广东专用高考数学-81直线的倾斜角与斜率直线的方程配套-文-新人教.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第八章 平面解析几何,第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程,1.,表示直线方向的两个量,(1),直线的倾斜角,定义：,范围：,_,相交,平行,重合,x,轴,0,0,180.,(2),直线的斜率,定义：若直线的倾斜角,不是,90,则斜率,k=_;,计算公式：若由,A,（,x,1,y,1,）,B(x,2,y,2,),确定的直线不垂直于,x,轴，则,k=_.,tan,2.,两条直线的平行、垂直与其斜率大小间的关系,（,1,）两条直线平行,对于两条不重合的直线,l,1,l,2,其斜率分别为,k,1,k,2,，则有,l,1,l,2,_,；,当直线,l,1,l,2,的斜率都不存在时，,l,1,与,l,2,的关系为,_.,k,1,=k,2,平行,（,2,）两条直线垂直,如果两条直线,l,1,l,2,的斜率存在，设为,k,1,k,2,，则,l,1,l,2,_,；,如果,l,1,l,2,中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为,0,时，,l,1,与,l,2,的关系为,_.,k,1,k,2,=-1,垂直,3.,直线方程的五种形式,名 称,已知条件,方 程,适用范围,点斜式,斜率,k,与点,(x,1,y,1,),_,不含直线,x=,x,1,斜截式,斜率,k,与直线在,y,轴上的截距,b,_,不含垂直于,x,轴的直线,y-y,1,=k(x-x,1,),y=kx+b,名 称,已知条件,方 程,适用范围,两点式,两点,(x,1,y,1,),，,(x,2,y,2,),_,不含直线,x=x,1,(x,1,=x,2,),和直线,y=y,1,(y,1,=y,2,),截距式,直线在,x,轴、,y,轴上的截距分别为,a,，,b,_,不含垂直于坐标轴和过原点的直线,一般式,_,_,平面直角坐标系内的直线都适用,（,a,0,b,0,）,Ax+By+C=0,(A,2,+B,2,0),判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“,”,）,.,(1),已知直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置,.(),(2),坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率,.(),(3),直线倾斜角,的集合,|0,180,与直线集合建立了一一对应关系,.(),(4),当直线,l,1,和,l,2,斜率都存在时，一定有,k,1,=k,2,l,1,l,2,.(),(5),如果两条直线,l,1,与,l,2,垂直，一定有它们的斜率之积等于,-1.(),(6),平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程,.(),【,解析,】,(1),正确,.,直线的倾斜角仅反映了直线相对于,x,轴的倾斜程度，不能确定直线的位置,.,(2),错误,.,当倾斜角,=90,时，其斜率不存在,.,(3),错误,.,倾斜角是,0,的直线有无数条,.,(4),错误,.,当,k,1,=k,2,时，,l,1,与,l,2,可能重合,.,(5),错误,.,如果两条直线,l,1,l,2,中的一条与,x,轴平行（或重合），另一条与,x,轴垂直（也即与,y,轴平行或重合），即两条直线中一条的倾斜角为,0,，另一条的倾斜角为,90,，从而一条直线的斜率为,0,，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直,.,(6),错误,.,当直线与,x,轴垂直时（没有斜率），不能用点斜式方程表示,.,答案：,(1),(2),(3),(4),(5),(6),1.,直线,l,经过原点和点（,-1,，,-1,），则它的倾斜角,是,(),（,A,）,45,（,B,）,135,（,C,）,135,或,225,（,D,）,0,【,解析,】,选,A.,斜率 又,0,180,倾斜角,为,45.,2.,直线 的倾斜角是,(),【,解析,】,选,D.,因为 的斜率 即倾斜角,的正切值,3.,某直线,l,的方程为,9x-4y=36,，则,l,在,y,轴上的截距为,(),（,A,）,9,（,B,）,-9,（,C,）,-4,（,D,）,【,解析,】,选,B.,l,的方程,9x-4y=36,化为斜截式为,其截距为,-9.,4.,已知直线,l,1,过点,A(-1,1),和,B(-2,-1),直线,l,2,过点,C(1,0),和,D(0,a),若,l,1,l,2,则,a=_.,【,解析,】,l,1,与,l,2,的斜率分别为,由,l,1,l,2,可知：,a=-2.,答案：,-2,5.,直线,l,的倾斜角为,30,，若直线,l,1,l,，则直线,l,1,的斜率,k,1,=_,；若直线,l,2,l,则直线,l,2,的斜率,k,2,=_.,【,解析,】,由直线斜率的定义知，直线,l,的斜率,l,1,l,，,l,2,l,k,2,k=-1,答案：,6.,过点,M,（,3,，,-4,）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线,方程为,_.,【,解析,】,当在两坐标轴上截距均为,0,时，设方程为,y=kx,，,又过,M(3,-4),，有,-4=3k,得,直线的方程为,当在两坐标轴上的截距均不为,0,时，设直线的方程为,由过点,M,（,3,，,-4,）得,3+4=a,得,a=7,方程为,x-y-7=0.,综上可知直线方程为 或,x-y-7=0.,答案：,或,x-y-7=0,考向,1,直线的倾斜角与斜率,【,典例,1】,(1)(2013,中山模拟,),直线 的倾斜角的范围是,(),(2),若点,A,（,1,，,1,），,B,（,3,，,5,），,C,（,a,7,）三点共线，则,a,的值为,_.,(3),已知点,A(2,-3),，,B(-3,-2),，直线,l,过点,P(1,1),且与线段,AB,有交点，则直线,l,的斜率,k,的取值范围为,_,.,【,思路点拨,】,（,1,）根据直线方程求出直线的斜率，由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围,.,（,2,）根据三点共线得,k,AB,=k,AC,由此求出,a,值,.,（,3,）先确定直线,PA,，,PB,的斜率，再数形结合求解，或先写出直线,l,的方程，再由点,A,，,B,在直线,l,的异侧（或,A,，,B,之一在直线,l,上）求解,.,【,规范解答,】,（,1,）选,B.,由 得直线斜率,-1cos 1,设直线的倾斜角为,则,结合正切函数在 上的图象（如图所示）可知，,(2),由斜率公式得,A,B,C,三点共线，,k,AB,=k,AC,，解得,a=4.,答案：,4,(3),方法一：因为,A(2,-3),，,B(-3,-2),，,P(1,1),，,所以,如图所示：,因此，直线,l,的斜率,k,的取值范围为,k-4,或,方法二：依题设知，直线,l,的方程为：,y-1=k(x-1),，即,kx-,y+1-k=0,若直线,l,与线段,AB,有交点，则,A,，,B,两点在直线,l,的异侧（或,A,，,B,之一在直线,l,上），,故,(2k+4-k),(-3k+3-k)0,，,即,(k+4)(4k-3)0,解得：,k-4,或,答案：,k-4,或,【,互动探究,】,本例（,3,）中的条件变为：直线,l,：,与直线,2x+3y-6=0,的交点位于第一象限，则,k,的取值范围,如何？,【,解析,】,直线,l,：过定,点 作出两直线的图象，,如图所示，从图中可以看出直,线,l,的斜率的取值范围为,【,拓展提升,】,1.,直线的斜率,k,与倾斜角,之间的关系,0,0,90,90,90,180,k,0,k,0,不存在,k,0,2.,斜率取值范围的两种求法,(1),数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定,.,(2),构建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质，抓住斜率,k,满足的不等关系，构造不等式求解,.,3.,求倾斜角的取值范围的两个关键点,(1),求：求出斜率,k=tan,的取值范围,.,(2),看：借助正切函数图象数形结合得到倾斜角的取值范围,.,【,提醒,】,倾斜角为,90,的直线无斜率,.,【,变式备选,】,已知实数,x,y,满足,2x+y=8,当,2x3,时,求,的取值范围,.,【,解析,】,由 的几何意义知,它表示点,A(1,-1),与线段,CD,上,任一点,P(x,y),连线的斜率,如图,.,线段的端点为,C(2,4),D(3,2),k,AD,k,AP,k,AC,即,的取值范围是,考向,2,两条直线平行、垂直关系,【,典例,2】,(1)(2012,浙江高考,),设,aR,则“,a=1”,是“直线,l,1,：,ax+2y-1=0,与直线,l,2,：,x+(a+1)y+4=0,平行”的,(),（,A,）充分不必要条件,（,B,）必要不充分条件,（,C,）充分必要条件,（,D,）既不充分也不必要条件,(2),（,2013,湛江模拟）记直线（,m+2,）,x+3my+1=0,与直线,(m-2)x+(m+2)y-3=0,相互垂直时,m,的取值集合为,M,，直线,x+ny+3=0,与直线,nx+4y+6=0,平行时,n,的取值集合为,N,，则,MN=,_.,(,3,),已知,A,（,-4,，,3,），,B,（,2,，,5,），,C,（,6,，,3,），,D,（,-3,，,0,）四点，若顺次连接,A,，,B,，,C,，,D,四点，试判定图形,ABCD,的形状,.,【,思路点拨,】,（,1,）先求出两条直线平行的充要条件，再判断,a=1,与此条件的关系,.,（,2,）根据两直线垂直、平行满足的条件，分别求出集合,M,，,N,，然后求,MN.,(3),先求出四边形,ABCD,四条边所在直线的斜率，再分别验证对边是否平行，邻边是否垂直，依此判断,ABCD,的形状,.,【,规范解答,】,（,1,）选,A.,若两直线平行即,l,1,l,2,，则,a(a+1)-,21=0,解得,a=-2,或,a=1,所以,“,a=1,”,是,“,直线,l,1,与直线,l,2,平,行,”,的充分不必要条件,.,（,2,）当直线,(m+2)x+3my+1=0,与直线（,m-2,）,x+(m+2)y-3=0,相,互垂直时，,m,满足,(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,，解得 或,m=-2,故,直线,x+ny+3=0,与直线,nx+4y+6=0,平行，当,n=0,时，显然两直,线不平行；当,n0,时，两直线平行的充要条件是,即,n=-2,，所以,N=-2.,故,MN,答案：,(3)A,，,B,，,C,，,D,四点在坐标平面内,的位置如图：由斜率公式可得,k,AB,=k,CD,由图可知,AB,与,CD,不重合，,ABCD.,由,k,AD,k,BC,AD,与,BC,不平行,.,又,k,AB,k,AD,ABAD,，,故四边形,ABCD,为直角梯形,.,【,拓展提升,】,两直线平行、垂直的判断方法,(1),已知两直线的斜率存在,两直线平行,两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；,两直线垂直,两直线的斜率之积等于,-1.,(2),已知两直线的一般方程,若斜率存在,可利用直线方程求出斜率，然后判断平行或垂直，或利用以下方法求解：,直线方程,l,1,:A,1,x+B,1,y+C,1,=0(A,1,2,+B,1,2,0),l,2,:A,2,x+B,2,y+C,2,=0(A,2,2,+B,2,2,0),l,1,与,l,2,垂直,的充要条件,A,1,A,2,+B,1,B,2,=0,l,1,与,l,2,平行,的充分条件,l,1,与,l,2,相交,的充分条件,l,1,与,l,2,重合,的充分条件,【,变式训练,】,(1),若直线,l,过点,(-1,2),且与直线,2x-3y+4=0,垂,直，则直线,l,的方程为,_.,【,解析,】,方法一：直线,2x-3y+4=0,的斜率为,设所求直线的斜率为,k,，,所求直线与直线,2x-3y+4=0,垂直，,k,k=-1,所求直线方程为,即,:3x+2y-1=0.,方法二：由已知,设所求直线,l,的方程为：,3x+2y+C=0.,又,l,过点,(-1,2),3(-1)+22+C=0,得,:C=-1,所以所求直线方程为,3x+2y-1=0.,答案：,3x+2y-1=0,(2),已知,ABC,的三个顶点坐标为,A(2,，,4),，,B(1,，,-2),，,C(-2,，,3),，则,BC,边上的高,AD,所在直线的斜率为,_.,【,解析,】,又,BCAD,答案：,考向,3,直线的方程,【,典例,3】,(1),（,2013,珠海模拟）若直线,l,：,(a+1)x+y+2-a=0(aR),在两坐标轴上截距相等，则,a,的值为,_.,(,2,),已知直线,l,过点,P,（,3,2,）,且与,x,轴、,y,轴的正半轴分别交于,A,B,两点,如图所,示,求,ABO,的面积的最小值及此时直,线,l,的方程,.,【,思路点拨,】,（,1,）要分截距均为,0,，均不为,0,两种情况讨论,.,（,2,）先设出,AB,所在的直线方程，再求,A,，,B,两点的坐标或得到系数满足的关系，将,ABO,的面积用引入系数表示，最后利用相关的数学知识求出最值,.,【,规范解答,】,(1),当直线过原点时，该直线在,x,轴和,y,轴上的,截距均为,0,，,a=2,；,当直线不过原点时，,由截距相等且均不为,0,，,得 即,a+1=1,，,a=0,：,综上可知，,a=0,或,a=2.,答案：,0,或,2,(2),方法一：由题可设直线,l,的方程为,则,A,（,a,0,）,B(0,b)(a,0,b,0),l,过点,P,（,3,2,）,且,a3,b2.,从而,故有,当且仅当,即,a=6,时,(S,ABO,),min,=12,此时,此时直线,l,的方程为 即,2x+3y-12=0.,方法二：依题意知,直线,l,的斜率存在,.,设直线,l,的方程为,y-2=k(x-3)(k,0),则有,B(0,2-3k),当且仅当 即 时,等号成立，,S,ABO,取最小值,12.,此时，直线,l,的方程为,2x+3y-12=0.,方法三：由题可设直线方程为,代入,P,（,3,2,）,得,得,ab24,从而,当且仅当 时,等号成立,S,ABO,取最小值,12,，,此时,此时直线,l,的方程为,2x+3y-12=0.,【,互动探究,】,在本例（,2,）的条件下，求,l,在两坐标轴上的截,距之和最小时直线,l,的方程,.,【,解析,】,设,l,的斜率为,k(k,0),，则,l,的方程为,y=k(x-3)+2,令,x=0,得,B(0,2-3k),令,y=0,得,l,在两轴上的截距之和为,(,当且仅当 时，等号成立,),，,时，,l,在两轴上截距之和最小，,此时,l,的方程为,【,拓展提升,】,1.,利用待定系数法求直线方程的三个步骤,【,提醒,】,选方程时一定要注意方程的适用条件,.,2.,直线方程综合问题的两大类型及解法,(1),与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的,x,，,y,的关系，将问题转化为关于,x,（或,y,）的某函数，借助函数的性质解决,.,(2),与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识（如方程解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等,),来解决,.,【,变式备选,】,ABC,的三个顶点为,A,（,-3,，,0,），,B,（,2,，,1,），,C,（,-2,，,3,），求：,(1)BC,所在直线的方程,.,(2)BC,边上中线,AD,所在直线的方程,.,(3)BC,边的垂直平分线,DE,的方程,.,【,解析,】,(1),因为直线,BC,经过,B,（,2,，,1,）和,C,（,-2,，,3,）两点，,由两点式得,BC,所在直线的方程：,即,x+2y-4=0.,(2),设,BC,中点,D,的坐标为（,x,y,），,则,BC,边的中线,AD,过,A,（,-3,，,0,），,D,（,0,，,2,）两点，,由截距式得,AD,所在直线方程为,即,2x-3y+6=0.,(3),直线,BC,的斜率,则,BC,的垂直平分线,DE,的斜率,k,2,=2,，由点斜式得直线,DE,的方程,为,2x-y+2=0.,【,易错误区,】,忽视斜率不存在致误,【,典例,】,（,2013,广州模拟）已知,l,1,：,3x+2ay-5=0,l,2,：,(3a-,1)x-ay-2=0,，则使,l,1,l,2,的,a,的值为,_.,【,误区警示,】,本题易出现的错误是只考虑到斜率存在的情况，,将,l,1,l,2,方程化为斜截式方程后，利用斜率相等，而忽略了直线,斜率不存在的特殊情况，即忽略,a=0,的情况,.,【,规范解答,】,方法一：当直线斜率不存在，即,a=0,时，有,l,1,：,3x-5=0,l,2,：,-x-2=0,，符合,l,1,l,2,;,当直线斜率存在时，,l,1,l,2,且,故使,l,1,l,2,的,a,的值为,0,或,方法二：由,l,1,l,2,3,（,-a,）,-(3a-1),2a=0,，得,a=0,或,又经检验知当,a=0,或 时，两直线,l,1,l,2,不重合，故使,l,1,l,2,的,a,的值为,0,或,答案：,0,或,【,思考点评,】,1.,解决与两直线平行相关问题的注意点,（,1,）若利用,l,1,l,2,k,1,=k,2,b,1,b,2,来求解，要注意其前提条件是,k,1,与,k,2,必须同时存在，如果忽略判断,k,1,k,2,是否存在的情况就会导致漏解,.,（,2,）若利用：,l,1,：,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,和,l,2,：,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,平行,A,1,B,2,-A,2,B,1,=0,要注意在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案,.,2.,解决与两直线垂直相关问题的注意点,(1),利用,l,1,l,2,k,1,k,2,=-1,时，要注意其前提条件是,k,1,与,k,2,必须同时存在,.,(2),利用直线,l,1,：,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,与,l,2,：,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,垂直的充要条件是,A,1,A,2,+B,1,B,2,=0,此法可避免讨论,.,1.,（,2013,佛山模拟）倾斜角为,120,，在,x,轴上的截距为,-1,的直线方程是,(),【,解析,】,选,D.,由于倾斜角为,120,，故斜率,又直线过点（,-1,，,0,）,所以方程为,即,2.(2013,中山模拟,),经过两点,A,（,4,，,2y+1,）,B(2,-3),的直线,的倾斜角为 则,y=(),（,A,）,-1,（,B,）,-3,（,C,）,0,（,D,）,2,【,解析,】,选,B.,由,得 ,y=-3.,3.(2013,揭阳模拟,)“m=2”,是“直线,2x+my=0,与直线,x+y=1,平行”的,(),(A),充要条件,(B),充分不必要条件,(C),必要不充分条件,(D),既不充分也不必要条件,【,解析,】,选,A.m=2,时，直线,2x+my=0,与直线,x+y=1,平行，故充,分性成立；反之，直线,2x+my=0,与直线,x+y=1,平行时，,m=2,，,故必要性成立,.,所以,“,m=2,”,是,“,直线,2x+my=0,与直线,x+y=1,平,行,”,的充要条件,.,4.,（,2013,汕头模拟）设直线,l,的方程为,x+ycos+3=0,(R),则直线,l,的倾斜角,的范围是,(),【,解析,】,选,C.,当,cos=0,时，方程变为,x+3=0,，其倾斜角为,当,cos 0,时，由直线方程可得斜率,cos,-1,，,1,且,cos 0,k(-,-1,1,+),，,tan(-,-1,1,+).,又,0,),综上知，倾斜角,的范围是,5.,（,2013,广州模拟）曲线,y=ln x,在点,M,（,e,1,）处的切线方,程为,_.,【,解析,】,由,y=ln x,，得 所以点,M,（,e,1,）处切线的斜,率为 故切线方程为,整理得,答案：,1.,若,ab,0,则过点 与 的直线,PQ,的倾斜角的,取值范围是,(),【,解析,】,选,B.,又倾斜角的取值范围为,0,，,），故直线,PQ,的倾斜角的取值范围为,2.,如图所示，点,A,，,B,在函数 的图象上，则直,线,AB,的方程为,_.,【,解析,】,当 时，,由正切函数图象和性质得，,得,x=2,故,A,点坐标为,(2,0).,同理得,B,点坐标为,(3,1),，,直线,AB,的方程为,y=x-2,，即,x-y-2=0.,答案：,x-y-2=0,