,应用余弦定理的推论,1,、已知三角形的三边，求三个内角,.,2.,判定三角形的形状,.,2,、求三角形的面积,.,例,1,：,一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（）,A,、,1,，,2,，,3 B,、,2,，,3,，,4 C,、,3,，,4,，,5 D,、,4,，,5,，,6,分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项,中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于,0,。,B,中：，所以,C,是钝角,D,中：，所以,C,是锐角，,因此以,4,，,5,，,6,为三边长的三角形是锐角三角形,A,、,C显然不满足,B,变式,例,2,：在三角形,ABC,中，已知,a=7,b=8,cosC=,求最大角的余弦值,分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。,解：,则有：,b,是最大边，那么,B,是最大角,变式,:,若三角形为锐角三角形呢,?,变,2.ABC,中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，解此三角形,.,C,为钝角 ,解得,或,3,但,时不能构成三角形应舍去,23,知识深化,思考：,想想看有无其它的方法？,数学应用：,拓展思维,在,ABC,中，,若 求,A,；,解：由正弦定理得,a,2,=,b,2,+,c,2,+,bc,，,即,b,2,+,c,2,a,2,=,bc,，所以,故,A,=120,；,2,、在,ABC,中，若（,c+b+a)(c+b-a)=bc,求,A,拓展思维,在,ABC,中；,若,求最大的内角。,解：因为，,所以,C,为最大角，,设,a,=(,1),k,，,b,=(+1),k,，,c,=10,k,，,故最大内角,C,为,120.,思考：正、余弦定理各能解决哪些类型的问题？有什么作用？,解三角形时可用的,定理和公式,适用类型,主要作用,备注,余弦定理,1,、已知三边,2,、已知两边及其夹角,判断三角形的形状，主要功能是实现三角形中边角关系转化。,类型,1,、,2,有解时只有一解,正弦定理,3,、已知两角和一边,4,、已知两边及其中一边的夹角,一是解三角形，二是判断三角形的形状，主要功能是实现边角之间的转化。,类型,3,、,4,有解时只有一解，类型,4,可有两解、一解或无解,（,1,）余弦定理适用于任何三角形,（,3,）由余弦定理可知：,（,2,）余弦定理的作用：,a,、已知三边，求三个角,b,、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角,c,、判断三角形的形状，求三角形的面积,小结,1.,教材,P.11,习题,1.1A,组第,3,题,.,第,4,题。,课后作业,高考资源网,2.,在,ABC,中,C,=60,a,、,b,、,c,分别为,A,、,B,、,C,的对边，则,=_.,2,解：在,ABC,中,C,=60,a,、,b,、,c,分别为,A,、,B,、,C,的对,边，则,=_.,解析,由余弦定理可知,:,a,2,+,b,2,=,c,2,+,ab,1,1.,如图，在四边形,ABCD,中，已知,AD,CD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求,BC,的长,D,C,B,A,解：在,ABD,中，设,BD=x,则,即,整理得：,由正弦定理：,1.,利用余弦定理可以解决哪两类解斜三 角形的问题？,2.“,已知两边及其中一边对角”能用 余弦定理求解吗？,集体探究学习活动二：,数学建构,总结：,利用余弦定理，可以解决以下两,类解斜三角形的问题：,(1),已知,三边,，求三个角,(2),已知,两边和它们的夹角,，,求第三边和其它两个角,例,6.,如图，是三角形中边上,的中线，求证：,证：,设ABM ，则AMC,在,ABM,中，由余弦定理，得,在,ACM,中，由余弦定理，得,因为cos(180,）cos,BM=MC=,1/2BC,所以,因此，,数学应用：,41,练习,:P,17,7,13,42,提高性训练：,1,、在,ABC,中，求证：,c=acosB+bcosA,2,、在,ABC,中，若,CB=7,，,AC=8,，,AB=9,，求,AB,边的中线长。,43,在 中,，,在 中,，,已知（,a+b+c)(a+b-c)=3ab,求角,C=,在 中,，,且 的面积为 ，则,BC,的长为,