极大无关组求法.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,线性代数 Linear Algebra,第三章,选择节次,方法,1,线性相关法,若非零向量组,A,：,1,2,n,线性无关，则,A,的极大无关组就是,1,2,n,若非零向量组,A,线性相关，则,A,中必有极大无关组,方法,2,逐个判别法,给定一个非零向量组,A,：,1,2,n,1,设,1,0,，则,1,线性相关，保留,1,2,加入,2,，若,2,与,1,线性相关，去掉,2,；,若,2,与,1,线性无关，保留,1,，,2,；,3,依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的极大无关组,求,A,的极大无关组,解：,因为,a,1,非零，故保留,a,1,取,a,2,，,因为,a,1,与,a,2,线性无关，故保留,a,1,，,a,2,取,a,3,，,易得,a,3,=2,a,1,+,a,2,线性无关，故线性相关。,所以极大无关组为,a,1,，,a,2,初等行变换,保持了,列向量间,的,线性无关性,和线性表出性,方法,3,初等变换法,可以证明，若对矩阵,A,仅施以初等,行,变换,得矩阵,B,则,B,的列向量组与,A,的列向量组间有,相同的线性关系,。（,行变换对列没有影响,）,即,初等行变换,保持了,列向量间,的,线性无关性和,线性表出性,。,同理,也可以用向量组中各向量,为行向量,组成矩阵,通过做,初等列变换,来求向量组的极大无关组。,(1),以向量组中各向量为,列向量,构成矩阵,A,;,(2),对,A,做,初等行变换,将该矩阵,化为行阶梯形矩阵,则,可,求出,r(A)=r,(,向量组的秩为,r,，说明向量组中线性无,关的向量最多有,r,个，任何,r+1,个线性相关,).,(3),在,A,中找出,r,个线性无关的向量,即是,所求向量组的,极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形,。,由此提供了,求向量组的极大无关组的方法：,例,求向量组,1,=(2,1,3,-1),T,2,=(3,-1,2,0),T,3,=(1,3,4,-2),T,4,=(4,-3,1,1),T,的,秩,和,一个极大无关组,并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。,解,以,1,2,3,4,为列,构造矩阵,A,并实施,初等,行,变换,化为行阶梯形矩阵求其秩：,知,r,(,A,)=2,故向量组的极大无关组含,2,个向量,而,两个非零行的非零首元分别在第,1,2,列,故,1,2,为向量组的,一个极大无关组,事实上，,知,r,(,1,2,)=2,故,1,2,线性无关,求极大无关组方法,找阶梯型矩阵非零行的非零首元所在的列,为把,3,4,用,1,2,线性表示,把,A,变成行最简形矩阵,记矩阵,B=,(,1,2,3,4,),因为,初等行变换保持了列向,量间的线性表出性，,因此向量,1,2,3,4,与向量,1,2,3,4,之间有相同的线性关系,。,因此,3,=2,1,-,2,4,=-,1,+2,2,将,A,化为,一个行最简形矩阵,B,是因为较容易看出,B,的列向量组各向量之间的线性关系,