计算方法数值积分-插值型积分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,6,次 数值积分,-,插值型积分,-,误差,-,求积公式的收敛性与稳定性,计算方法,(Numerical Analysis),1,第四章 数值积分,数值积分引论,机械求积方法,以简单函数近似逼近被积函数方法,-,插值型求积公式,插值型求积公式的例子,求积公式的收敛性和稳定性,2,数值积分引论,3,第四章 数值积分,4.0,引言,若函数,f(x),在区间,a,b,上连续且其原函数为,F(x),则可用,Newton-Leibnitz,公式,:,求定积分的值。,评论,：,Newton-Leibnitz,公式 无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题。,4,(1),被积函数,f(x),没有用初等函数的有限 形式表示的原,函数,F(x),，例如：,(2),被积函数,f(x),的原函数能用初等函数表示，但表,达式太复杂，例如 的原函数：,则无法应用,Newton-Leibnitz,公式。,在实际计算中经常遇到以下三种情况：,5,(3),被积函数,f(x),没有具体的解析表达式,其函数,关系由表格或图形表示。,对于以上情况，通过,Newton-Leibniz,公式求原函数计算积分的准确值都是十分困难的。,因而需要研究一种新的积分方法,：数值解法来建立积分的近似计算方法。,将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，,用代数插值多项式去代替被积函数,f(x),进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。,Home,6,机械求积方法,7,4.1,数值积分概述,图,4-1,数值积分,的几何意义,积分值 的几何表示：由,x=a,x=b,y=0,以及,y=f(x),这四条边所围的曲边梯形面积。该面积难于计算是因为它有一条曲边,y=f(x),。,4.1.1,数值积分的基本思想,y=f(x),y,a,b,8,最常用的建立数值积分公式的两种方法：,本段讲授机械求积方法,.,即所求的曲边梯形的面积,恰好,等于底为,(b-a),，高为 的矩形面积。但点,的具体位置是未知的,因而 的值也是未知的。,第,1,种,：,机械求积方法,.,第,2,种：使用简单函数近似代替被积函数的方法,由积分中值定理可知，对于连续函数,f(x),，在积分区间,a,b,内存在一点,，使得,谜,9,三个求积分公式,y,构造出一些求积分值的近似公式。,则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。,梯形公式中的,y,中矩形公式中的,例如分别取：,10,梯形公式,x,a,b,y=f(x),a,b,用梯形面积代表积分值,11,中矩形公式,y=f(x),a,b,y,x,(a+b)/2,a,b,用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值,12,y=f(x),y,Simpson,公式,a,b,Simpson,公式是以函数,f(x),在,a,b,(a+b)/2,这三点的函数值的加权平均值作为平均高度,f(,).,(a+b)/2,Home,13,以简单函数近似逼近被积函数方法,插值型求积公式,14,先用某个简单函数 近似逼近,f(x),用 代替原被积函数,f(x),，即,函数 应该对,f(x),有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。,第,2,种：使用简单函数近似代替被积函数的方法,以此构造数值算法。,通常，将 选取为,f(x),的插值多项式,这样,f(x),的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。,要求：,15,4.1.2,插值求积公式,其中，对,k=0,n,设已知,f(x),在节点 有函数值,作,n,次,拉格朗日插值多项式,16,其中,称为求积系数。,取 作为 的近似值，即,记为,17,定义,4.1,求积公式,当其系数 时，则称求积公式为,插值（型）求积公式。,(4.1),18,记,(4.1),的余项为 ，由插值余项定理得,其中,注意：当,f(x),是次数不高于,n,的多项式时，,因此，求积公式,(4.1),成为准确的等式。,19,例,1,给定插值节点,为定积分,构造插值求积公式。,解：以这三点为插值节点的,Lagrange,插值基函数为,20,从而，得到插值型求积公式如下：,21,例,2,设积分区间,a,b,为,0,2,，取,解,:,梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示,计算其积分结果并与准确值进行比较。,分别用梯形和辛卜生公式：,22,f(x),1,x,x,2,x,3,x,4,e,x,定积分,准确值,2,2,2.67,4,6.40,6.389,梯形公式计算值,2,2,4,8,16,8.389,辛卜生公式计算值,2,2,2.67,4,6.67,6.421,可以看出，当,f(x),是,x,2,x,3,x,4,时,辛卜生公式比梯形公式更精确。,梯形,公式,辛卜生,公式,同学们，自己验证,23,某求积公式能对多大次数的多项式,f(x),成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标。,代数精度的定义,：如果求积公式（,4.1,）对于一切次数小于等于,m,的多项式,是准确的，而对于次数为,m+1,的多项式是不准确的，则,称该求积公式具有,m,次代数精度。,24,在公式,4.1,中，,令,f(x)=1,x,x,2,x,3,x,n,若求积公式（,4.1,）的代数精度为,n,，则其系数 应满足,:,其系数,矩阵,当,互异时，有唯一解,25,定理,4.1,n+1,个节点的求积公式,为插值型求积公式,公式至少具有,n,次代数精度,。,证,:,必要性,.,设,n+1,个节点的求积公式,插值型求积,公式判断条件,为插值型求积公式，求积系数为：,又 ，当,f(x),为不高于,n,次的多项式,时,f(x)=P(x),其余项,R(f)=0,。因而这时求积公式至少具有,n,次代数精度。,26,充分性,：若求积公式至少具有,n,次代数精度,则对,n,次多项式,精确成立，即,从而,所以由（*）和,(*),知：,即求积公式为插值型求积公式。,其中,(*),(*),27,重要结论：,梯形公式具有,1,次代数精度；,辛卜生公式有,3,次代数精度（,同学们自己验证,）。,取,f(x)=1,，显然上式两端相等。,取,f(x)=x,取,f(x)=x,2,所以梯形公式只有,1,次代数精度。,下面以梯形公式为例进行验证,Home,28,插值型求积公式的例子,29,例,3,试确定一个至少具有,2,次代数精度的公式,解,:,要使公式具有,2,次代数精度，则对,f(x)=1,x,x,2,，求积公式准确成立，即得如下方程组。,解之得：,所求公式为：,插值型求积公式,系数的值与,1,）积分区间,a,b,有关，,2,）节点的选取有关；,3,）和具体的,f(x),无关,30,例,4,试确定求积系数,A,B,C,，使得,可验证，该公式对于,f(x)=x,3,也成立,(,意外收获,),，而对,x,4,不成立。因此，该求积公式有,3,次代数精度。,A=1/3,B=4/3,C=1/3,具有最高的代数精度。,解,:,分别取,f(x)=1,x,x,2,，使求积公式准确成立,得,:,Simpson,求积公式,31,做法,：选定,n+1,个插值节点，按照插值公式构造求积公式后，应验算该求积公式是否还有,n+1,次或更高的代数精度。,问题：,n+1,个节点的插值型求积公式的代数精度究竟有多高？,回答,：,n+1,个节点的插值求积公式保证了至少有,n,次代数精度。,结论：,n+1,个节点的插值型求积公式的代数精度至少为,n,，但是有可能比,n,还大？,32,解：该插值求积公式具有,3,个节点，因此至少有,2,次代数精度。,例,5,已知,插值求积公式（按照插值公式构造的系数）,将,f(x)=x,3,代入公式两端，左端,=,右端,=(b,4,-a,4,)/4,公式两端严格相等，,再代入,f(x)=x,4,两端不相等，,故,该求积公式具有,3,次代数精度,。,讨论该公式的代数精度。,Simpson,公式,是否有,3,次代数精度呢？,33,的代数精度。,例,6,考察求积公式,评论,：三个节点不一定具有,2,次代数精度，因为不是插值型的！,解：可验证,对于,f(x)=1,x,时公式两端相等,再将,f(x)=x,2,代入公式，经过计算，左端,=2/3,，右端,=1,。,所以该求积公式具有,1,次代数精度,.,课堂练习,34,例,7,给定求积公式如下：,试证此求积公式是插值型的求积公式。,证明,:,从而求积公式至少有,2,次代数精度，由,定理,4.1,，,此求积公式是插值型求积公式。,可验证，该公式有,3,次代数精度。,课堂练习,35,上的插值基函数、和插值求积公式如下：,另外一种验证方法,-,具体地计算出以下插值型求积公式中的积分系数,A,B,C.,实际上，在,例,1,中,，已经求出了在插值节点,这和题目中所给定的求积公式相同，因此题目中的积分公式是插值型求积公式。,这个方法比较复杂。,36,例,8,求证,不是插值型的。,证明,:,设,x,0,=-1,x,1,=0,x,2,=1,从而求积公式拥有,3,个节点，但是仅有,1,次代数精度，由定理,4.1,，此求积公式,不是,插值型求积公式。,课堂练习,37,例,9,给定求积公式,试确定求积系数,A,-1,A,0,A,1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。,解：令求积公式对,f(x)=1,x,x,2,准确成立，则有,课堂练习,38,解之得,:,其代数精度至少为,2,将,f(x)=x,3,代入求积公式两端相等；,将,f(x)=x,4,代入求积公式两端不相等；,所以其代数精度为,3,次,39,构造插值求积公式有如下特点：,1,）复杂函数,f(x),的积分转化为计算多项式的积分；,2,）求积系数,A,k,只与积分区间及节点,x,k,有关，而与被,积函数,f(x),无关，无论,f(x),如何，永远可以预先,算出,A,k,的值；,3,）,n+1,个节点的插值求积公式至少有,n,次代数精度；,4,）求积系数之和,可用此检验计算求积系数的正确性。,40,(1),在积分区间,a,b,上选取节点,x,k,(3),利用,f(x)=1,x,x,n,验算代数精度,构造插值求积公式的步骤：,(2),求出,f(x,k,),及利用,或解关于,A,k,的线性方程组求出,A,k,，得到,:,41,例,10,对,构造至少有,3,次代数精度的求积,公式。,同学自己完成,。,解,:3,次代数精度需,4,个节点,在,0,3,上取,0,1,2,3,四个节点构造求积公式,确定求积系数,A,k,(k=0,1,2,3),利用求积系数公式,42,因为求积公式有,4,个节点，所以至少具有,3,次代数精度，只需将,f(x)=x,4,代入来验证其代数精度。将,f(x)=x,4,代入两端不相等，所以,只有,3,次代数精度,。,Home,43,求积公式的收敛性和稳定性,44,4.1.5,、求积公式的收敛性和稳定性,一般地，求积公式,通常称为机械求积公式。,其中,插值型求积公式,使用了插值基函数的定积分作为系数。,45,若,f(x),在,a,b,上有,n+1,阶连续导数，则插值型求积公式的余项的表达式为：,误差估计公式,46,例,1,使用以下的插值型求积公式，,计算,并且估计误差。,解：利用以上求积公式，得,误差估计,:,47,用牛顿,-,莱布尼茨公式计算，得精确解：,本题近似计算结果,=2.3619,计算,x(1-x,2,),在,0,1,上的定积分，得到误差估计：,|Rf|=e/12 0,k=0,1,n,，则求积公式是稳定的。,证明,：,按照稳定性定义，求积公式是稳定的。,51,作业,习题,1(1)(3),2(1),Home,52,