高等数学第二章导数与微分(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 导数与微分,本章重点,导数与微分的概念；,基本初等函数的求导公式；,求导法则,;,导数的应用,本章难点,导数与微分的概念；,复合函数的求导法则。,1,2.1,导数的概念,2.2,初等函数的导数与求导法则,2.4,函数的微分及其应用,2.3,中值定理与,导数的应用,第,2,章 导数与微分,2,2.1.1,两个实例,2.1.2,导数的定义,2.1.4,函数的可导性与连续性的关系,2.1,导数的概念,2.1.3,导数的几何意义,3,1,、变速直线运动的速度,设一质点在,t,轴上从某一点开始作变速直线运,动，已知运动方程为,s,=,s,(,t,).,记,t,=,t,0,时质点的位置坐,标为,s,0,=,s,(,t,0,).,当,t,从,t,0,增加到,t,0,t,时，,s,相应地,在,t,这段时间内的位移为,2.1.1,两个实例,4,而在,t,时间内质点的平均速度为,随着,t,的减小，平均速度,就愈接近质点在时刻,t,0,的,瞬时速度,(,简称,速度,).,但无论,t,取得怎样小，,平均速度,总不能精确,刻画质点在时刻,t,=,t,0,的运动,变化率。,5,采取“极限”的手段：如果平均速度,时的极限存在，,当,则自然地把此极限,(,记为,v,),定义为质点在,t,=,t,0,时的瞬时速度或速度,:,该极限值就是,t,0,时刻的瞬时速度,v,（,t,0,）。,6,2,、曲线的切线斜率,设曲线,L,的方程为,为,L,上的一个定点,.,点,P,0,的切线，可在,曲线上取邻近于,P,0,的点,割线,P,0,P,的斜率,:,为求曲线,y,=,f,(,x,),在,算出,7,割线的极限位置,切线位置,8,割线的极限位置,切线位置,9,割线的极限位置,切线位置,10,割线的极限位置,切线位置,11,割线的极限位置,切线位置,12,割线的极限位置,切线位置,13,割线的极限位置,切线位置,14,割线的极限位置,切线位置,15,割线的极限位置,切线位置,16,17,线,P,0,P,的极限位置,即为点,P,0,处的切线。,当,时，割,2,、曲线的切线斜率,割线的斜率,就会无限接近切线的斜率,18,变速直线运动的,瞬时,速度,曲线的切线斜率,导数,19,定义,2-1,存在，则称函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,可导,，,并称此,极限值为函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,的,导数,，记作,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,的某一个邻域内有定义,.,若极限,或,2.1.2,导数的定义,公式,1,20,注,1,注,2,注,3,若极限不存在，则称,f,(,x,),在,x,0,不可导,.,若,则称,f,(,x,),在,x,0,的导数,为,无穷大,.,若令,当,时，,注,4,公式,2,公式,3,21,该类型题是填空题的常出形式，必须会,例,1,：,设函数,f(,x),在,x,0,处的导数,.,求,22,23,24,25,26,27,例,1,由导数的几何意义,得切线斜率为,切线方程为,法线方程为,解：,28,例,2,问题,1.,能跟上题一样直接求吗？,问题,2.,是 经过原点吗？,提示：曲线跟切线有个共同的交点：,切点,29,30,证明：,2.1.4,函数的可导性与连续性的关系,（,1,）若,f,(,x,),在,x,0,点可导，则它在,x,0,点必连续,.,f,(,x,),在,x,0,点可导，则,则有,所以,f,(,x,),在,x,0,点连续,.,31,反例：,（,2,）若,f,(,x,),在,x,0,点连续，则它在,x,0,点未必可导,.,f,(,x,)=|,x,|,在点,x,0,0,处连续但不可导,.,一方面,所以,f,(,x,),在,x,0,点连续,.,另一方面,所以,f,(,x,),在,x,0,点不可导,.,32,敲黑板了：计算题或者填空题,33,34,定理,1,函数四则运算,的求导法则,35,例,1,解,例,2,解,36,37,38,例,5,解,注：分段函数的求导，是大纲要求，但没考过,39,利用定义求,x=0,的导数，公式,2,40,41,1.,常数和基本初等函数的导数公式,初等函数的导数 小结,42,定理,2-6,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,.(,链式法则,),2,复合函数的求导法则,43,推广,例,3,解,44,例,4,解,例,5,解,45,例,6,解,例,7,解,46,例,8,解,47,例,9,解,48,求多层函数的复合函数导数：,例：,49,定理,2-5,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,.,3,反函数的求导法则,50,例,1,同理可得,51,因为互为相反数：所以,f(10)=2,则,(2)=10,52,53,定义,:,隐函数的显化,4,隐函数的求导法,例,（显化）,（不能显化）,54,隐函数求导法则,:,把隐函数（,y,）看成自变量（,x,）的复合函数，用复合函数求导法则,:,问题,:,隐函数不易显化或,不能显化如何求导,?,方程两边直接对自变量（,x,）求导,.,55,例,1,解,解得,56,例,2,解,所求切线方程为,显然通过原点,.,57,敲黑板：,隐函数的,对数求导法,观察函数,方法,:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,.,-,对数求导法,适用范围,:,58,例,3,解,等式两边取对数得,59,解,等式两边取对数得,例,4,60,61,62,63,定义,5,高阶导数,64,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数,.,二阶导数的导数称为三阶导数,65,2.,高阶导数求法举例,例,5,解,直接法,:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,.,66,解,例,6,67,解,例,7,68,解,同理可得,例,8,69,莱布尼兹公式,还没考过！,70,71,参数方程的高阶求导：经常考！,72,73,2.4,函数的微分及其应用,一、微分及其几何意义,(,一,),微分定义,(,二,),微分的几何意义,二、微分的基本公式与运算法则,三、一阶微分形式不变性,四、微分在近似计算中的应用,74,实例,:,正方形金属薄片受热后面积的改变量,.,一、微分及其几何意义,75,再如,既容易计算又是较好的近似值,76,77,可微的条件,78,由定义知,:,79,例,1,解,80,(,二,),微分的几何意义,M,N,T,）,几何意义,:,(,如图,),P,81,求法,:,计算函数的导数,乘以自变量的微分,.,二、微分的基本公式与运算法则,1.,基本初等函数的微分公式,82,2.,微分的四则运算法则,83,例,2,解,例,3,解,84,结论：,三、一阶微分形式不变性,复合函数的微分法则,微分形式的不变性,85,例,5,解,例,4,解,86,例,6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立,.,#,87,当,|,x,|,很小时，我们有,或,四、微分在近似计算中的应用,则近似公式变为,近似公式,88,例,1,解：,的近似值,.,求,令,f,(,x,)=,sin,x,，则,取,代入近似公式,89,