八年级数学竞赛试卷(第二试).docx

-----线--------------封-----------------密
号证考准 名姓 校学
题号
1 — 5
6-10
11
12
13
总分
得分

评卷人

复评人

八年级数学竞赛试卷第2试
（考试时间：2010年12月18日9 : 30 - 11 : 30）
一.选择题（每小题6分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1. 有两堆数量相同的棋子.第一堆全为白色，第二堆全为黑色.现在从第一堆中取出若干
个白棋子，将其放入第二堆中，充分混合后，从第二堆棋子中随机取出同样多的棋子（棋子中可能有黑有白）放到第一堆中，此时两堆棋子的数量又相同了，则下列说法正确的是（）
A. 此时第一堆中黑棋子的数量大于第二堆中白棋子的数量
B. 此时第一堆中黑棋子的数量等于第二堆中白棋子的数量
C. 此时第一堆中黑棋子的数量小于第二堆中白棋子的数量
D .此时第一堆中黑棋子的数量与第二堆中白棋子的数量，两者大小关系无法确定
2. 盒中原有8个小球，一位魔术师从中任意取几个小球，把每一个小球都变成了 8个小球，
将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了 8个小球后放回盒中，如此进行到某一时刻魔术师停止取变球时，盒中球的总数可能是（）
A. 23 个 B. 24 个 C. 25 个 D. 26 个
3. 某个游泳池有2个进水和一个出水，每个进水的进水量与时间的关系如图1所示，
出水的出水量与时间的关系如图2所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示.
在下面的论断中：①5点到6点，打开进水，关闭出水；
② 6点到8点，同时关闭两个进水和一个出水；
③ 8点到9点，关闭两个进水，打开出水；
④ 10点到11点，同时打开两个进水和一个出水.
可能正确的是（）
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
4. 如图，等腰直角三角形ABC中，ZACB=90。，在斜边AB上取两点 M、N,使 ZMCN =45° .设 MN=x,BN=n , AM=m，则以 x、m、n为边的三角形的形状为（）
A.锐角三角形B.直角三角形
5. 一根长30厘米、宽3厘米的长方形纸条，
将其按照图示的过程折叠.为了美观，希望折
C•钝角三角形D .随x、m、n的值而定
).
_

叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时,MA的长应为（
A. 7。5厘米 B. 9厘米 C. 10.5厘米D. 12厘米

二.填空（每小题6分，共30分）
6. 如图，已知△ ABC是一个等边三角形，它的边AB长为3，D、E、
F分别是AB、BC、CA的三等分点，则△ DEF的边长为。
7. 魔术师要求一个游戏参加者想好一个三位数派，然后调换所想
三位数的数字顺序，得到5个数acb，bac，bca，cab，cba，并求出
这5个数的和N.魔术师声称，只要游戏者告诉他N的大小，他就能知道游戏参加者所
想的数成是多少。如果N=2630，那么abc的值可能是
8. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客每购买1元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（图中未标注的都为白色区域），顾客就可以分别获得1元、50元、20元的购物券，凭此券可以在该商场继续购物。如顾客不愿意参加摇奖，可以直接获赠购物券10元。如果有足够多次的机会参加活动，你愿意参加摇奖还是直接获赠购物券,哪种方式更合算，说明理由：
9. 已知 a*b = ab（a+1），则等式 2*x = x*5 中的 x=.
10. 桌上有五枚硬币，每次操作，选择其中4个硬币并将它们翻转过来，即如果原来含国徽
的一面朝上，将盖面朝下，原来含国徽的一面朝下，将该面朝上。如果开始的时候，五枚硬币有国徽的一面都朝上,你能经过若干次操作将这些硬币都翻转过来吗？如能，写出你的翻转过程，如不能，说明理由：
三.解答题(第11、12 各15分，1330分，共60分)
11.某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30台派往A地，20台派往B地.两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：

甲型收割机的租金
乙型收割机的租金
A地
18元/台
16元冶
B地
16元冶
12元冶
(1 )设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y (元)，请用x表示y，并注明x的范围.
号证考准
名姓
校学
(2)若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于796元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出.
12.
对于任意线段AB，可以构造以AB为对角线的矩形ACBD。连接CD，与AB交于A】点，过A】作BC的垂线段A1C1，垂足为C1；连接C1D,与AB交于A?点，过A?作BC的垂线段A2C2,垂足为Cj连接C2D，，与AB交于A3点，过A3作BC的垂线段A3C3,垂足为C3,……，如此下去，可以依次得到点A4，%，..」..，An。如果设AB的长为1，，则 3
(1) a1b,A2b，A3b的长依次是多少？你是怎么得到的，写出你的过程.
(2) 一般地，你能猜想出AnB的长(用n的代数式表示)吗？并说明你猜想的正确性。
A D
C C1 C2 C3 B

-二二线二二二二二二二封二二二-二二二二二密
号证考准 名姓 校学

13.如图的格点图中，每行例)相邻两个格点之间都相距1个长度单位。
(1)如图，格点C与格点A、B构成的三角形ABC的面积是2,还有一些格点与格点A、B构成的三角形面积也是2,请找出所有这样的格点，并在图上标示出来。
(2)有些格点与格点A、B可以构成等腰三角形ABD，请你找出所有这样的格点D,并在图中标出。
⑶问题(2)所得到的等腰三角形中有没有等边三角形？如有，将它们标示出来；
如没有，思考：在下面的8*8格点图中,是否存在以格点为顶点的等边三角形，如果存在，请标示出来，如果不存在，说明理由，一般地，对于任意大的格点图如1*1个点的格点图)，这个结论是否成立？
厂」为了说明方便，可以建立适当，一产迂二〉的坐标系，在坐标系中说明哟!
（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有以AB为腰的等腰直角三角形，有没有以AB为底的等腰直角三角形？
一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形？如果一定有,说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有.
在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形?如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有.
25年宁波市蛟川杯初二数学竞赛试卷第2试参考答案及评分意见
一、选择题（每小题6分，共30分）
I. B2. A 3. D 4. B 5. C
二、填空题（每小题6分，共30分）
6. \.：3 7. 256
8. 参加摇奖更合算，因为大量次数摇奖的平均收益为1*5%+50*10%+20 * 20%=14,大于直接获得奖券的10元。
9. 0 或 1/5
10. 不能。记国徽朝上的状态为1,朝下为-1,每次操作改变4个数字的符号，
5个数字的积不变.因此目标状态不可能由1变为-1.
注意也可用奇数、偶数知识说明。
三、解答题（6 0分）
II. （ 1） y 2x 7407 分
10 x 309 分
（2）三种方案，依次为x = 28, 29,30的情况 15分
12. （1）AB 1 AB=! AB 1 （解答应有过程）8分
122 334
10分
15分
(2 ) AnB=
说理（略）
13. (1)C、C、C、
C,如图:

c

（2）D1、D2、D3、D4 等 9 点，如图:
D
13分

（3）问题（2）所得到的等腰三角形中没有等边三角形.在8*8格点图乃至任意大的格点图中，都没有格点为顶点的等边三角形。
说理方式很多，如可以将其中一个顶点选为坐标原点，分析另外两个顶点坐标的奇偶性，分别给予排除；也可以将其中一个顶点选为坐标原点后，分别设另两个顶点的坐标为（a,b）， （c,d），证明a2+b2=c2+d2=（a-c）2+（b—d）2无整数解。
（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有以AB为腰的等腰直角三角形，有以AB为底的等腰直角三角形。
一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形。如果所给定两个格点的坐标为（a,b）,（c,d），符合条件的第3个点有几个，如其中一个可以是a+d—b, b+a—c）.
在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，不一定存在以这两个格点
所在线段为底的等腰直角三角形如果所给定两个格点的坐标为（a,b），（c，d）,只有当a+d与b+c具有相同的奇偶性时，才存在以该两点所在线段为底的等腰直角三角形。3分