2025届重庆巴蜀中学高考适应性月考卷（三）-数学（含答案）.docx

巴蜀中学 2025 届考适应性月考卷（三）
数学试卷
注意事项:
.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上
填写清楚.
1
2
.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3
.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1
2
. 已知集合则U = {0，1，2，3，4，5，6}， A = {0，1，2，4}， B = {1，2，3，4，5}，(ðU A)Ç B =
A.{3，5，6} B.{3，5} C.{5} D.{5，6}
. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布
(
m s )
，已知数学成绩高于 110 分的人数与低于 70 分的人数相同，那么估计本次考试的
N
，
2
数学平均分为
A.85
B.90
C.95
D.100
1
1+
1
1-i
3
4
. 若复数 z1 =
，z2 =
，则 z1
2
- z2
2
=
i
A.-1
B.1
C. -i
D.i
u
uur 1 uuur
uuur
. 在平行四边形 ABCD中，E是 BC 的中点，F 在 DE 上，且 AF = AB + mAD，则实数 m 的值
2
为
1
4
1
3
1
2
3
4
A.
B.
C.
D.
5
. 已知 a，bÎR+，且 ab+ 2a +b-3 = 0，则a +b 的最小值为
3
2
5
3
A.
B.
C. 2 5 -3
D. 2 6 -3
—
1 —

-
-

6
7
. 重庆被媒体评价为“最宠游客的城市”.现有甲、乙、丙三位游客慕名来重庆旅游，准备从
洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥等五个景点中各自随机选择一个景点游
玩，则他们三人所选景点全部不同的概率是
2
12
25
1
6
6
A.
B.
C.
D.
2
5
25
. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P(单位: mg / L )与时间
t (单位: h)的关系为 P = P0e-kt，其中，P0，k 是正的常数.如果在前5 h 消除了10% 的污染物，
那么要消除90%的污染物，至少需要的时间是( )h .(参考数据:lg3 » 0.477 )
A.45
B.76
C.109
D.118
1
- x
x
(
)
8
. 已知函数 f (x)= ln a +1
+b+ (a，bÎR)为奇函数，且 f (x)在区间 t -1，t - 2t 上有
2
4
最小值，则实数t 的取值范围是
B.( 3，4)
C.( 3，3)
D.( 2，3)
A.(3，4)
二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
9
. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在t (单位:s )
时 相 对 于 平 衡 位 置 ( 图 中 h = 0 处 ) 的 高 度 h ( 单 位 : cm ) 由 关 系 式
(wt +j )确定，其中 A > 0，w > 0，t ³ 0，j Î [0，p ].小球从最高点出发，
Asin
h
=
经过0.5 s后，第一次到达最低点，经过的路程为10 cm，则下列说法正确的是
p
A.w = 2p
B.j =
2
C.小球在t Î[8，9]内经过的路程为10 cm
D.t = 9.75时，小球正在向上运动
1
0. 在等腰梯形 ABCD中，AB / /DC，DA = DC = 2，AB = 4，点 P 是梯形 ABCD内部一点(不含边
界)，且满足 AP = lAB + mAD (l，m Î R)，则下列说法正确的是
3
1
2
A.若 PA+ PB + PC + PD = 0，则l = ，m =
8
B.当 m = 2l 时，PB 的最小值为 2
C.若 2l + m =1，则VPBC 的面积为定值 3
—
2 —

D.若 4l
2
+ m + 2lm =1，则 PC 的最小值为 2 3 -1
2
1
1.已知由实数构成的数列{an}满足 an+1 = -an + 2an (nÎN* )，则以下说法正确的是
2
A.存在 k ÎN* 且k ³ 2，使 ak = 2
B.若 a Î(0，1)，则数列{a }是递增数列
1
n
C.若 a Î(1，2)，则数列{a }的最大项为a
1
n
1
9
1
D.若 a1 =
0，设bn = lg 1 a
，{b }的前 n 项和为 S ，则 S > -2
( - )
n
n
n
1
n
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
1
1
2. 等比数列{a }的公比 q < 0，其前 n 项和为 S ，且 a + a =1，S = 5，则 a = _____.
n
n
3
4
4
5
æ
p 3p ö
æ p
ö
4
5
3. 已知a Îç ， ÷，b Îç ，p ÷，cos2b = - ，cos (a - b )= -
，则a 的值为_____.(用弧
è
2 2 ø
è 2
ø
5
5
度制表示)
1
4. 已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且 f (1- 2x)是偶函数，当 xÎ[0，1]时，f (x)= -x2，则
100
å
(
f i
)=_____.
i
2
i=1
四、解答题(共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1
5. (本小题满分 13 分)
已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ，且 S = a ，a = 2a +1(nÎN* ).
n
n
3
5
2n
n
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{b }是递增的等比数列，其公比为 q，且{b }中的项均是{a }中的项，b = a，当 q
n
n
n
1
1
取最小值时，若b = a (k ÎN* )，请用 k 表示i.
k
i
—
3 —

1
6. (本小题满分 15 分)
在VABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，BC 的中点为 D，记VABC 的面积为 S，
p
已知 B = ，c = 2.
4
(1)若b = 10，求cosC 以及线段 AD的长度;
(2)若VABC 是锐角三角形，求 S 的取值范围.
1
7. (本小题满分 15 分)
已知抛物线 E : y2 = 2px(p > 0)的焦点为 F，过 F 作倾斜角为q 的动直线l 交 E 于 A，B 两点.
1
6
当q = 60o 时，AB =
.
3
(1)求抛物线 E的方程;
(2)证明:无论q 如何变化，OA×OB 是定值(O为坐标原点);
(3)点 M (3，0)，直线 AM 与 E交于另一点C，直线 BM 与 E交于另一点 D，证明:VABM 与
VCDM 的面积之比为定值.
—
4 —

-
-

1
8. (本小题满分 17 分)
lnx +1
已知函数 f (x) =
.
x
(1)求证: f (x)£1;
æ
1 ö
(2)若 xÎ(0，+¥ )时，不等式 aç x + ÷ ³ f (x )恒成立，求实数 a 的取值范围;
x ø
è
(3)若直线l是曲线 y = f (x)在点 A(t，f (t))处的切线，求证:当t > e 时，除点 A外，直线
1
l与曲线 y = f (x)有唯一公共点(s，f (s))，且 < s < t .
e
—
5 —

1
9. (本小题满分 17 分)
设 A:a，a ，L，a 和 B:b，b ，L，b 是 两 个 项 数 为 m 的 非 负 整 数 数 列 (m ³ 3)，定 义
1
2
m
1
2
m
m
m
å
i
å
i
i
(
) =
-
(
)=
( - )
b .
T A，B
ai b ，t A，B
a
i=1
i=1
(1)对于数列 A:1，2，3，10，11，12和 B:4，5，6，7，8，9，求T (A，B)-t (A，B)的值;
(2)设 A，L，A 均为项数为 3 且每项为 0 或 1 的数列 (n ³ 2)，且对于任意1£ i < j £ n，都有
1
n
(
) ³
2，求 n 的最大值;
T A，A
i
j
(3)若 m = 62，数列 A，B 严格递增且每项不大于 755，求T (A，B)-t (A，B)的最大值.
—
6 —

数学参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
D
C
B
C
A
【
解析】
．∵ð A ={3，5，6}，∴ (ð A) I B ={3，5}，故选 B．
1
2
U
U
7
0 +110
．由正态密度函数的对称性， m =
= 90 ，故选 B．
2
æ
è
i ö æ i ö
3
4
．
z
2
1
- z2
2
= ç- ÷ - ç ÷ = -i
，故选 C．
2
ø è ø
2
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
l öuuur
2 ø
u
uur
uuur
uuur
æ
è
1
2
．设 AF = l AE + (1- l)AD ，则 AF = l(AB + BE) + (1- l)AD = l AB + ç1- ÷ AD ，又 l =
，
l
3
4
m =1-
=
∴
，故选 D．
2
3
b + 2
- b
3 - b
b + 2
5
b + 2
5
b + 2
．由 ab + 2a + b - 3 = 0 得 a =
，∴ a + b =
+ b =
+ b -1=
+ (b + 2) - 3
5
6
≥
2 5 - 3 ，当且仅当 a = 5 -1，b = 5 - 2 取到等号，故选 C．
．由题意知：三人从 5 个景点中各自随机选择 3 个景点游玩，总的有53 =125 种选法，所选
1
2
景点全部不同有 A5
3
= 60 种，所以所求概率为
，故选 B．
25
ì
-5k，
ì-5k = ln 0.9，
Þ í
t
ln 0.1
5lg 0.1
lg 0.9 1- lg9 1- 2lg3
5
5
Þ
=
，∴ t =
=
=
7
8
．由题意得
í
0
0
î0.1P = P e-kt
ï
0
0
î-kt = ln 0.1
5
ln 0.9
»
108.7
，故选 C．
1
- x
x
．因为 f (x) = ln a +
+ b + (a，bÎR) 为奇函数，所以其定义域关于原点对称，易知 x ¹1，
1
4
1
1
1
2
1
1- x
x
所 以 x ¹ -1 ， 即 有 a +
= 0 ， 得 到 a = - ， 所 以 f (x) = ln -
+
+ b +
=
1
- (-1)
2
4
x +1
(1- x)
x
1
ln
+ b + ，函数定义域为{x | x ¹ -1且 x ¹1}，得到 f (0) = ln + b = 0，所以b = ln 2 ，
2
4
2
x +1
(1- x)
x
x +1
1- x
x
-x +1
1+ x
x
x +1
1- x
x
故 f (x) = ln
+ ln 2 + = ln
+
，此时有 f (-x) = ln
-
= -ln
-
2
4
4
4
4
数学参考答案·第 1 页（共 8 页）

-

1
x +1
1- x
x
x
=
- f (x) ，即 a = - ，b = ln 2 满足题意，所以 f (x) = ln
+
= ln |1+ x | -ln |1- x | +
，
2
4
4
定义域为{x | x ¹ -1且 x ¹1}，结合奇函数的性质，可得函
数 的 大 致 图 象 如 图 ， 当 x >1 时 ，
x
1
1
1
4
f (x) = ln(x +1) - ln(x -1) + ， f ¢(x) =
-
+
4
x +1 x -1
x
2
- 9
x
2
- 9
=
，由 f ¢(x) =
= 0 ，得到 x = 3是唯一的
4
(x2 -1)
极小值，又 f (x) 在区间 (t -1，t
< t -1< 3 < t2 - 2t ，解得3 < t < 4 ，故选 A．
4(x2 -1)
2
- 2t) 上有最小值，所以
1
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号
答案
9
10
11
ABD
AC
BCD
【
解析】
T
2π
． 由 题 意 ， = 0.5 ， ∴ T =1，∴w =
= 2π ， 当 t = 0 时 ， 小 球 位 于 最 高 点 ， 则
9
2
T
π
sinj =1，j Î[0，π]，∴j = ，故 A，B 正确；对于 C，由题意 A = 5 ，当t Î[8，9] ，小球经
2
过一个周期，则其路程为 4A = 20 ，故 C 错误；对于 D，当t = 9.75 时，由周期性，等价于
æ
π ö
t = 0.75 ，此时 h = sinç2π ´ 0.75 + ÷ = sin 2π = 0 ，由正弦函数的图象可知，图象自下而上
2 ø
è
穿过 x 轴，小球正在向上运动，故 D 正确，故选 ABD．
uur uuur uuur uuur
u
r
uur uuur uuur uuur uuur uuur
1
0．取 AB 的中点 E，对于 A，由 PA + PB + PC + PD = 0 ，得 AP + AP - AB + AP - AC + AP
uuur 1 uuur uuur uuur 1 éuuur æ 1 uuur uuurö uuurù 3 uuur 1 uuur
uur
u
r
-
AD = 0 ，所以 AP = (AB + AC + AD) = êAB + ç AB + AD÷ + ADú = AB + AD ，故 A
4
4 ë
è 2
uuur
ø
û
8
2
u
uur
uuur
æ 1 uuur uuurö
uuur
m
= 2l
AP = l AB + 2l AD = 2l ç AB + AD÷ = 2l AC(l > 0)
正确；对于 B，当
时，
，点 P
è
2
ø
在 AC 上，由于 B 到直线 AC 的距离为 2，此时点 P 与 C 重合，故取不到最小值 2，故 B
ur
AB
u
u
uur
uuur
uuur
uuur
2l + m =1
AP = 2l
+ m AD = 2l AE + m AD
错误；对于 C，若
，则
，所以点
P
在
DE
上，
2
由于 DE∥CB ，所以△ PBC 的面积为定值 3 ，故 C 正确；对于 D，∵ 4l
2
+ m
2
+ 2lm =1，
数学参考答案·第 2 页（共 8 页）

u
uur
uuur
AB
uuur
uuur uuur
2
2
2
∴
AP
= l
2
+ m
2
AD + 2lm AB g AD =16l + m + lm =
2
4
2
8
4 ，所以点 P 的轨迹是以 A
为圆心，2 为半径的圆位于梯形 ABCD 内部的圆弧（圆心角为 60° 的扇形弧），所以 PC
AC | -2
的最小值为|
，即为 2 3 2 ，故 错误，故选 AC．
-
D
1
1．对于 A，假设 ak = 2 ，则 -a2 + 2ak-1 = 2 ( k≥2)，即 a2 - 2ak -1 + 2 = 0 ，该方程无实根，故
k-1 k-1
A 错误；对于 B，假设 ak Î(0，1) ，则 ak +1 = -(ak -1)2 +1Î(0，1) ，又 a1 Î(0，1) ，则对于
nÎN* ， an Î(0，1) ，那么， an+1 - an = -an + a = a (1- a ) > 0，∴数列{a }是递增数列，
B 正确；对于 C，若 a Î(1，2) ，则 a = -a2 + 2a = -(a -1)2 +1，由二次函数的性质可知，
2
n
n
n
n
1
2
1
1
1
a Î(0，1) ，由 B 选项的分析可知，当 n≥3 时， a Î(0，1) ，故数列{a }的最大项为 a ，
2
n
n
1
9
C 正确；对于 D，由 an+1 = -(an -1)2 +1得1- an+1 = (1- an )2 ，因为 a1 = ，所以 an Î(0，1) ，
10
1
1
1
-
1
2
∴
lg(1- an+1) = 2 lg(1- an ) ， ∴
=
g
， 即 bn+1
=
bn ， 又 因 为
lg(1- an+1) 2 lg(1 a )
n
1
1
b1 =
= -1 ， 所 以 数 列 {bn} 是 以 −1 为 首 项 ，
为 公 比 的 等 比 数 列 ，
æ
è
9 ö
10 ø
2
lgç1-
÷
é
æ ön
ù
1
-
ê1- ç ÷ ú
è 2 ø úû
æ ön-1
1
ê
ë
∴
Sn =
= -2 + ç ÷ > -2 ，故 D 正确，故选 BCD．
è 2 ø
1
1
-
2
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号
答案
12
13
14
1
2
5π
5000
4
【
解析】
1
1
2
=
1
1
2．由已知求得 a1 = 8，q = - ，∴ a = a q4
．
5
1
2
4
1
æ π
， 又 b Îç ，π÷ ， ∴ cosb = -
è 2
ö
ø
10
3 ． ∵cos 2b = 2cos2 b -1= - ， ∴cos2 b =
， 进 而
5
10
10
æ π
a - b Îç- ，π÷ cos(a - b) =
，又
æ
π
3π ö
æ
è
π ö
ö
3
10
10
，∵a Îç ， ÷ ，
-
b Îç-π，-
sin b =
÷
，∴
è 2 2 ø
2 ø
è 2
ø
数学参考答案·第 3 页（共 8 页）

æ π
< 0 ，∴a - b Îç ，π÷ ，∴sin(a - b) =
è 2
ö
ø
5
2 5
5
-
，∴sina = sin[(a - b) + b] =
5
æ
π
3π ö
，结合a Îç ， ÷ 可知：a =
è 2 2 ø
5π
2
2
3 2
2
sin(a - b)cosb + cos(a - b)sin b = -
-
= -
．
1
0
10
2
4
1
4．∵ f (1- 2x) 是偶函数，∴ f (1- 2x) = f (1+ 2x) ，即 f (1+ x) = f (1- x) ，从而 f (-x) =
f (x + 2) ， 又 f (x) 是 奇 函 数 ， 则 f (-x) = - f (x) ， ∴ f (x + 2) = - f (x) ， 进 而
f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，所以 f (x) 是周期为 4 的周期函数．由当 xÎ[0，1] 时，
f (x) = -x2 ， 得 f (0) = 0，f (1) = -1 ， f (2) = f (0) = 0，f (3) = - f (1) =1，f (4) = 0 ， 即
100
å
f (4k) = 0，f (4k +1) = -1，f (4k + 3) =1(k ÎZ) ，∴
i
2
f (i) = -12 + 32 - 52 + 72 - 92 +L-
i=1
2
5´ 24
97
2
+ 992 = 25´8 +
´16 = 5000 ．
2
四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
S = a ，
ì
ì3a + 3d = a + 4d，
ì2a = d，
3
5
1
1
1
解：（1）由
í
得
í
即
í
a2n = 2an +1，
a + (2n -1)d = 2[a + (n -1)d] +1，
a1 +1= d，
î
î
1
1
î
解得 a =1，d = 2，∴a = a + (n -1)d = 2n -1．…………………………………………（6 分）
1
n
1
b2
b
1
2）由b =1且{b }是递增的等比数列，得 q =
= b2 >1，
（
1
n
故b = a (k ÎN且k≥2) ，
2
k
q
=
=
q = 3
由于数列{a }是递增数列，则当 取最小值时，b a2 3 ，即
，
n
2
∴
bn =1´3n-1 = 3n-1
，
若b = a ，则3k-1 = 2i -1，
k
i
3
k-1
+1
∴
i =
．……………………………………………………………………………（13 分）
2
1
6．（本小题满分 15 分）
π
2
sin
b
c
csin B
5
解：（1）由正弦定理，
4 =
10
，
=
Þ
sinC
=
=
sin B sinC
b
5
π
2 5
又 c < b ，∴ 0 < C < ，∴ cosC = 1- sin2 C =
，
4
5
æ
2 ö
÷cosC +
æ
è
3π
ö
ø
2
10
cosÐBAC = cosç - C ÷ = ç-
sinC = -
∵
，
ç
÷
4
2 ø
2
10
è
………………………………………………………………………………………（4 分）
数学参考答案·第 4 页（共 8 页）

u
uur 1 uuur uuur
AD = (AB + AC) ，
∵
∴
∴
2
u
uur
uuur uuur
uuur uuur
é
æ
öù
10
1
1
5
2
2
2
2
AD
=
(AB AC 2AB g AC)
+
+
=
ê4 10 2 g 2 g 10 g ç
+
+
-
÷ú
=
，
ç
÷
4
4 êë
10 øúû
è
1
0
AD =
．……………………………………………………………………………（7 分）
2
æ
è
π ö
4 ø ，
c
a
2sinçC +
÷
=
（2）∵
，∴a = csin A
=
sinC sin A
sinC
sinC
æ
è
π ö
4 ø
2
sinçC +
÷
1
1
2
2
sinC + cosC
1
，
∴
S△ABC
=
acsin B =
g
g 2 g
=
=1+
2
sinC
2
sinC
tanC
ì
π
0 < C <
，
ï
2
π
π
< C <
∵
△ABC 是锐角三角形，∴ í
∴
，
0
< 3π - < π
C
，
4
2
ï
ï
î
4
2
1
∴
tanC >1，∴0 <
<1 ，
tanC
1< S < 2 ．……………………………………………………………………………（15 分）
∴
1
7．（本小题满分 15 分）
p
1）解：根据题意直线l 的斜率不为 0，可设直线l ： x = ty + ， A(x，y )，B(x ，y ) ，
（
1
1
2
2
2
代入抛物线方程 y2 = 2px 得： y2 - 2pty - p2 = 0 ，
D = 4p2 (t2 +1) > 0 ， y + y = 2pt ， y y = - p2
∴
，
1
2
1
2
∴
| AB |= 1+ t2 | y - y |= 1+ t
2
(y + y )2 - 4y y = 2p(t
2
+1) ，
1
2
1
2
1
1
3
8p 16
当q = 60° 时，t =
，∴| AB |=
=
，
3
3
3
∴
p = 2，抛物线 E 的方程为
y
2
= 4x ．…………………………………………………（5 分）
y
2
1
y
2
2
(-p2 )2
4p2
p
2
2）证明：由（1）可知， y y = -p2 = -4 ，则 x x =
g
=
=
=1，
（
1
2
1
2
2p 2p
4
uuur uuur
∴
OA g OB = x x + y y = -4 +1= -3 ．…………………………………………………（8 分）
1
2
1
2
（
3）证明：设C(x ，y )，D(x ，y ) ，
3
3
4
4
x = my + 3
x = ny + 3
直线 AC 的方程：
，直线
BD
的方程：
，
数学参考答案·第 5 页（共 8 页）

ì
x = my + 3，
由 í
得 y2 - 4my -12 = 0 ，
y
2
= 4x，
î
y y = -12 ，同理， y y = -12 ，
∴
1
3
2
4
∴
y y y y = (y y )(y y ) =144 ，
1
2
3
4
1
3
2
4
由（2）知 y y = -4 ，则 y y = -36 ，
1
2
3
4
1
|
MA|| MB | sinÐAMB
S△ABM
S△CDM
| MA|| MB |
y1 y2
4
1
9
= 2
=
=
=
=
．
1
2
| MC || MD | y3 y4 36
|
MC || MD | sin ÐCMD
……………………………………………………………………………………（15 分）
1
8．（本小题满分 17 分）
ln x +1
-ln x
1）证明： f (x) =
（
Þ f ¢(x) =
，
x
x
2
xÎ(0，1)
f ¢(x) > 0 Þ f (x) 在 (0，1)
上单调递增；
当
时，
xÎ(1，+ ¥)
f ¢(x) < 0 Þ f (x) 在 (1，+ ¥)
上单调递减，
当
时，
所以 f (x)max = f (1）=1，即
f (x)≤1．……………………………………………………（4 分）
1
2）解 ：令 x =1，则 2a≥f (1) =1Þ a≥ ；……………………………………………（6 分）
（
2
1
æ
è
1 ö 1 æ
x ø 2 è
1 ö
x ø
1
1
当 a≥ 时，
∵
xÎ(0，+ ¥)，∴ aç x + ÷≥ ç x + ÷≥ g 2 x g =1≥f (x) ，
2
2
x
所以原不等式成立，
故实数 a 的取值范围是
a≥1
．…………………………………………………………（9 分）
2
ln x +1
-ln x
3）证明： f (x) =
（
Þ f ¢(x) =
，
x
x
2
lnt +1 -lnt
-lnt
2lnt +1
A(t，f (t)) 处的切线l 方程：y -
=
(x - t) ，即l ：y =
x +
所以在点
，
t
t
2
t
2
t
ln x +1
ln x +1 lnt
2lnt +1
与 y =
联立得：
+
x -
= 0 ，
x
x
t
2
t
ln x +1 lnt
2lnt +1
+
x -
= 0 除
x = t
x = s
即证：当t > e 时，方程
外，还有另一根
，
x
t
2
t
1
< s < t ．……………………………………………………………………………（12 分）
且
e
ln x +1 lnt
2lnt +1
设 h(x) =
+
x -
，则
h(t) = 0
，
x
t
2
t
数学参考答案·第 6 页（共 8 页）

-
---

-
ln x lnt
2ln x -1
又 h¢(x) =
+
，
h¢(t) = 0 ， h¢¢(x) =
，
x
2
t
2
x
3
h¢¢(x) < 0 Þ h¢(x) (0 e)
在 ，
当 xÎ(0， e) 时，
上单调递减；
当 xÎ( e，+ ¥) 时， h¢¢ > 0 Þ h¢(x) 在 ( e，+ ¥) 上单调递增，
所以 h¢(x)min = h¢( e) ，
∵
t > e ，∴0 = h¢(t) > h¢( e) ，
lnt
又 h¢(1) =
> 0 ，所以存在唯一实数 x Î(1， e) ，使 h¢(x ) = 0 ，
2
0
0
t
xÎ(t，+ ¥)
h¢(x) > 0 Þ h(x) 在 (t，+ ¥)
当
时，
上单调递增；
上单调递增；
上单调递减，
当 xÎ(0，x0 ) 时，
h¢(x) > 0 Þ h(x) (0，x )
在
0
当 xÎ(x0，t) 时，
h¢(x) < 0 Þ h(x) 在 (x0，t)
h(x) > h(t) = 0
所以当 xÎ(x0，t) U (t，+ ¥) 时，
，
æ
è
1 ö lnt 1 2lnt +1 lnt
1
又 hç ÷ =
g
-
=
(1- 2et) - < 0，
e ø
t
2
e
t
et2
t
æ
è
1
ö
ø
所以存在唯一实数 sÎç ，x ÷ ，使 h(s) = 0 ，
0
e
ln x +1 lnt
2lnt +1
1
e
+
x -
= 0 除
x = t
x = s
< s < t
即：当t > e 时，方程
外，有唯一根
，且
，
x
t
2
t
故结论成立．……………………………………………………………………………（17 分）
9．（本小题满分 17 分）
1
解：（1）T(A，B) - t(A，B) = 3´ 6 - 0 =18．…………………………………………（3 分）
（
2）若 n≥5 ，则数列 A，A ，L，A 中必有两个数列前两项相同（因每项为 0 或 1，前两
1
2
n
项至多有 2´ 2 = 4 种组合）；
不妨设该二者为 A，A ，则必有T(A，A ) = 0（两数列的第三项也相同）或T(A，A ) =1（两
1
2
1
2
1
2
数列的第三项相异），
故 n≥5 不合题意；………………………………………………………………………（6 分）
当 n = 4 时，可构造 A：0，0，0 ； A ：0，1，1 ； A：1，1，0 ； A ：1，0，1 满足题意，
1
2
3
4
故 n 的最大值为 4．………………………………………………………………………（9 分）
3）记 P ={i | a ≥b，1≤i≤62，iÎN*}，Q ={i | b > a，1≤i≤62，i ÎN*}，
（
i
i
i
i
显然 P I Q = Æ ， P U Q ={1，2，L，62} ，
数学参考答案·第 7 页（共 8 页）

设a = å(a - b ) ， b = å(b - a ) ，
i
i
i
i
iÎP
iÎQ
T(A，B) - t(A，B) = å(a - b ) + å(b - a ) - å(a - b ) + å(a - b ) = a + b - |a - b |
i
i
i
i
i
i
i
i
iÎP
iÎQ
iÎP
iÎQ
=
2 min{a，b}，…………………………………………………………………………（11 分）
若 P = Æ 或Q = Æ ，则已有T(A，B) - t(A，B) = 0 ．
下不妨设 P ¹ Æ 且Q ¹ Æ ，
a
b
由平均值原理，$1≤i，j≤62(i，j ÎN* ) ，使得 a - b≥
，b - a ≥
，且iÎ P，j ÎQ
i
i
j
j
|
P |
| Q |
a
b
（
其中| P |，| Q |为集合 P，Q 的元素个数） Þ (a - a ) - (b - b )≥
+
，
i
j
i
j
|
P | | Q |
……………………………………………………………………………………（13 分）
不妨设i > j ，则 a ≤a - (62 - i)≤693 + i ， a ≥j -1，b - b ≥i - j
i
62
j
i
j
a
b
Þ
+
≤(693 + i) - ( j -1) - (i - j) = 694 ，
|
P | | Q |
æ
a
b ö
÷(| P | + | Q |)≥( a + b )2
且 ç
+
，
è
| P | | Q |ø
故 a + b≤ 694 g 62 Þ 694 g 62≥ a + b≥2 min{ a， b }Þ min{a，b}≤10757
Þ
T(A，B) - t(A，B) =