2025届重庆巴蜀中学高考适应性月考卷（三）-数学（含答案）.docx

巴蜀中学 2025 届考适应性月考卷（三）数学试卷注意事项:.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.12.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟.一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)12. 已知集合则U = 0，1，2，3，4，5，6， A = 0，1，2，4， B = 1，2，3，4，5U A) B =A.3，5，6 B.3，5 C.5 D.5，6. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布(m s )，已知数学成绩高于 110 分的人数与低于 70 分的人数相同，那么估计本次考试的N，2数学平均分为A.85B.90C.95D.10011+11-i34. 若复数 z1 =，z2 =，则 z12- z22=iA.-1B.1C. -iD.iuuur 1 uuuruuur. 在平行四边形 ABCD中，E是 BC 的中点，F 在 DE 上，且 AF = AB + mAD，则实数 m 的值2为14131234A.B.C.D.5. 已知 a，bR+且 ab+ 2a +b-3 = 0，则a +b 的最小值为3253A.B.C. 2 5 -3D. 2 6 -31 - 67. 重庆被媒体评价为“最宠游客的城市”.现有甲、乙、丙三位游客慕名来重庆旅游，准备从洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥等五个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三人所选景点全部不同的概率是21225166A.B.C.D.2525. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P(单位: mg / L )与时间t (单位: h)的关系为 P = P0e-kt，其中，P0，k 是正的常数.如果在前5 h 消除了10% 的污染物，那么要消除90%的污染物，至少需要的时间是( )h .(参考数据:lg3 0.477 )A.45B.76C.109D.1181- xx()8. 已知函数 f (x)= ln a +1+b+ (a，bR)为奇函数，且 f (x)在区间 t -1，t - 2t 上有24最小值，则实数t 的取值范围是B.( 3，4)C.( 3，3)D.( 2，3)A.(3，4)二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在t (单位:s )时 相 对 于 平 衡 位 置 ( 图 中 h = 0 处 ) 的 高 度 h ( 单 位 : cm ) 由 关 系 式(wt +j )确定，其中 A 0，w 0，t 0，j 0，p .小球从最高点出发，Asinh=经过0.5 s后，第一次到达最低点，经过的路程为10 cm，则下列说法正确的是pA.w = 2pB.j =2C.小球在t 8，9内经过的路程为10 cmD.t = 9.75时，小球正在向上运动10. 在等腰梯形 ABCD中，AB / /DC，DA = DC = 2，AB = 4，点 P 是梯形 ABCD内部一点(不含边界)，且满足 AP = lAB + mAD (l，m R)，则下列说法正确的是312A.若 PA+ PB + PC + PD = 0，则l = ，m =8B.当 m = 2l 时，PB 的最小值为 2C.若 2l + m =1，则VPBC 的面积为定值 32 D.若 4l2+ m + 2lm =1，则 PC 的最小值为 2 3 -1211.已知由实数构成的数列an满足 an+1 = -an + 2an (nN* )，则以下说法正确的是2A.存在 k N* 且k 2，使 ak = 2B.若 a (0，1)，则数列a 是递增数列1nC.若 a (1，2)，则数列a 的最大项为a1n191D.若 a1 =0，设bn = lg 1 a，b 的前 n 项和为 S ，则 S -2( - )nnn1n三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)112. 等比数列a 的公比 q 0)的焦点为 F，过 F 作倾斜角为q 的动直线l 交 E 于 A，B 两点.16当q = 60o 时，AB =.3(1)求抛物线 E的方程;(2)证明:无论q 如何变化，OAOB 是定值(O为坐标原点);(3)点 M (3，0)，直线 AM 与 E交于另一点C，直线 BM 与 E交于另一点 D，证明:VABM 与VCDM 的面积之比为定值.4 - 18. (本小题满分 17 分)lnx +1已知函数 f (x) =.x(1)求证: f (x)1;1 (2)若 x(0，+ )时，不等式 a x + f (x )恒成立，求实数 a 的取值范围;x (3)若直线l是曲线 y = f (x)在点 A(t，f (t)处的切线，求证:当t e 时，除点 A外，直线1l与曲线 y = f (x)有唯一公共点(s，f (s)，且 s t .e5 19. (本小题满分 17 分)设 A:a，a ，L，a 和 B:b，b ，L，b 是 两 个 项 数 为 m 的 非 负 整 数 数 列 (m 3)，定 义12m12mmmiii() =-()=( - )b .T A，Bai b ，t A，Bai=1i=1(1)对于数列 A:1，2，3，10，11，12和 B:4，5，6，7，8，9求T (A，B)-t (A，B)的值;(2)设 A，L，A 均为项数为 3 且每项为 0 或 1 的数列 (n 2)，且对于任意1 i 1 时 ，x1114f (x) = ln(x +1) - ln(x -1) + ， f (x) =-+4x +1 x -1x2- 9x2- 9=，由 f (x) = 0 ，得到 x = 3是唯一的4(x2 -1)极小值，又 f (x) 在区间 (t -1，t t -1 3 t2 - 2t ，解得3 t 0)正确；对于 B，当时，点 P2在 AC 上，由于 B 到直线 AC 的距离为 2，此时点 P 与 C 重合，故取不到最小值 2，故 BurABuuuuruuuruuuruuur2l + m =1AP = 2l+ m AD = 2l AE + m AD错误；对于 C，若，则，所以点P在DE上，2由于 DECB ，所以 PBC 的面积为定值 3 ，故 C 正确；对于 D， 4l2+ m2+ 2lm =1，数学参考答案第 2 页（共 8 页） uuuruuurABuuuruuur uuur222AP= l2+ m2AD + 2lm AB g AD =16l + m + lm =24284 ，所以点 P 的轨迹是以 A为圆心，2 为半径的圆位于梯形 ABCD 内部的圆弧（圆心角为 60 的扇形弧），所以 PCAC | -2的最小值为|，即为 2 3 2 ，故 错误，故选 AC-D11对于 A，假设 ak = 2 ，则 -a2 + 2ak-1 = 2 ( k2)，即 a2 - 2ak -1 + 2 = 0 ，该方程无实根，故k-1 k-1A 错误；对于 B，假设 ak (0，1) ，则 ak +1 = -(ak -1)2 +1(0，1) ，又 a1 (0，1) ，则对于nN* ， an (0，1) ，那么， an+1 - an = -an + a = a (1- a ) 0，数列a 是递增数列，B 正确；对于 C，若 a (1，2) ，则 a = -a2 + 2a = -(a -1)2 +1，由二次函数的性质可知，2nnnn12111a (01) ，由 B 选项的分析可知，当 n3 时， a (0，1) ，故数列a 的最大项为 a ，2nn19C 正确；对于 D，由 an+1 = -(an -1)2 +1得1- an+1 = (1- an )2 ，因为 a1 = ，所以 an (0，1) ，10111-12lg(1- an+1) = 2 lg(1- an ) ， =g， 即 bn+1=bn ， 又 因 为lg(1- an+1) 2 lg(1 a )n11b1 = -1 ， 所 以 数 列 bn 是 以 1 为 首 项 ，为 公 比 的 等 比 数 列 ，9 10 2lg1- n1-1- 2 n-11Sn = -2 + -2 ，故 D 正确，故选 BCD 2 11-2三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）题号答案12131412550004【解析】112=112由已知求得 a1 = 8，q = - ， a = a q451241 ， 又 b ， ， cosb = - 2103 cos 2b = 2cos2 b -1= - ， cos2 b =， 进 而51010 a - b - ， cos(a - b) =，又3 31010，a ， ，-b -，-sin b =， 2 2 2 2数学参考答案第 3 页（共 8 页） 1，（1n故b = a (k N且k2) ，2kq=q = 3由于数列a 是递增数列，则当 取最小值时，b a2 3 ，即，n2bn =13n-1 = 3n-1，若b = a ，则3k-1 = 2i -1，ki3k-1+1i =（13 分）216（本小题满分 15 分）2sinbccsin B5解：（1）由正弦定理，4 =10，=sinC=sin B sinCb52 5又 c b ， 0 C ， cosC = 1- sin2 C =，452 cosC +3210cosBAC = cos - C = -sinC = -，42 210（4 分）数学参考答案第 4 页（共 8 页） uuur 1 uuur uuurAD = (AB + AC) ，2uuuruuur uuuruuur uuur101152222AD=(AB AC 2AB g AC)+=4 10 2 g 2 g 10 g +-=，44 10 10AD =（7 分）2 4 ，ca2sinC +=（2），a = csin A=sinC sin AsinCsinC 4 2sinC +1122sinC + cosC1，SABC=acsin B =gg 2 g=1+2sinC2sinCtanC0 C ，2 C ABC 是锐角三角形， ，0 3 - 1，0 1 ，tanC1 S 0 ， y + y = 2pt ， y y = - p2，1212| AB |= 1+ t2 | y - y |= 1+ t2(y + y )2 - 4y y = 2p(t2+1) ，12121138p 16当q = 60 时，t =，| AB |=，333p = 2，抛物线 E 的方程为y2= 4x （5 分）y21y22(-p2 )24p2p22）证明：由（1）可知， y y = -p2 = -4 ，则 x x =g=1，（12122p 2p4uuur uuurOA g OB = x x + y y = -4 +1= -3 （8 分）1212（3）证明：设C(x ，y )，D(x ，y ) ，3344x = my + 3x = ny + 3直线 AC 的方程：，直线BD的方程：，数学参考答案第 5 页（共 8 页） x = my + 3，由 得 y2 - 4my -12 = 0 ，y2= 4x，y y = -12 ，同理， y y = -12 ，1324y y y y = (y y )(y y ) =144 ，12341324由（2）知 y y = -4 ，则 y y = -36 ，12341|MA| MB | sinAMBSABMSCDM| MA| MB |y1 y2419= 2=12| MC | MD | y3 y4 36|MC | MD | sin CMD（15 分）18（本小题满分 17 分）ln x +1-ln x1）证明： f (x) =（ f (x) =，xx2x(0，1)f (x) 0 f (x) 在 (0，1)上单调递增；当时，x(1，+ )f (x) e 时，方程外，还有另一根，xt2t1 s t （12 分）且eln x +1 lnt2lnt +1设 h(x) =+x -，则h(t) = 0，xt2t数学参考答案第 6 页（共 8 页） - -ln x lnt2ln x -1又 h(x) =+，h(t) = 0 ， h(x) =，x2t2x3h(x) 0 h(x) 在 ( e，+ ) 上单调递增，所以 h(x)min = h( e) ，t e ，0 = h(t) h( e) ，lnt又 h(1) = 0 ，所以存在唯一实数 x (1， e) ，使 h(x ) = 0 ，200txt，+ )h(x) 0 h(x) 在 (t，+ )当时，上单调递增；上单调递增；上单调递减，当 x(0，x0 ) 时，h(x) 0 h(x) (0，x )在0当 x(x0，t) 时，h(x) h(t) = 0所以当 x(x0，t) U (t，+ ) 时，1 lnt 1 2lnt +1 lnt1又 h =g-=(1- 2et) - 0，e t2etet2t1所以存在唯一实数 s ，x ，使 h(s) = 0 ，0eln x +1 lnt2lnt +11e+x -= 0 除x = tx = s s e 时，方程外，有唯一根，且，xt2t故结论成立（17 分）9（本小题满分 17 分）1解：（1）T(A，B) - t(A，B) = 3 6 - 0 =18（3 分）（2）若 n5 ，则数列 A，A ，L，A 中必有两个数列前两项相同（因每项为 0 或 1，前两12n项至多有 2 2 = 4 种组合）；不妨设该二者为 A，A ，则必有T(A，A ) = 0（两数列的第三项也相同）或T(A，A ) =1（两121212数列的第三项相异），故 n5 不合题意；（6 分）当 n = 4 时，可构造 A：0，0，0 ； A ：0，1，1 ； A：1，1，0 ； A ：1，0，1 满足题意，1234故 n 的最大值为 4（9 分）3）记 P =i | a b，1i62，iN*，Q =i | b a，1i62，i N*，（iiii显然 P I Q = ， P U Q =1，2，L，62 ，数学参考答案第 7 页（共 8 页） 设a = (a - b ) ， b = (b - a ) ，iiiiiPiQT(A，B) - t(A，B) = (a - b ) + (b - a ) - (a - b ) + (a - b ) = a + b - |a - b |iiiiiiiiiPiQiPiQ=2 mina，b，（11 分）若 P = 或Q = ，则已有T(A，B) - t(A，B) = 0 下不妨设 P 且Q ，ab由平均值原理，$1i，j62(i，j N* ) ，使得 a - b，b - a 且i P，j Qiijj|P | Q |ab（其中| P |，| Q |为集合 P，Q 的元素个数） (a - a ) - (b - b )+，ijij|P | | Q |（13 分）不妨设i j ，则 a a - (62 - i)693 + i ， a j -1，b - b i - ji62jijab+(693 + i) - ( j -1) - (i - j) = 694 ，|P | | Q |ab (| P | + | Q |)( a + b )2且 +，| P | | Q |故 a + b 694 g 62 694 g 62 a + b2 min a， b mina，b10757T(A，B) - t(A，B) =