2023年二次函数的图像和性质知识点与练习.docx

第二节二次函数图像与性质
争教学目玖)
1. 可以运用描点法做出函数y = ax2, y=a(x-h)2, y = a (x-h) 2+k和y ax2 bx c图象,能根据图象认识和理解二次函数 性质；
2. 理解二次函数y ax2 bx c中a、b、c对函数图象 影响。
手知识梳更)
一、二次函数y ax2 bx c图象画法
五点绘图法运用配措施将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a (x h)2 k ,确定其开方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选用 五点为：顶点、与y轴 交点0, c、以及0, c有关对称轴对称 点2h, c、与x轴 交点x , 0 , x2 , 0 (若与x轴没有交点，则取两组有关对称轴对称 点).画草图时应抓住如下几点开方向，对称轴，顶点，与x轴交点，与y轴交点.
例1.在同一平面坐标系中分别画出二次函数y = x2，y = -x2，y = 2x2，y
= -2x2，y = 2 ( x-1) 2 图像。
A
y .
一、二次函数基本形式
1. y = ax2 性质:
a符号
开方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）
a 0
向上
(0, 0)
y轴
x 0时，y随x 增大而增大；x 0时，y随x增大而减小；x 0时，y有最小值0.
a 0
向下
(0, 0)
y轴
x 0时，y随x 增大而减小；x 0时，y随x增大而增大；x 0时，y有最大值0.

2. y = ax2 + k 性质：（k上加下减）
a符号
开方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）
a 0
向上
(0, k)
y轴
x 0时，y随x 增大而增大；x 0时，y随x增大而减小；x 0时，y有最小值k.
a 0
向下
(0, k)
y轴
x 0时，y随x 增大而减小；x 0时，y随x增大而增大；x 0时，y有最大值k.

3. y = a （ x-h ） 2性质：（h左加右减）
a符号
开方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）
a 0
向上
(h, 0)
直线x=h
x h时，y随x 增大而增大；x h时，y随x增大而减小；x h时，y有最小值0.
a 0
向下
(h, 0)
直线x=h
x h时，y随x 增大而减小；x h时，y随x增大而增大；x h时，y有最大值0.

4. y = a (x- h)2 + k 性质:
a符号
开方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）
a 0
向上
(h, k )
直线x=h
x h时，y随x 增大而增大；x h时，y随x增大而减小；x h时，y有最小值k.
a 0
向下
(h, k )
直线x=h
x h时，y随x 增大而减小；x h时，y随x增大而增大；x h时，y有最大值k.

5. y = ax2+bx+c 性质:
a符号
开方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

a 0
向上
b 4ac b2
2a，4a
直线
b
x 一
2a
x p时，y随x增大而增大；
x 上时，y随x增大而减小；
x 2a时，y有最小值 4a .
a 0
向下
b 4ac b2
2a，4a
直线
bx —
2a
x P时，y随x增大而减小；x 2时，y随x增大而增大；x 2-时，y有最大值4a：ab2 •

-、二次函数图象平移
1.平移环节：
措施一：（1）将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2k，确定其顶点坐标h, k ;
y=ax2
向上k>0）【或向下k<0）】平移|k个单位
y=ax2+k
向右h>0）【或左h<0）】
平移k个单位
向右h>0）【或左h<0）】
平移k个单位
向上k>0）【或下k<0）】
平移Ik个单位
向右h>0）【或左h<0）】
平移k个单位
y=a X-h2
向上k>0）【或下k<0）】平移|k个单位
y=a X-h2+k
⑵保持抛物线y ax2形状不变，将其顶点平移到h, k处，详细平移措施如下:
2.平移规律
在原有函数 基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字
“左加右减，上加下减”.
措施二：
⑴y ax2bx c沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，y ax2bx c变成
y ax2 bx c m (或 y ax2 bx c m )
⑵y ax2 bx c沿x轴平移：向左(右)平移m个单位，y ax2 bx c变成
y a (x m )2 b (x m) c (或 y a (x m )2 b (x m) c )
四、一次函数y a x h 2 k与y ax2 bx c比较
从解析式上看，y a x h 2 k与y ax2 bx c是两种不一样体现形式，后者通过配方可以得到前者，即y a x三之4二梃，其中h 4，k仙：* .
2a 4a2a4a
六、一次函数图象对称
一次函数图象 对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式体现
1. 有关x轴对称
y ax2 bx c有关x轴对称后，得到解析式是y ax2 bx c;
y a x h 2 k有关x轴对称后，得到 解析式是y a x h 2 k ;
2. 有关y轴对称
y ax2 bx c有关y轴对称后，得到解析式是y ax2 bx c;
y a x h 2 k有关y轴对称后，得到 解析式是y a x h 2 k ;
3. 有关原点对称
y ax2 bx c有关原点对称后，得到 解析式是yax2 bx c;
y a x h 2 k有关原点对称后，得到 解析式是y a x h 2 k ;
根据对称 性质，显然无论作何种对称变换，抛物线 形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变.
典例讲练)
例1、
抛物线
y= -2x2 + 6x- 1
y=2x2 + 6x-1
对称轴

顶点坐标

开方向

位置

增减性

最值

例2、已知直线y=-2x + 3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为(-3, m ).

(1) 求 a、m 值；
(2) 求抛物线 体现式及其对称轴和顶点坐标；
(3) x取何值时，二次函数y=ax2中 y随x 增大而减小;
(4) 求A、B两点及二次函数y=ax2顶点构成 三角形 面积.
例3、求符合下列条件 抛物线y=ax2体现式：
(1 ) y=ax2 通过(1, 2 );
1
(2 ) y=ax2与y=2x2开大小相等，开方向相反;
1
(3 ) y=ax2 与直线 y= J x + 3 交于点(2, m ).
例4、试写出抛物线y=3x2通过下列平移后得到抛物线解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1 ）右移2个单位；（2 ）左移:个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
例5、把抛物线y=x2+bx+c图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象 解析式是y=x2 - 3x+5，试求b、c 值。
町胆当堂总卸
当堂检测）
训练题：
1. 抛物线y= -4x2-4 开向，当x=时，y有最 值，y=.
2
2. 当m=时，y= （m-1） x m m -3m是有关x 二次函数.
3. 抛物线 y=-3x2上两点 A（x，-27），B （ 2，y ），则 x=，y=.
2
4. 当m=时，抛物线y= （m+1） x m m+9开向下，对称轴是.在对称轴左
侧，y随x 增大而;在对称轴右侧，y随x 增大而.
5. 抛物线y=3x2与直线y=kx + 3 交点为（2, b ）,则k=, b=,
6. 已知抛物线 顶点在原点，对称轴为y轴，且通过点（-1,-2）,则抛物线 体现式
为•
7. 在同一坐标系中，图象与y=2x2图象有关x轴对称 是（ ）

A. y=^x2
B.
y= - 2 x2
C. y= - 2x2
D. y= - X2

8. 抛物线，y=4x2, y= - 2x2图象，开最大 是（ ）
1
A. y=4 x2B. y=4x2C. y= - 2x2D.无法确定
9. 对于抛物线y=3 x2和y=-gx2在同一坐标系里 位置，下列说法错误 是（ ）

A.两条抛物线有关x轴对称
B. 两条抛物线有关原点对称

C. 两条抛物线有关y轴对称
D. 两条抛物线交点为原点

10. 二次函数y=ax2与一次函数y=ax + a在同一坐标系中 图象大体为（）
4在第一象限内 交点和它与直线y=x在第一象
图象与直线
（
）
11.已知函数y=ax2
a 值为
限内交点相似，则

A. 4
B.
1
D. 4

12,已知二次函数y=4 x2- ° x
当x=
时，y最小
；当乂.
时，y随

增大而减小.
13. 抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到 抛物线体现式为
14. 若二次函数y=3x2+mx-3 对称轴是直线x = 1,则小=。
15. 当n=, m =时，函数y=(m + n)xn+(m-n)x 图象是抛物线，且其顶点
在原点，此抛物线开
16. 已知二次函数y=x2 - 2ax+2a+3，当a=时，该函数y 最小值为0.
17. 二次函数y=3x2-6x+5，当x>1时，y随x 增大而;当x<1时，y随x 增
大而；当x=1时，函数有最 值是。
18. 假如将抛物线y=2x2 - 1 图象向右平移3个单位，所得到 抛物线 关系式为。
19. 将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2-4x- 1则a=，b =，c =.
20. 将抛物线y = ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后 抛物线通过点(3,
-1)，那么移动后 抛物线 关系式为_.
21. 右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y「mx+n 图像， 观测图像写出y2>y1时，x取值范围

22、函数y=ax2 (a尹0)图像与直线y=-2x-3交于点(1,b)
(1) 求a和b 值
(2) 求抛物线y=ax2解析式，并求出顶点坐标和对称轴；
(3) x取何值时，二次函数y=ax2中 y随x 增大而增大?
作业］
1.根据公式法指出下列抛物线 开方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。
2x2 4x 1
x2 5x 16
① y x2 2x
③ y 2x2 x

2.函数y= x2
图象向 平移 个单位得到y=x2+3
图象；再向
平移—个单位

得到y = (x-1) 2+3 图象。